近代量子力學(xué)及疑難問題

近代量子力學(xué)及疑難問題1第一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五[第一講]

量子力學(xué)的心臟——廣義楊氏雙縫實驗及雙態(tài)系統(tǒng)2第二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五目錄

序言一，楊氏雙縫實驗難說之處

1）一個常犯的原則性的畫圖錯誤

2）導(dǎo)致路徑積分的思想

3）一個兩難回答的問題——每個電子怎樣穿過縫的？

4）一個難于進行的計算——強度分布計算

5）關(guān)于“難說”的再舉例與分析二，廣義楊氏雙縫實驗之一——極化電子楊氏雙縫實驗

1)極化電子束入射的楊氏雙縫實驗分析

2）一般極化的楊氏雙縫實驗計算

三，廣義楊氏雙縫實驗之二——激發(fā)原子的楊氏雙縫實驗3第三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五四，廣義楊氏雙縫實驗之三——帶AB效應(yīng)的楊氏雙縫實驗

1）方程求解與結(jié)果描述

2）不可積相因子問題

3）兩種形式物理性質(zhì)分析

五，廣義楊氏雙縫實驗之四——雙態(tài)系統(tǒng)：各類“which

way”實驗和各類qubit1）中子干涉量度學(xué)實驗

2）光學(xué)半透片

3)作為qubit的條件，各類qubit4）各類Schrodinger貓態(tài)，Schrodinger貓佯謬解釋

六，分析與結(jié)論參考文獻4第四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五序言

Young雙縫實驗是量子力學(xué)中最初的、最普通的、最著名的、也是最奇特的實驗：它表面淺顯易懂，其實深邃難以捉摸。很難說清楚；它很容易用程差辦法作簡易說明，但又難以精確求解Schrodinger方程，以得到強度分布；它出現(xiàn)在所有量子力學(xué)教材中，是眾所周知的基礎(chǔ)性實驗，卻又常常被人們忽略了它許多重要和必要的側(cè)面。它是量子力學(xué)中最古老、最普通的實驗，但近代卻又不斷出現(xiàn)花樣翻新的新版本。對它的思索能導(dǎo)致路徑積分的思想。由此就能理解Feynman的話：Young氏雙縫實驗是量子力學(xué)的心臟。它確實是最富于量子力學(xué)味道的實驗，是理解量子力學(xué)本質(zhì)的關(guān)鍵。下面從廣泛角度對它進行分析。

5第五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五一，楊氏雙縫實驗的深邃——電子的波粒二象性

1）一個常犯的原則性畫圖錯誤：漏畫了電子源和雙縫之間的單縫屏。這使得由源入射到雙縫上的兩條路徑的程差不固定，從而不可能產(chǎn)生干涉花樣。見Feynman書[1]。書中共有楊氏雙縫實驗圖達7幅之多！物理實感。嚴謹學(xué)風?？茖W(xué)態(tài)度。

一，楊氏雙縫實驗的深邃——電子的波粒二象性

1）一個常犯的原則性畫圖錯誤：漏畫了電子源和雙縫之間的單縫屏。這使得由源入射到雙縫上的兩條路徑的程差不固定，從而不可能產(chǎn)生干涉花樣。見Feynman書[1]。書中共有楊氏雙縫實驗圖達7幅之多！物理實感。嚴謹學(xué)風?？茖W(xué)態(tài)度。

一，楊氏雙縫實驗的深邃——電子的波粒二象性

1）一個常犯的原則性畫圖錯誤：漏畫了電子源和雙縫之間的單縫屏。這使得由源入射到雙縫上的兩條路徑的程差不固定，從而不可能產(chǎn)生干涉花樣。見Feynman書[1]。書中共有楊氏雙縫實驗圖達7幅之多！物理實感。嚴謹學(xué)風?？茖W(xué)態(tài)度。2）導(dǎo)致路徑積分的思想6第六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五3）一個兩難回答的問題——單個電子怎樣穿過縫的？

i)

