橢圓離心率求法總結

.橢圓離心率的解法一、運用幾何圖形中線段的幾何意義.PQL交OA于BO為橢圓的中心F為焦點AAO｜PF｜｜QF｜④e=e，則e=②e=QFPD⊥L于D，AD于F,設橢圓的離心率為｜BF｜BO｜PD｜｜FOAF｜｜e=e=⑤ ｜AO｜BA｜PDQABFO評AQP為橢圓上的點，根據橢圓的第二定義得，①②④。a2∵AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵AO｜=a,｜BO｜=∴有③。 cx2y2題目1橢圓+=1(a>b>0)為F1F2以F1F2為邊作正三角形若橢 a2b2圓恰好平分正三角形的兩邊，則橢圓的離心率e？ABF1：A點在橢圓外，找a、b、c的關系應借助橢圓，所以取AF2的中點B，連接BF1,把已知條件放在橢圓內，構造△F1BF2分析三角形的各邊長及關系。解：∵F1F2｜=2c｜BF=c｜BF｜=3ccc+3c=2a∴e==3-1ax2y2變形1+=1(a>b>0)為F1F2點P在橢圓上使OPF1為正 a2b217/1.POFF三角形，求橢圓離心率？3-21O∠F1PF2=90°圖形如上圖，e==｜OF1｜=｜P｜,OF2解：連接PF2,則｜y2x2是橢圓上一AB為橢圓的頂點P橢圓+=1(a>b>0的兩焦點為F1F2變形2:b2a2求橢圓離心率？PF2∥AB,點，且PF1⊥X軸，BPAFO=a｜OB｜=b｜O=解：∵PF1

b2｜F2F1｜=2c abPF1｜｜a2-c2∵b=∴PF2∥AB=又 aF2F1｜｜5∴a2=5c2e=5方程的c點評以上題目構造焦點三角形關系推導有關a與式二、運用正余弦定理解決圖形中的三角形y2x2是短軸的一個頂點，∠B是右焦點1(a>b>0)A是左頂點，F+：橢圓題目2b2a2e?°，求ABF=9017/2.BAOFa2+b2=｜BF｜=a｜B｜AO=a｜OF｜=ca2兩邊同除以a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2 a2-c2-ac=055-1--1+)(舍去e2+e-1=0e=e=225x2y2-1+是短軸的一個B是左頂點+=1(a>b>0)是右焦點e=,A變形橢圓2a2b2ABF題的中分析各邊，案90°5-1引申此類e=的橢圓為優(yōu)美橢圓2焦點與相應準線之間的3ABFB1四點共圓。則°2、假設下端點為B1,性質1、ABF=90距離等于長半軸長。結合解斜三角形找各邊的表示，總結：焦點三角形以外的三角形的處理方法根據幾何意義，的方程式。公式，列出有關ey2x2兩AB60°的直線交橢圓與=1(a>b>0)點F1且傾斜角為題目3+b2a2e?,求=2｜BF1｜點，若F1ABF2｜=2a-am｜AF2解：設BF1｜=m則｜2a-cc2=m(2a-c)：a2–?式相除兩?中，由余弦定理得：BF1F2在△AF1F2及△ 2(a2-c2)=m(2a+c) 2a+c21?e== 32y2x2｜是以F1F2、F2(c,0)，P（：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點為F1c目4b2a2為直徑的圓與橢圓的一個交點，且e?求PF1F2=5∠PF2F1分析此題有角的值可以考慮正弦定理的應用PF2｜F1F2｜｜F1P==解：由正弦定理： sinPF1F2 sinF1F2PsinF1PF2根據和比性質：｜PF2｜｜F1P+｜｜2 sinF1PF2sinF1F2P+sinPF1F217/3.sinF1PF2｜F1F2｜=變形得： nF1P｜｜PF｜+｜2c=e= 2a°PF1F2=75°∠PF2F1=15∠6°sin90=e= sin75°+sin15點評：在焦點三角形中，使用第一定義和正弦定理可知sinF1PF2e= sinF1F2P+sinPF1F2x2y2變形1：橢圓+=1(a>b>0)為F1（-c，0、F2(c,0，P是橢圓上一點，b2a2且F1PF2=60°，求e的取值范圍？分析：上題公式直接應用。解：設F1F2P=α，則F2F1P=120°-αsinF1PF2sin60°=e==-α)sinα+sin(120°sinF1F2P+sinPF1F2111≥ ∴e<12)α2+30°2sin(x2y2變形2：已知橢=1(t>0)F1F2為橢圓兩焦點M為橢圓上任意一點（M不與 21β1長軸兩端點重合）設∠=α,∠1=若n<n<,求e的取值范圍？232分析：運用三角函數的公式，把正弦化正切。α+β+β2sincos22sinF1PF2sin(αβ)解;根據上題結論e===β-βα+sinF1F2P+sinPF1F2sinα+sin2sincos 22βαβcoscos-sinsin 2222= ββαnn2222β1-tantan 22==eα 1-tantan 2211-e111∵<< ∴<e< 21+e332三、以直線與橢圓的位置關系為背景，用設而不求的方法找e所符合的關系式.x2y2題目5：橢圓+=1(a>b>0)，斜率為1，且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、Bb2a2→→OAOBa=(3,-1)共線，求兩點+與17/4.)A(,YO)B(X,Y e?A(x1,y1),B(x2,y2)法一：設b2x2+a2y2=a2b2?

