32形體在計算機內(nèi)的表示

3.2形體在計算機內(nèi)的表示3.2.1引言計算機中表示形體，通常用線框、表面和實體三種模型。對于任一形體，如果它是3維歐氏空間中非空、有界的封閉子集，且其邊界是二維流形（即該形體是連通的），我們稱該形體為正則形體，否則稱為非正則形體。些非正則形體的實例

集合運算（并、交、差）是構(gòu)造形體的基本方法。正則形體經(jīng)過集合運算后，可能會產(chǎn)生懸邊、懸面等低于三維的形體。Requicha在引入正則形體概念的同時，還定義了正則集合運算的概念。正則集合運算保證集合運算的結(jié)果仍是一個正則形體，即丟棄懸邊、懸面等。

為了能夠處理非正則形體，產(chǎn)生了非正則造型技術(shù)。九十年代以來，基于約束的參數(shù)化、變量化造型和支持線框、曲面、實體統(tǒng)一表示的非正則形體造型技術(shù)已成為幾何造型技術(shù)的主流。

3.2.2形體表示模型在實體模型的表示中，基本上可以分為分解表示、構(gòu)造表示和邊界表示三大類。1、分解表示將形體按某種規(guī)則分解為小的更易于描述的部分，每一小部分又可分為更小的部分，這種分解過程直至每一小部分都能夠直接描述為止。(a)將形體空間細分為小的立方體單元。這種表示方法的優(yōu)點是簡單，容易實現(xiàn)形體的交、并、差計算，但是占用的存儲量太大，物體的邊界面沒有顯式的解析表達式，不便于運算。

(b)八叉樹法表示形體.首先對形體定義一個外接立方體，再把它分解成八個子立方體，并對立方體依次編號為0，1，2，…，7。如果子立方體單元已經(jīng)一致，即為滿（該立方體充滿形體）或為空（沒有形體在其中），則該子立方體可停止分解；否則，需要對該立方體作進一步分解，再一分為八個子立方體。在八叉樹中，非葉結(jié)點的每個結(jié)點都有八個分支。 優(yōu)點主要是： （1）形體表示的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)簡單。

（2）簡化了形體的集合運算。只需同時遍歷參加集合運算的兩形體相應(yīng)的八叉樹，無需進行復(fù)雜的求交運算。（3）簡化了隱藏線（或面）的消除，因為在八叉樹表示中，形體上各元素已按空間位置排成了一定的順序。（4）分析算法適合于并行處理。八叉樹表示的缺點：占用的存儲多，只能近似表示形體，以及不易獲取形體的邊界信息等。

2．構(gòu)造表示。通常有掃描表示、構(gòu)造實體幾何表示和特征表示三種。(a)掃描表示?；谝粋€基體（一般是一個封閉的平面輪廓）沿某一路徑運動而產(chǎn)生形體。掃描是生成三維形體的有效方法用掃描變換產(chǎn)生的形體可能出現(xiàn)維數(shù)不一致的問題。掃描方法不能直接獲取形體的邊界信息，表示形體的覆蓋域非常有限。

(b)構(gòu)造實體幾何表示(CSG).通過對體素定義運算而得到新的形體的一種表示方法。體素可以是立方體、圓柱、圓錐等，也可以是半空間，其運算為變換或正則集合運算并、交、差。CSG表示可以看成是一棵有序的二叉樹。其終端節(jié)點或是體素、或是形體變換參數(shù)。非終端結(jié)點或是正則的集合運算，或是變換（平移和/或旋轉(zhuǎn)）操作，這種運算或變換只對其緊接著的子結(jié)點（子形體）起作用。

CSG樹是無二義性的，但不是唯一的.CSG表示的優(yōu)點：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)比較簡單，數(shù)據(jù)量比較小，內(nèi)部數(shù)據(jù)的管理比較容易；CSG表示可方便地轉(zhuǎn)換成邊界（Brep）表示；CSG方法表示的形體的形狀，比較容易修改。CSG表示的缺點：

對形體的表示受體素的種類和對體素操作的種類的限制，也就是說，CSG方法表示形體的覆蓋域有較大的局限性。

對形體的局部操作不易實現(xiàn)，例如，不能對基本體素的交線倒圓角；由于形體的邊界幾何元素（點、邊、面）是隱含地表示在CSG中，故顯示與繪制CSG表示的形體需要較長的時間。(c)特征表示從應(yīng)用層來定義形體，因而可以較好的表達設(shè)計者的意圖。從功能上可分為形狀、精度、材料和技術(shù)特征。

特征是面向應(yīng)用、面向用戶的。特征模型的表示仍然要通過傳統(tǒng)的幾何造型系統(tǒng)來實現(xiàn)。不同的應(yīng)用領(lǐng)域，具有不同的應(yīng)用特征。在幾何造型系統(tǒng)中，根據(jù)特征的參數(shù)我們并不能直接得到特征的幾何元素信息，而在對特征及在特征之間進行操作時需要這些信息。特征方法表示形體的覆蓋域受限于特征的種類。