只就單個電子、單個中子說，對它路徑上的whichslit、whichway問題，常?；卮馂椋骸翱陀^上應(yīng)當是確定的，只是我們不知道而已，一旦知道就會改變原來的狀態(tài)”。這種思想可以簡述為“確定，但不確知”。也有人形象地說：“電子不是孫悟空，只能從兩縫之一穿過去”。

ii)這是個兩難回答的問題——回答困難；

iii)繞過去不回答。說：“這是個科學(xué)之外的問題”；或是說：“縫屏前的入射電子消失了，在縫屏后接受屏上某處電子被探測到了”。

——Feynman:Icansavelysaythatnobody

understandsquantummechanics。

vi)

正確的，應(yīng)當說：從兩縫同時過去,兩條路徑的兩個態(tài)的相干疊加。這是單個電子的自身干涉。7第七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五微觀粒子的行為有時”像”宏觀的波、有時又“像”宏觀的粒子；其實它們本性既非宏觀的波也非宏觀的粒子。采用宏觀語言作個不確切地形容：波粒二象性（蘇州西園濟公）。不同于宏觀情況，對微觀粒子的實驗觀測不可避免地會干擾觀察對象。微觀粒子“像”什么，與怎樣觀測即測量哪種類型的力學(xué)量有關(guān)——觀測結(jié)果依賴于觀測類型。觀測導(dǎo)致狀態(tài)的塌縮，不同類型的觀測導(dǎo)致態(tài)的不同類型的塌縮。因為，不同觀測導(dǎo)致量子態(tài)用不同本征函數(shù)族展開，決定了接著發(fā)生的不同的隨機塌縮，使人們產(chǎn)生不同的印象。微觀客體的“粒子形象”完全依賴于“俘獲”這一類型的實驗。量子態(tài)像一個個極易破碎的玻璃杯，像對外界十分敏感的小女孩的面孔。8第八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五9第九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五務(wù)必注意，在思辯微觀世界中的量子力學(xué)時：

i)不要使用宏觀世界“測量不干擾”概念，將測量結(jié)果外推到測量之前；

ii)不要將經(jīng)典物理學(xué)的“經(jīng)典語言”絕對化。

道，可道，非常道。解釋iv)是唯一符合全部實驗又邏輯自洽的解釋。西方科學(xué)的精髓本來就是：“邏輯實驗主義”。相信也只能相信：

實驗+邏輯只要無法知道電子是從哪個縫過去，就會發(fā)生干涉；一旦用任何辦法知道每單個電子是從哪個縫過去的，干涉花樣便消失。原因：不同的好量子數(shù)可區(qū)分。10第十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五

4）難于進行的計算——強度分布的唯象計算[1]

可用Born近似計算接受屏上既有干涉又有衍射的強度分布。設(shè)粒子前進方向是，雙縫沿方向：這里，平面取極坐標。分別是自雙縫之間的0點到觀察點和勢散射點的矢徑。分別是它們在平面上的投影。。為兩縫間的距離。

取兩條縫的衍射作用為等效勢（等效勢衰減長度）：

由于不含，的積分對可先積出。經(jīng)過一些特殊函數(shù)計算[2]，將結(jié)果用面內(nèi)變數(shù)表示：11第十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五將它寫為柱面波散射的形式：，可得散射振幅：最后得到柱面散射波下的微分散射截面：這就是既考慮兩個單縫干涉、又考慮（干涉條紋系列的）包絡(luò)是兩個單縫衍射分布總強度的表達式。其中，

i）雙縫干涉因子，極值條件；

ii)兩個單縫的總衍射因子。此包絡(luò)稍有誤差。這是由于所取位勢不很妥當?shù)脑剩⒎窃硇匀毕荨?2第十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五

4）關(guān)于“難說”的再舉例與分析。第一，[3]中一段文字的分析：該處在正確地說了：

Onlywhenthereisnowayofknowing,noteveninprinciple,throughwhichslittheparticlepasses,doweobserveinterference.之后，又說道：“Asasmallwarningwemightmentionthatitisnotevenpossibletosaythattheparticlepassesthroughbothslitsatthesametime,althoughthisisapositionoftenheld.Theproblemhereisthat,ontheonehand,thisisacontradictorysentencebecauseaparticleisalocalisedentity,and,ontheotherhand,thereisnooperationalmeaninginsuchastatement.”