y=x-c(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0-2b2c2a2c2a2c-2c=x1+x2=y1+y2= a2+b2a2+b2a2+b2→→OBOA，與（3-1+）共線，=(x1+x2,y1+y2)6 a2=3b2?→→OBOAON=N，則2+AB法二：設的中點x12y12?

e==3(y1+y2)既-（x1+x2）3①+=1 b2a2?②得： ①y22x22?②+=1 b2a26b2b2x1+x2y1-y2既a2=3b2 e==-∴1=-(-3)3x1-x2y1+y2a2a2由圖形中暗含的不等關系，求離心率的取值范圍。四、y2x2→→MFMF=02滿(c,0)1F2兩焦點為=1(a>b圓6題目+>0)F1-c0、b2a2總在橢圓內部，則的點Me的取值范圍？17/5.O1→MFMFO上，與橢圓沒有交點。F1F2為直徑作圓M分析：∵·1在圓2=0∴以c<b解：20<e< a2=b2+c2>2c2 ∴2y2x2上為右準線2P，的兩焦點為F1（-c0：橢圓題目7b>0)b2a2的取值范圍？eF2F1P的垂直平分線恰過點，求一點，PMF21O的不等關系、cF2M垂直，根據向量垂直，找a、b如圖分析：思路1,F1P與e：根據圖形中的邊長之間的不等關系，求思路2a2-c ca2y0)F2(c,0)P(）,y0M(,解法一F1（-c，0 2c 2a2y0b2→PF+c,y0) 1=-(,既() 22cy0b2→→MFMFPF2=01·) 2=-(-c, 22c17/6.y0a2b2)=0(-c,(+c,y0)· 22cy02b2a2=0-c)+ (+c)·( 22cc3e<1a2-3c2≤0 ≤3=2cPF2｜2：2｜=｜解法a2a2a2-c3c≥｜-c則2c≥ ｜PF2 ccc、3e<1則3c2≥a2 ≤32xFF）0?b?1（a，使，如果橢圓上存在點設橢圓的左、右焦點、分別為P 212ba90?FPFe的取值范圍求離心率211利用曲線范圍 解法0F，（c，F（?c0，則設P（x，y，又知21??)ycFP?(x?cFP?(x，y)2??，知FP?FP由?FPF?901??0FP?則F?2120y?(x?c?(?c2c得x??y將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得222b?caa2?x 22b?a?90?FPF由橢圓范圍及21 2x?0知?2222bca?a2a??即022a?b22222aca??可得cb即c且?c2?且e1得e?aa22，1e[所以 2 解法2：利用二次方程有實根由橢圓定義知222a?4F||||PFPF?2PF?||PF?a?|?2PF21212117/7.知又由FPF902122224FFPF|?PF|?2121 22a則可得PF|PF221222的兩個實根，因此2au?2a??c0這樣，PF與PF是方程u212220?4a)?(a?c?21c2??22a2?e?22)e?[，因此 2：利用三角函數有界性 解法3??，由正弦定理，?PFF?PFF??記2FF|F1?????sin90sinsinPFPF?|21|F??F 21??sin?sin，則有2c2a，FFPF又?F?11c1???e????????????sinsin?acos2sncs222???90而0???|?45?知0? 2 ??1?s 2221而可得?2解法4：利用焦半徑由焦半徑公式得PF|?a?ex，PF?a?ex21222，所以有F|PF?又由PF|?2121222c?2cx?ex?4a?a?2cxex?22a2c?22222即a?ex2c，x? 2e22，即ax0a?）在橢圓上，且（又點Pxyx則知?7/8.22ac22a?0? 2e2得e?2利用基本不等式 解法5PFPF?2a?由橢圓定義，有平方后得21222222PF?2PF4a?PF?|??PF?2(PF?PF)?2FF8c21c2?得[e所以有，）? 222a解法6：巧用圖形的幾何特性cF?2?FPF?90?，知點P由在以為直徑的圓上。2121在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點又點P222ca?c?c?b?故有離心率的五種求法1e10?e?e?1，拋物線的離心率橢圓的離心率雙曲線的離心率ac求解一接求出cca?e易可利用率心率公式來解決。已知圓錐曲線的標準方程或a226????1一條準線與拋物線 2aD.B.