構(gòu)造表示的特點：構(gòu)造表示通常具有不便于直接獲取形體幾何元素的信息、覆蓋域有限等缺點，但是，便于用戶輸入形體，在CAD/CAM系統(tǒng)中，通常作為輔助表示方法。

3．邊界表示（BR表示或BRep表示）按照體－面－環(huán)－邊－點的層次，詳細記錄了構(gòu)成形體的所有幾何元素的幾何信息及其相互連接的拓撲關(guān)系。邊界表示的一個重要特點是在該表示法中，描述形體的信息包括幾何信息（Geometry）和拓撲信息（Topology）兩個方面。拓撲信息描述形體上的頂點、邊、面的連接關(guān)系，拓撲信息形成物體邊界表示的“骨架”。形體的幾何信息猶如附著在“骨架”上的肌肉。

Brep表示的優(yōu)點是：表示形體的點、邊、面等幾何元素是顯式表示的，使得繪制Brep表示的形體的速度較快，而且比較容易確定幾何元素間的連接關(guān)系；容易支持對物體的各種局部操作，比如進行倒角。便于在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上附加各種非幾何信息，如精度、表面粗糙度等。

Brep表示的缺點是：數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，需要大量的存儲空間，維護內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的程序比較復(fù)雜；Brep表示不一定對應(yīng)一個有效形體，通常運用歐拉操作來保證Brep表示形體的有效性、正則性等。Brep表示覆蓋域大，原則上能表示所有的形體，而且易于支持形體的特征表示等，Brep表示已成為當(dāng)前CAD/CAM系統(tǒng)的主要表示方法。

3.2.3形體的邊界表示模型3.2.3.1邊界表示的基本實體邊界模型表達形體的基本拓撲實體包括：1.頂點2.邊。邊有方向，它由起始頂點和終止頂點來界定。邊的形狀（Curve）由邊的幾何信息來表示，可以是直線或曲線，曲線邊可用一系列控制點或型值點來描述，也可用顯式、隱式或參數(shù)方程來描述。

3.環(huán)。環(huán)（Loop）是有序、有向邊（Edge）組成的封閉邊界。環(huán)有方向、內(nèi)外之分，外環(huán)邊通常按逆時針方向排序，內(nèi)環(huán)邊通常按順時針方向排序。4.面。面（Face）由一個外環(huán)和若干個內(nèi)環(huán)（可以沒有內(nèi)環(huán)）來表示，內(nèi)環(huán)完全在外環(huán)之內(nèi)。若一個面的外法矢向外，稱為正向面；反之，稱為反向面。

面的形狀可以是平面或曲面。平面可用平面方程來描述，曲面可用控制多邊形或型值點來描述，也可用曲面方程（隱式、顯式或參數(shù)形式）來描述。對于參數(shù)曲面，通常在其二維參數(shù)域上定義環(huán)，這樣就可由一些二維的有向邊來表示環(huán)，集合運算中對面的分割也可在二維參數(shù)域上進行。5.體。體（Body）是面的并集。

3.2.3.2邊界表示的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)翼邊數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)：在1972年，由美國斯坦福大學(xué)Baumgart作為多面體的表示模式提出。它用指針記錄了每一邊的兩個鄰面（即左外環(huán)和右外環(huán)）、兩個頂點、兩側(cè)各自相鄰的兩個鄰邊（即左上邊、左下邊、右上邊和右下邊），用這一數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)表示多面體模型是完備的，但它不能表示帶有精確曲面邊界的實體。

輻射邊：為了表示非正則形體，1986年，Weiler提出了輻射邊（RadialEdge）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。輻射邊結(jié)構(gòu)的形體模型由幾何信息和拓撲信息兩部分組成。幾何信息有面（face）、環(huán)（loop）、邊（edge）和點（vertex）拓撲信息有模型（model）、區(qū)域（region）、外殼（shell）、面引用（faceuse）、環(huán)引用（loopuse）、邊引用（edgeuse）和點引用（vertexuse）。

點是三維空間的一個位置邊可以是直線邊或曲線邊，邊的端點可以重合。環(huán)是由首尾相接的一些邊組成，而且最后一條邊的終點與第一條邊的起點重合；環(huán)也可以是一個孤立點。外殼是一些點、邊、環(huán)、面的集合；外殼是一些點、邊、環(huán)、面的集合。區(qū)域由一組外殼組成。模型由區(qū)域組成。

清華大學(xué)國家CAD工程中心開發(fā)的幾何造型系統(tǒng)GEMS5.0中，采用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)如圖體組特征表示單體(零件)面組面線框環(huán)環(huán)邊邊頂點曲面曲線點實體幾何數(shù)據(jù)實體拓撲數(shù)據(jù)參數(shù)域曲線