當然，接著又正確地說：“Wealsonotethatonecanhavepartialknowledgeoftheslittheparticlepassesattheexpenseofpartialdecoherence.”

這里，中間一段說法有問題。因為文中提出不能說粒13第十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五子同時穿過兩條縫的兩點理由都不成立。這兩條理由是，其一，粒子是局域化的東西，因此不能說它從兩條縫同時穿過，說它從兩條縫同時穿過是矛盾的；其二，從兩條縫同時穿過說法不具有可操作意義，因為真要測量究竟從哪條縫穿過，就必定發(fā)現(xiàn)是從兩縫之一穿過的。對第一條的辯駁是，有什么理由事先規(guī)定微觀客體是局域化的東西呢？難道它們的本性是粒子嗎？！難道它們的“粒子面貌”不正是我們總是采用“俘獲”這類測量方式將粒子“逼向”位置本征態(tài)所造成的嗎？！有什么理由把這一類測量結(jié)果當成被測微觀客體在測量之前就客觀存在的面貌呢？！對第二條的辯駁是，怎么能說“從兩條縫同時通過”的說法“沒有可操作意義”呢？！這種批評是批評者的思想沉陷于”Whichway”這類實驗不能自拔的結(jié)果，難道楊氏雙縫實驗、單側(cè)入射的Mach-Zehnder干涉儀不也是“具有可操作意義”的實驗事實嗎？！14第十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五二，廣義楊氏雙縫實驗之一——

極化電子楊氏雙縫實驗

光子、電子都是極化的?！鄺钍想p縫實驗應(yīng)當是極化的！

1)極化入射電子束的分析。其極化方向朝上。同時，在縫屏兩縫之一（比如上縫）的后方添加一個小線圈，線圈中通以適當大小電流，線圈電流所生磁場使得穿過上縫經(jīng)過線圈的電子，在進動之后，自旋剛好翻轉(zhuǎn)朝下。這樣，到達接受屏上的電子便可以用它們的極化方向來區(qū)分了：（未經(jīng)翻轉(zhuǎn)）自旋仍然朝上的電子是下縫過來的；（經(jīng)過翻轉(zhuǎn)）自旋朝下的是從上縫過來的。結(jié)論：干涉花樣消失了！—好量子數(shù)為,正交性使干涉消失。15第十五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五

2）一般極化的楊氏雙縫實驗計算設(shè)i)兩縫之間距離d>>縫寬a;偏角很小。

ii)磁場使上縫電子自旋繞y軸自z偏轉(zhuǎn)角；而下縫過來的電子自旋仍然朝上。于是，在接受屏上c點的旋量波函數(shù)為這里，兩束之間的相位差和歸一化系數(shù)為；16第十六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五如果只測+z方向自旋的情況。即，探測點安放的是對+z自旋取向靈敏的探測器。這時必須將按本征態(tài)展開。按此重新表述上式，于是，測得的強度為由此表達式可看出：強度還依賴于自旋轉(zhuǎn)角：

i)自旋轉(zhuǎn)角固定，條紋極值

ii)如，條紋隨程差（）而變，同前結(jié)果。

iii)如，上縫自旋向下，干涉消失，與無關(guān)。17第十七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五如果只測+x方向自旋，點只安放對自旋取向靈敏的探測器。這時須將按本征態(tài)展開。由于在表象中，。于是有相應(yīng)探測到的強度將為

由此得知：

i)干涉極值位置依然由程差決定，條紋角間距，?d，對電子

ii)對的依賴關(guān)系略為復(fù)雜。18第十八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五于是，空間干涉花樣和自旋取向相關(guān)了。特別是，即便上下兩縫自旋態(tài)為時，如設(shè)想將對極化靈敏的探測器繞（粒子行進方向）y軸旋轉(zhuǎn)，就能一再觀察到：

