2021年遼寧省盤錦市大洼縣第一高級中學高三數學理下學期期末試題含解析

2021年遼寧省盤錦市大洼縣第一高級中學高三數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某幾何體的三視圖（單位：cm）若圖所示，則該幾何體的體積是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B2.不等式組的解集記為,若,則的最小值是(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：A畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖三角形ABC為所示，當過A（－2,0）時取得最上值為－43.在等差數列{an}中，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n項和，則使Sn達到最大值的n是（

）A．21

B．20

C．19

D．18參考答案：B因為，，所以，，從而d，,所以當時取最大值，選B.4.函數的圖像大致是(

)

參考答案：B5.設，雙曲線與圓相切，A（，0），B（，0），若圓N上存在一點P滿足，則點P到x軸的距離為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據圓與雙曲線的位置關系，聯立雙曲線方程和圓的方程，消去，可得的一元二次方程，由判別式為0，求出的值，再根據雙曲線的定義以及韋達定理，即可求出?！驹斀狻柯摿⑴c，消去得，又易知點分別為雙曲線的左、右焦點，又，故由雙曲線的定義可知在雙曲線上，且為右切點，由韋達定理得點到軸的距離為，故選D?！军c睛】本題主要考查雙曲線的定義的應用，以及雙曲線與圓的位置關系應用，意在考查學生的數學運算能力。6.設集合M={-1,0,1}，N={x|x2≤x}，則M∩N=A.{0}

B.{0,1}

C.{-1,1}

D.{-1,0,0}參考答案：B

M={-1,0,1}M∩N={0,1}.【點評】本題考查了集合的基本運算，較簡單，易得分.先求出,再利用交集定義得出M∩N.7.已知周期為π的函數關于直線對稱，將y=f(x)的圖像向左平移個單位得到函數y=g(x)的圖像，則下列結論正確的是（

）A.g(x)為偶函數.

B.g(x)圖像關于點(,0)對稱C.g(x)在區(qū)間[,]上單調遞增

D.g(x)為奇函數.參考答案：C由題意可知=2,,關于對稱，則,∵,得,即,其圖像向左平移個單位,得.從而可知A,D錯誤，又∵∴B錯誤,∵,單調遞增,∴C正確，故選C.8.已知點M在角θ終邊的延長線上，且|OM|=2，則M的坐標為（）A．（2cosθ，2sinθ） B．（﹣2cosθ，2sinθ）C．（﹣2cosθ，﹣2sinθ） D．（2cosθ，﹣2sinθ）參考答案：C【考點】任意角的三角函數的定義．【分析】由題意，M的坐標為（2cos（π+θ），2sin（π+θ）），即可得出結論．【解答】解：由題意，M的坐標為（2cos（π+θ），2sin（π+θ）），即（﹣2cosθ，﹣2sinθ），故選C．9.為圓內異于圓心的一點，則直線與該圓的位置關系為（

）A．相離

B．相交

C．相切

D．相切或相離參考答案：A

解．點M在圓內故，圓心到直線的距離．故直線與圓相離．選A．10.函數y=sin（2x+φ），的部分圖象如圖，則φ的值為（）A．或 B． C． D．參考答案：B【考點】y=Asin（ωx+φ）中參數的物理意義；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】計算題；三角函數的圖像與性質．【分析】由已知中函數的圖象，通過坐標（，0）代入解析式，結合φ求出φ值，得到答案．【解答】解：由已知中函數y=sin（2x+φ）（φ）的圖象過（，0）點代入解析式，結合五點法作圖，sin（+φ）=0，+φ=π+2kπ，k∈Z，∵φ，∴k=0，∴φ=，故選：B．【點評】本題考查的知識點是由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，特殊點是解答本題的關鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x1，x2是函數f（x）=2sin2x+cos2x-m在內的兩個零點，則sin（x1+x2）=______．參考答案：