該數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)基于線框、表面、實體和特征統(tǒng)一表示，且具有以下特點：1）采用自頂向下的設(shè)計思想。在形體的表示上，遵循了從大到小，分解表示的原則；2）支持非流形形體的表示；3）實體拓撲數(shù)據(jù)與幾何數(shù)據(jù)雙鏈表連接，存放緊湊；4）能夠支持特征造型。

3.2.3.3歐拉操作對于任意的簡單多面體，其面(f)、邊(e)、頂點(v)的數(shù)目滿足歐拉公式v-e+f=2對于任意的正則形體，引入形體的其它幾個參數(shù)：形體所有面上的內(nèi)孔總數(shù)(r)、穿透形體的孔洞數(shù)(h)和形體非連通部分總數(shù)(s)，則形體滿足公式：v-e+f=2(s-h)+r

修改過程中保證各幾何元素的數(shù)目保持這個關(guān)系式不變，這一套操作就是歐拉操作。最為常用的幾種歐拉操作有：(1)mvsf(v,f)，生成含有一個點的面，并且構(gòu)成一個新的體。(2)kvsf，刪除一個體，該體僅含有一個點的面。(3)mev(v1,v2,e)，生成一個新的點v2，連接該點到已有的點v1，構(gòu)成一條新的邊。(4)kev(e,v)，刪除一條邊e和該邊的一個端點v。(5)mef(v1,v2,f1,f2,e)，連接面f1上的兩個點v1、v2，生成一條新的邊e，并產(chǎn)生一個新的面。

(6)kef(e)，刪除一條邊e和該邊的一個鄰面f。(7)kemr(e)，刪除一條邊e，生成該邊某一鄰面上的一新的內(nèi)環(huán)。(8)mekr(v1,v2,e)，連接兩個點v1、v2，生成一條新的邊e，并刪除掉v1和v2所在面上的一個內(nèi)環(huán)。(9)kfmrh(f1,f2)，刪除與面f1相接觸的一個面f2，生成面f1上的一個內(nèi)環(huán)，并形成體上的一個通孔。(10)mfkrh(f1,f2)，刪除面f1上的一個內(nèi)環(huán)，生成一個新的面f2，由此也刪除了體上的一個通孔。

為了方便對形體的修改，還定義了兩個輔助的操作：公共端點。(11)semv(e1,v,e2)，將邊e1分割成兩段，生成一個新的點v和一條新的邊e2。(12)jekv(e1,e2)，合并兩條相鄰的邊e1、e2，刪除它們的公共端點。以上十種歐拉操作和兩個輔助操作，每兩個一組，構(gòu)成了六組互為可逆的操作?？梢宰C明：歐拉操作是有效的，即用歐拉操作對形體操作的結(jié)果在物理上是可實現(xiàn)的；歐拉操作是完備的，即任何形體都可用有限步驟的歐拉操作構(gòu)造出來。

3.2.3.4集合運算正則集與正則集合運算算子規(guī)定正則形體是三維歐氏空間中的正則集合，因此可以將正則幾何形體描述如下：設(shè)G是三維歐氏空間中的一個有界區(qū)域，且G＝bG∪iG，其中bG是G的n－1維邊界，iG是G的內(nèi)部。G的補空間cG稱為G的外部，此時正則形體G需滿足：1）bG將iG和cG分為兩個互不連通的子空間；2）bG中的任意一點可以使iG和bG連通；3）bG中任一點存在切平面，其法矢指向cG子空間4）bG是二維流形。

設(shè)<OP>是集合運算算子（交、并或差），R3中任意兩個正則形體A、B作集合運算： R=A<OP>B運算結(jié)果R仍是R3中的正則形體，則稱<OP>為正則集合算子。正則并、正則交、正則差分別記為∪*，∩*、-*。分類

Tilove對分類問題的定義為：設(shè)S為待分類元素組成的集合，G為一正則集合，則S相對于G的成員分類函數(shù)為： C(S,G)={SinG，SoutG，SonG其中， SinG=S∩iG， SoutG=S∩cG，

SonG=S∩bG，

集合運算算法包括以下幾部分：(1)求交：參與運算的一個形體的各拓撲元素求交，求交的順序采用低維元素向高維元素進行。用求交結(jié)果產(chǎn)生的新元素（維數(shù)低于參與求交的元素）對求交元素進行劃分，形成一些子元素。(2)成環(huán)：由求交得到的交線將原形體的面進行分割，形成一些新的面環(huán)。再加上原形體的懸邊、懸點經(jīng)求交后得到的各子拓撲元素，形成一拓撲元素生成集。

(3)分類：對形成的拓撲元素生成集中的每一拓撲元