某一單縫衍射雙縫干涉另一單縫衍射這種循回過程。19第十九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五

若縫寬并不很小于雙縫的間距d,則應(yīng)考慮單縫衍射的調(diào)制。此效應(yīng)可近似處理成為乘以下面因子：這里為單縫的寬度。例如，對，有20第二十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五三，廣義楊氏雙縫實驗之二——激發(fā)原子的楊氏雙縫

實驗

可以用原子代替電子來做楊氏雙縫實驗。這是利用“內(nèi)部自由度”——用入射原子是否激發(fā)作為識別手段，識別每個原子各自從哪一個縫過去的。這是眾多“whichway”實驗中一類。由于原子有內(nèi)部結(jié)構(gòu)——內(nèi)部自由度，于是可以利用各種激勵內(nèi)部自由度的辦法去查明“到底是從那條縫（或是那條路徑）過來”的問題。比如，在兩條路徑中的一條上（或者，雙縫的一條縫后）實施適當波長的激光輻照，使原子共振激發(fā)至激發(fā)態(tài)；而另一條路徑上則不照射。與此相應(yīng)，會合點處則安置對原子是否激發(fā)很靈敏的探測器。根據(jù)測到的該原子是否激發(fā)，就可以判斷它是從哪條路過來的。實驗結(jié)果：知道每個電子的路徑，雙縫干涉花樣就消失！21第二十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五四，廣義楊氏雙縫實驗之三——帶Aharonov-Bohm效

應(yīng)的楊氏雙縫實驗

1)

經(jīng)典力學(xué)中,描述電磁場和帶電粒子運動的Maxwell方程和Lorentz力公式,都是用場強表達的.引入電磁勢只是為數(shù)學(xué)上方便,并不認為有物理意義,只有在規(guī)范變換下不變的場強才有物理意義。量子力學(xué)中,電磁場下Schrodinger方程雖然用電磁勢表示,但由于電磁勢經(jīng)規(guī)范變換時僅導(dǎo)致波函數(shù)多一個相因子(方程定域規(guī)范變換不變性),

因此人們一直認為在量子力學(xué)中，也如同在經(jīng)典力學(xué)中一樣,只有電磁場的場強才具有可觀測的物理效應(yīng)，電磁勢并不具有直接可觀測的物理效應(yīng)。但是，1959年Aharonov和Bohm提出[4],在量子力學(xué)中，在某些電磁過程中，具有局域性質(zhì)(因為是關(guān)于空間坐標的微商)的電磁場場強不能有效地描述帶電粒子的量子行為，電磁勢有直接可觀測的物理效應(yīng)?，F(xiàn)對此作一簡明分析[5]。這里只講述磁AB效應(yīng)?？捎萌鐖D理想的含AB效應(yīng)楊氏雙縫實驗來說明。22第二十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五在電子雙縫實驗的縫屏后面兩縫之間放置一個細螺線管。通電后管內(nèi)≠0;

但管外=0，矢勢≠0。這個細螺線管產(chǎn)生一細束磁力線束，稱為磁弦。下面的理論分析表明,相對于沒通電的情況來說，通電后，接受屏上干涉花樣在包絡(luò)(干涉條紋極的輪廓線)不變情況下所有極值位置都發(fā)生了移動。電流改變時，峰值位置也跟隨改變；電流反向，峰值位置也反向移動。下面對此作一簡單分析。電子雙縫實驗裝置能夠做成功，條件是應(yīng)當保證兩個縫處電子波函數(shù)是相干分解，所以兩縫處電子波函數(shù)的位相差將是固定的。不失一般性，可以假設(shè)它們相同，合并成A點，將其簡化為上圖二。通電之前，