解：x1，x2是函數f（x）=2sin2x+cos2x-m在[0，]內的兩個零點，

可得m=2sin2x1+cos2x1=2sin2x2+cos2x2，

即為2（sin2x1-sin2x2）=-cos2x1+cos2x2，

即有4cos（x1+x2）sin（x1-x2）=-2sin（x2+x1）sin（x2-x1），

由x1≠x2，可得sin（x1-x2）≠0，可得sin（x2+x1）=2cos（x1+x2），

由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，可得sin（x2+x1）=±，

由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．

另解：由對稱性可知=2sin（x2+x1）+cos（x1+x2），

由sin2（x2+x1）+cos2（x1+x2）=1，

由x1+x2∈[0，π]，即有sin（x2+x1）=．故答案為：．12.給出下列不等式：，，，…，則按此規(guī)律可猜想第n個不等式為

．參考答案：13.已知，，且，則與夾角的余弦值為___________.參考答案：，，．14.向量、、在正方形網格中的位置如圖所示，若（），則

。參考答案：415.函數的值域是____________參考答案：略16.已知函數，函數（，且mp＜0），給出下列結論：①存在實數r和s，使得對于任意實數x恒成立；②函數的圖像關于點對稱；③函數可能不存在零點（注：使關于x的方程的實數x叫做函數的零點）；④關于x的方程的解集可能為{－1，1，4，5}．其中正確結論的序號為

（寫出所有正確結論的序號）．參考答案：①③17.若存在實數使成立，則實數的取值范圍是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知函數為自然對數的底數），（1）若函數恰有一個零點，證明：（2）若對任意恒成立，求實數的取值集合.參考答案：【知識點】導數的應用.

B12【答案解析】(1)見解析；（2）的取值集合為.解析：(1)證明：由，得．…………1分由>0，即>0，解得x>lna，同理由<0解得x<lna，∴在(-∞，lna)上是減函數，在(lna，+∞)上是增函數，于是在取得最小值．又∵函數恰有一個零點，則，…4分即．…………5分化簡得：，∴．…………………6分(2)解：由(Ⅰ)知，在取得最小值，由題意得≥0，即≥0，……8分令，則，由可得0<a<1，由可得a>1．∴在(0，1)上單調遞增，在(1，+∞)上單調遞減，即，∴當0<a<1或a>1時，h(a)<0，∴要使得≥0對任意x∈R恒成立，∴的取值集合為………13分【思路點撥】根據函數的導數可判定函數的單調性,由此得函數f(x)只有一個最小值，因為函數恰有一個零點，所以此最小值是0，從而證得結論；（1）對任意恒成立，即函數f(x)的最小值大于或等于0，由此得關于a的不等式，再利用導數求得結論.19.已知拋物線，直線與拋物線交于兩點．（Ⅰ）若軸與以為直徑的圓相切，求該圓的方程；（Ⅱ）若直線與軸負半軸相交，求面積的最大值．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）

【知識點】圓與圓錐曲線的綜合；圓的標準方程；拋物線的標準方程．H3H7H8（Ⅰ）聯立，消并化簡整理得．依題意應有，解得．設，則，設圓心，則應有．因為以為直徑的圓與軸相切，得到圓半徑為，又．所以，解得．

