高中數(shù)學(xué)函數(shù)的極值和最值

高中數(shù)學(xué)函數(shù)的極值和最值第一頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六本節(jié)重點(diǎn):極值的定義,極值存在的必要條件和充分條件,求極值的方法,求最值的方法本節(jié)難點(diǎn):極值和最值的關(guān)系,極值點(diǎn)和駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)之間的關(guān)系,求極值和最值的方法第二頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六一、極值及其求法1.極值的定義:定義:設(shè)y=f(x)在某一鄰域內(nèi)有定義,如果對(duì)于該鄰域內(nèi)異于的任意點(diǎn)x都有:(1)f(x)<f(),則稱f()為f(x)的極大值,稱為f(x)的極大值點(diǎn);(2)f(x)>f(),則稱f()為f(x)的極小值,稱為f(x)的極小值點(diǎn);極大值,極小值統(tǒng)稱為極值;極大值點(diǎn),極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).注:(1)極值是局部概念,極值不一定是最值;(2)極值不唯一,極大值不一定比極小值大第三頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六2.極值存在的必要條件和充分條件:(1)必要條件定理若函數(shù)f(x)在可導(dǎo),且在處取得極值,則第四頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六注：極值點(diǎn)是駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，反之不成立。例x=0是函數(shù)的駐點(diǎn)而非極值點(diǎn);第五頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六（2）極值存在的第一充分條件定理：設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可導(dǎo)且(1)若x<時(shí)，;當(dāng)x>時(shí),則f(x)在點(diǎn)處取得極大值f()(2)若x<時(shí)，;當(dāng)x>時(shí)，,則f(x)在點(diǎn)處取得極小值f()(3）若x從的左側(cè)變化到右側(cè)時(shí)，不變號(hào)，則f(x)在處無極值.注：此定理也可以判斷不可導(dǎo)點(diǎn)是否為極值點(diǎn)第六頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)+不存在-0+y↗極大值0↘極小值-3↗函數(shù)有極大值f(0)=0極小值f(1)=-3第七頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六（3）第二充分條件定理：設(shè)f(x)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=處二階可導(dǎo)，且,,(1)若,則f(x)在點(diǎn)取得極大值(2)若,則f(x)在點(diǎn)取得極小值。第八頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)+0-0+f(x)↗極大值10↘極小值-22↗第九頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六二、最大值與最小值1.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必有最值第十頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六求最值的方法：①求②求出f(x)在[a,b]內(nèi)的所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(i=1,2,…n)③求f(a),f(b),f(),其中最大(小)的即為f(x)在[a,b]上的最大(小)值。第十一頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六2．f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問題的性質(zhì)知f(x)的最大（?。┲狄欢ù嬖冢瑒t在駐點(diǎn)處取得最值。例4從一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮的四角上截去同樣大小的正方形，然后沿虛線把四邊折起來做成一個(gè)無蓋的盒子，問要截去多大的小方塊，可使盒子的容積最大？解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為a盒子的容積第十二頁，共十四頁，編輯于2023年，星期六函數(shù)在定義區(qū)間駐點(diǎn)唯一，由問題性質(zhì)知最大容積一定存在，所以，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為，即從四角各截去一邊長(zhǎng)為的小正方形，可使盒子的容積最大例5：一張1.4米高的圖片掛在