C點的合振幅為。通電之后，。于是有，

23第二十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五直接驗算即知，此方程的解為

注意，這里的相因子在B≠0的區(qū)域與路徑有關(guān)（不僅與兩端點有關(guān)），因而是不可積的;只在B=0的區(qū)域與路徑無關(guān)(這正說明，磁場畢竟是一種物理的實在，不能通過數(shù)學(xué)變換將其僅僅只轉(zhuǎn)化為某種相因子)。這個相因子存在表明，即使粒子路徑限制在電磁場場強為零的區(qū)域，粒子不受定域的動力學(xué)作用，但電磁勢（沿粒子路徑的路徑相關(guān)積分）仍會影響到粒子的位相。于是，在通電情況下，C點的合振幅成為這里，指數(shù)上線積分的腳標1和2表示積分分別沿路徑1和2進行。大括號外的相因子是新增加的整體相因子，沒有可觀測的物理效應(yīng)，可以略去;但是大括號內(nèi)相因子為新增加的內(nèi)部相因子,它會改變兩束電子在C點的相對位相差，從而改變雙縫干涉的極值位置。

這個內(nèi)部相因子還可改寫為:24第二十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五這里是由路徑1和2所包圍面積內(nèi)的磁通。由于這個相因子并不改變單縫衍射的強度分布，在條紋移動的同時，諸條紋極值的包絡(luò)曲線仍不變。這些結(jié)論很快為實驗所證實[5]。注意，此相因子是幾何的，不含粒子動力學(xué)狀態(tài)參數(shù)，與狀態(tài)無關(guān)。

2）向電磁AB效應(yīng)的推廣眾所周知，電磁現(xiàn)象是Lorentz變換不變的，磁的和電的現(xiàn)象經(jīng)過Lorentz變換可以相互轉(zhuǎn)換。因此上面的磁AB效應(yīng)應(yīng)當擴充為包括電AB效應(yīng)在內(nèi)的Lorentz變換協(xié)變形式。這時，上面關(guān)于相因子的路徑積分應(yīng)當擴充為于是這個相因子成為如下形式

由于在Lorentz變換下是個標量，因此總的電磁AB效應(yīng)是Lorentz變換不變的。此外，總的電磁AB效應(yīng)也是規(guī)范變換不變的。因為，對于任一可微函數(shù)所引導(dǎo)出的規(guī)范變換

與

相比較！

25第二十五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五五，廣義楊氏雙縫實驗之四——雙態(tài)系統(tǒng)：各類

“whichway”實驗和各類qubit

1)

中子干涉量度學(xué)[7]與中子旋量干涉

——又一種“whichway”實驗——廣義楊氏雙縫實驗一單色熱中子束，于A點進入中子干涉儀（整塊柱狀單晶硅挖成“山”字形做成），由于Laue散射被分解成透射和衍射的兩束。分別在B和C經(jīng)反射，交匯于D點。注意可以單中子入射，而B、C兩點間卻已拉開為宏觀的距離，是單個中子的兩條路徑態(tài)的相干疊加！其中AC束也可穿過一橫向均勻磁場，區(qū)間為。假定從A到D的這兩條路徑除磁場外完全對稱，在中子極化方向平行于磁場情況下，求出點D強度的變化關(guān)系。26第二十六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五

解：這相當于路徑不對稱的中子楊氏雙縫實驗。設(shè)AC束方向y,，設(shè)兩條干涉路徑空間程差已調(diào)節(jié)為零。但兩條路徑因有磁場而不對稱。中子不帶電，磁場對中子空間波函數(shù)不起作用，故空間波函數(shù)對D點的干涉不起作用。D點干涉強度只決定于自旋波函數(shù)的相干疊加[8]。27第二十七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五

2)光學(xué)分束器——再一種“whichway”實驗

設(shè)水平極化光子1從入射（“空間?！保?，半透鏡將其相干分解，反射向+透射向；垂直極化光子2（“空間?！保娜肷?，半透鏡將其相干分解成反射向+透射向。注意，反射束有位相跳變，透射束則無。這種分解對每個光子而言都是相干分解。此處現(xiàn)在是雙光子入射：出現(xiàn)兩個光子同時到達，出射態(tài)中光子的空間模有重疊，必須予以對稱化。正確的出射態(tài)應(yīng)為（見全同性原理）：作為對照，這顯然類似于：雙電子同時楊氏雙縫——兩個電子同時入射到楊氏雙縫，各自均按兩條縫作相干分解，但要求進行反稱化。28第二十八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五