所以，所以圓心為．故所求圓的方程為．（Ⅱ）因為直線與軸負半軸相交，所以，又與拋物線交于兩點，由（Ⅱ）知，所以，直線：整理得，點到直線的距離，所以．

令，，，由上表可得的最大值為．所以當時，的面積取得最大值．【思路點撥】（Ⅰ）拋物線y2=2px（p＞0）的準線為，由拋物線定義和已知條件可知，由此能求出拋物線方程,聯立，消x并化簡整理得y2+8y﹣8b=0．依題意應有△=64+32b＞0，解得b＞﹣2．設A（x1，y1），B（x2，y2），則y1+y2=﹣8，y1y2=﹣8b，設圓心Q（x0，y0），則應有．因為以AB為直徑的圓與x軸相切，得到圓半徑為r=|y0|=4，由此能夠推導出圓的方程．（Ⅱ）因為直線l與y軸負半軸相交，所以b＜0，又l與拋物線交于兩點，由（Ⅱ）知b＞﹣2，所以﹣2＜b＜0，直線l：整理得x+2y﹣2b=0，點O到直線l的距離，所以．由此能夠求出AOB的面積的最大值．20.（12分）已知數列，，，記，，（）,若對于任意，，，成等差數列.(Ⅰ)求數列的通項公式；

(Ⅱ)求數列的前項和.參考答案：（Ⅰ）根據題意，，成等差數列∴

--------------2分整理得∴數列是首項為，公差為的等差數列

--------------4分∴

--------------6分（Ⅱ）

--------------8分記數列的前項和為.當時，

當時，綜上，

--------------12分21.（本小題滿分10分）《選修4—1：幾何證明選講》如圖，A，B，C，D四點在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點，且EC=ED．（I）證明：CD//AB；（II）延長CD到F，延長DC到G，使得EF=EG，證明：A，B，G，F四點共圓．參考答案：（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講解：（I）因為EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.因為A，B，C，D四點在同一圓上，所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA，所以CD//AB.

…………5分

（II）由（I）知，AE=BE，因為EF=FG，故∠EFD=∠EGC從而∠FED=∠GEC.連結AF，BG，則△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°.故A，B，G，F四點共圓

…………10分略22.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a1=2，S5=30，數列{bn}的前n項和為Tn，且Tn=2n﹣1．（Ⅰ）求數列{an}，{bn}的通項公式；（Ⅱ）設cn=（﹣1）n（anbn+lnSn），求數列{cn}的前n項和．參考答案：【考點】數列的求和．【專題】整體思想；綜合法；等差數列與等比數列．【分析】（Ⅰ）通過記等差數列{an}的公差為d，利用等差數列的求和公式及a1=2可知公差d=2，進而可知an=2n；通過Tn=2n﹣1與Tn﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2）作差，進而可知bn=2n﹣1；（Ⅱ）通過（I）可知anbn=n?2n，Sn=n（n+1），進而可知cn=n（﹣2）n+（﹣1）n[lnn+ln（n+1）]，利用錯位相減法計算可知數列{（﹣1）nanbn}的前n項和An=﹣﹣?（﹣2）n+1；通過分類討論，結合并項相加法可知數列{（﹣1）nlnSn}的前n項和Bn=（﹣1）nln（n+1），進而可得結論．【解答】解：（Ⅰ）記等差數列{an}的公差為d，依題意，S5=5a1+d=30，又∵a1=2，∴d==2，∴數列{an}的通項公式an=2n；∵Tn=2n﹣1，∴Tn﹣1=2n﹣1﹣1（n≥2），兩式相減得：bn=2n﹣1，又∵b1=T1=21﹣1=1滿足上式，∴數列{bn}的通項公式bn=2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知anbn=n?2n，Sn=2?=n（n+1），∴cn=（﹣1）n（anbn+lnSn）=n（﹣2）n+（﹣1）n[lnn+ln（n+1）]，記數列{（﹣1）nanbn}的前n項和為An，數列{（﹣1）nlnSn}的前n項和為Bn，則An=1?（﹣2）1+2?（﹣2）2+3?（﹣2）3+…+n?（﹣2）n，﹣2An=1?（﹣2）2+2?（﹣2）3+…+（n﹣1）?（﹣2）n+n?（﹣2）n+1，錯位相減得：3An=（﹣2）1+（﹣2）2+（﹣2）3+…+（﹣2）n﹣n?（﹣2）n+1=﹣n?（﹣2）n+1=﹣﹣?（﹣2）n+1，∴An=﹣﹣?（﹣2）n+1；當