高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)的極值及其求法

高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)的極值及其求法1第一頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六一、多元函數(shù)的極值定義:若函數(shù)則稱函數(shù)在該點(diǎn)取得極大值(極小值).例如:在點(diǎn)(0,0)有極小值;在點(diǎn)(0,0)有極大值;在點(diǎn)(0,0)無(wú)極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).的某鄰域內(nèi)有2第二頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六定理1(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值且在該點(diǎn)取得極值,則有存在故3第三頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六4第四頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)極值點(diǎn)問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：5第五頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六時(shí),具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒(méi)有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)6第六頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六7第七頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點(diǎn).得駐點(diǎn):(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(diǎn)(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)8第八頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六在點(diǎn)(3,0)處不是極值;在點(diǎn)(3,2)處為極大值.在點(diǎn)(1,2)處不是極值;9第九頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六解10第十頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六11第十一頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六12第十二頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六二、最值應(yīng)用問(wèn)題函數(shù)f在閉域上連續(xù)函數(shù)f在閉域上可達(dá)到最值最值可疑點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)13第十三頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六解如圖,14第十四頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六15第十五頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六16第十六頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六解由17第十七頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六18第十八頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六

對(duì)于實(shí)際問(wèn)題可根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義判斷最大值和最小值的存在性。例5某公司在生產(chǎn)中使用甲、兩種原料,已知甲和乙兩種原料分別使用x單位和y單位可生產(chǎn)Q單位的產(chǎn)品，且已知甲原料單價(jià)為20元/單位，乙原料單價(jià)為30元/單位，產(chǎn)品每單位售價(jià)為100元，產(chǎn)品固定成本為1000元，求該公司的最大利潤(rùn)。解利潤(rùn)函數(shù)為19第十九頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六（利潤(rùn)函數(shù)）解方程組求得唯一駐點(diǎn)（5，8）所以在（5，8）取得極大值20第二十頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六無(wú)條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無(wú)其他條件.21第二十一頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六三、條件極值極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化22第二十二頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問(wèn)題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問(wèn)題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)記例如,故

故有23第二十三頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.24第二十四頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,求函數(shù)下的極值.在條件25第二十五頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六例6拋物面被平面x+y+z=1截成一個(gè)橢圓，求這個(gè)橢圓到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)與最短距離。解該問(wèn)題即求函數(shù)在條件及x+y+z=1下的最大值與最小值。求偏導(dǎo)得到可能的極值點(diǎn)：26第二十六頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六由該問(wèn)題的實(shí)際意義知該問(wèn)題確實(shí)存在最大值與最小值，其最大值與最小值為27第二十七頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六解則28第二十八頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六例8某公司通過(guò)電臺(tái)和報(bào)紙兩種方式做銷售其產(chǎn)品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料分析可知，銷售收入R（萬(wàn)元）與電臺(tái)廣告費(fèi)x（萬(wàn)元）、報(bào)紙廣告費(fèi)y（萬(wàn)元）有如下經(jīng)驗(yàn)公式：R=15+14x+32y-8xy-2x2-10y2（1）在廣告費(fèi)用不限的情況下，求使銷售凈收入最大的廣告策略；（2）若提供的廣告費(fèi)用為1.5萬(wàn)元,求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略.29第二十九頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六解(1)銷售凈收入為L(zhǎng)=R-(x+y)=15+13x+31y-8xy-2x2-10y2由極值必要條件Lx=13-8y-4x=0,Ly=31-8x-20y=0

得駐點(diǎn)(x0,y0)=(0.75,1.25)由于Lxx=-4<0,Lxy=-8,Lyy=-20得B2-AC=-16<0(x0,y0)=(0.75,1.25)為極大值點(diǎn),亦最大值點(diǎn)于是,電臺(tái)廣告費(fèi)為0.75萬(wàn)元,報(bào)紙廣告費(fèi)為1.25萬(wàn)元時(shí),銷售凈收入最大,最大值為39.25萬(wàn)元.30第三十頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六31第三十一頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六例9某企業(yè)在兩個(gè)互相分割的市場(chǎng)上出售同一種產(chǎn)品，兩個(gè)市場(chǎng)的需求函數(shù)分別是P1=18-2Q1,P2=12-Q2總成本為C=2Q+5,Q=Q1+Q2（1）如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格差別策略，試確定兩個(gè)市場(chǎng)上該產(chǎn)品的銷售量和價(jià)格，使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)；（2）如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格無(wú)差別策略，試確定兩個(gè)市場(chǎng)上該產(chǎn)品的銷售量和其統(tǒng)一的價(jià)格，使該企業(yè)的總利潤(rùn)最大化；并比較兩種價(jià)格策略下的總利潤(rùn)大小。

32第三十二頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六解（1）33第三十三頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六（2）34第三十四頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六例10：某公司準(zhǔn)備用2百萬(wàn)元的資金，通過(guò)兩種方式做廣告，一種是電臺(tái)廣播，一種是在日?qǐng)?bào)上登廣告，根據(jù)以王經(jīng)驗(yàn)，銷售收入與廣告費(fèi)用之間有如下關(guān)系費(fèi)和日?qǐng)?bào)廣告費(fèi)，單位均為百萬(wàn)元.試確定廣告費(fèi)使用的最佳方案，使銷售金額最大。

解35第三十五頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六且為最大值36第三十六頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六即時(shí)有極大值，也就是最優(yōu)方案。37第三十七頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六例11設(shè)產(chǎn)品的產(chǎn)量是勞動(dòng)力x和原料y的函數(shù)為假定每單位勞動(dòng)力花費(fèi)100元，每單位原料原料花費(fèi)200元，現(xiàn)有資金30000元用于生產(chǎn)，應(yīng)如何按排勞動(dòng)力與原料，使產(chǎn)量達(dá)到最大.解:該問(wèn)題是在勞動(dòng)力x與原料y滿足條件100x+200y=30000的條件下，求目標(biāo)函數(shù)的最大值。構(gòu)造函數(shù):38第三十八頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期六求可能的極值