3)作為qubit的條件，各類qubit

各種類型的量子位不外乎都可以定義為一個態(tài)和一個態(tài)的相干疊加，即，量子位一般處于

如果不僅僅把這兩個基矢理解為兩個能級、兩種自旋取向、兩種極化方式、哪條縫出來，等等狀態(tài)，而且更廣泛地理解為：粒子由哪條路徑過來、經(jīng)折射還是反射、兩個出口的哪個出口出去、甚至下面“貓”的死活。凡是兩種選擇、兩種方式、兩種狀態(tài)的概率幅相干疊加的情況，就都可納入廣義楊氏雙縫實驗思考的范疇——實則是廣義兩能級系統(tǒng)——廣義的qubit

。能作為qubit的雙態(tài)系統(tǒng)必須滿足條件：除這兩個能級外，其余能級在工作和測量期間影響可忽略；可施加外控進行相應(yīng)幺正演化；可隨意插入測量；退相干時間短于多次運行時間。

NMR,極化光子，磁場中電子，Josephsonjunction,Quantumdots,Iontrap,etc.29第二十九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五4）各類SchrodingerCat態(tài)

——還是“whichway”實驗

i)各種“SchrodingerCat”態(tài)。要點：一個粒子處于兩個不同態(tài)的相干疊加態(tài)上，而這兩個態(tài)又要在各種類型意義上為足夠“分開”，以致具有“宏觀”的廣義的“距離”。例如，中子干涉儀中的兩路中子態(tài)。

ii)如果這只倒霉的SchrodingerCat是裝在透明箱子里的，那將如何呢？——對放射源的連續(xù)測量導(dǎo)致量子Zeno效應(yīng)——結(jié)果：貓會一直活著!iii)SchrodingerCat’sParadox：其實，真正的“死”與“活”概念只是大量原子分子總體的宏觀觀念。由于大自由度系統(tǒng)因不可避免的大量相互作用而產(chǎn)生的大量糾纏，造成極快速的退相干，貓的“死”狀態(tài)與“活”狀態(tài)之間早已不存在相干疊加態(tài)，而是非相干的、概率相加的混態(tài)。所以佯謬不會出現(xiàn)。30第三十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五所有whichway實驗的總結(jié)論：無論雙縫、雙路、雙出口、雙態(tài)等等各種各類which

way實驗,結(jié)果一概是：

不論用何種方法，只要能夠區(qū)分“whichway”,干涉花樣必定消失；只當實驗方案在原理上就無法區(qū)分的情況下，干涉現(xiàn)象必定出現(xiàn)。31第三十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五五，分析與結(jié)論

1）無論是單粒子或復(fù)合粒子的楊氏雙縫、各種“whichway”、各類Schrodinger

貓，就本質(zhì)而言，都可歸結(jié)為“廣義楊氏雙縫實驗”：

兩份概率幅相干疊加，測量時向兩者之一塌縮。

2）只當實驗方案原理上無法區(qū)分哪一條路（縫、出口、死活、反射折射）——無廣義的好量子數(shù)（好量子數(shù)或“正交特性”）可供識別時，干涉現(xiàn)象才能發(fā)生；如果能用某種辦法識別得出是哪條路（縫），干涉現(xiàn)象必定消失——已存在可供識別的廣義好量子數(shù)使兩態(tài)之間正交，導(dǎo)致干涉消失。

32第三十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期五

如為多粒子情況,“可識別”相應(yīng)于：按全同性原理應(yīng)做的對（反）稱化時，所出現(xiàn)的交換矩陣元（此時正是它們顯示干涉效應(yīng)）因正交性而消失。

3）這類實