）雙曲線的離心率為（3323.C.23222233c1?a2?x?6??x?，則的準線是，即雙曲線的右準線解：拋物線22cc32c22c?D??e0?2?c233?a，解得，故選， 3a????00F,F31, 1、若橢圓經過原點，且焦點為變式練習，則其離心率為（2112314432????0,F03,F13cc?2c?1?1??1c?a?

D. C. B. A.，知，∴由解：又∵橢圓過原點，∴21c?1a2c?C. a為6變式練習26332D C. B. 217/9.3ce?3a2c2c?6C 2a2yx0?b?a1??P1-3P3且方向橢習）的左準線上，過點：點22ba?2?5,?2a反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為的光線，經直線為 （3 C BA35?3y?1?2?（對稱關系入射光線為解，關于22?a3c3??3a?e0y5x??21c則故選解得Ac? 3a?0??5c?5?3于1.已知橢圓的長軸長是短軸長的2 2 2221為2.已知橢圓兩條準線間的距離是焦距的 2 1),0,(F(3F,3.若橢圓經過原點且焦點為則橢圓的離心率為 2 1DAABCDABBB兩點的橢圓的離心率為。4.已知矩形，4322yx)?(a?b?1PF?PP，則橢圓圓5.短軸端點為滿足 212ba2?e。22yx1?0n?(m?.為6..已知21取得最小值時橢圓則當mn 22nmnm3 2 22yxNMx0)1(a????F，2222橢圓7.軸的交點分別為的焦點為，兩條準線與 212ba??2 F?MN≤F，1，P則該橢圓離心率的取值范圍是若???212?? AFPFAFB8已知為橢圓的左焦點當、PB分別為橢圓的右頂點和上頂點，⊥為橢圓上的點，2?eOPOA?！危闄E圓中心）時，橢圓的B111離心率為 2 17/10.ba22yxFF、P?已點左知是＞右0上是橢圓橢一+9.=1（圓＞焦,??PFFF,2?PF21212ba3?ba??橢圓的離心率為?,3?FPF?PFF15,?PFF?若，則是橢圓的兩個焦點P10??21已知122126橢圓的離心率為32，焦點到相應準線的距離為1在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，則該11.2橢圓的離心率為222yx?abFlFx軸的弦）的右焦點為設橢圓，若過=1（右準線為＞且垂直于＞012.ab1l的長等于點111

2yx??122122（a>b>0）的兩頂點為A（a,0）B(0,b),若右焦點F到直線AB橢圓13.的距離22ab61等∣AF∣，則橢圓的離心率是。 3222yx?1（a>b>0）的四個頂點為ABCD14.形ABCD的內切圓恰好過22b? 橢圓的離心率是222yx??1（a>b>0）的頂點A（a,0、15.已知直線L過橢圓B(0,b),如果坐標原點到直22a6a線L3222yxa?ba???半徑O在平面直角坐標系中，橢圓為圓心，的焦距為1(0)2，以16.22b2?a2e,0=作圓，過點作圓的兩切線互相垂直，則離心??2c?ce的齊次式，解出二、構造、cacb的關系（特別是齊二次式，進而根據題2設條件，借助之間的關系，構造、ee。得到關于的一元方程，從而解得離心率22yxa?0,?0FFFF??2為邊的兩焦點以線段是雙曲（例已知、2abMFFMF若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（三角形12123?1D.C.B.1?3?4?31/1.ca?F?F?PP

17，則解：如圖，設，由焦半徑公式的中點為的橫坐標為p122cc??cc?a??c???0???22，解得，得即???2a??aa??ce??1?3D31?舍去，故選（a2yx????1??b00acba?0L兩：設雙曲線）的半焦距為（過，直線變式練22習1ab3c，則雙曲線的離心率為( 點已知原點到直線的距離為)4233222??B. .. 3bx?aya?L，??2公式，得由已知，直線的方程為解：a3c42b?2422222c?3abca316a?c??ac，整理得兩邊平方，得,,又∴42?16?0?16e3e，2222bc?ab4222????2e?14?4?eba?，∴，得，又，∴或223aaae2，故選∴A0FF120MF??FM，兩個焦點為，雙曲線虛軸的一個端點為變式練習2：2121曲線的離心率為3663 C ABD32????00cF0,bF,?cM,，則如圖所示，不妨設解???212bMcMF2c，，又212122FFMF?MF?11?cos?FMFM??????在由余弦定理，得中，2121MF?2MF21 221?bcc4?1cb?b?????即??22222c?b2b?c217/12.21?a6322222???c3b?c??2B，∴，∴，故選∵，∴，∴22222ac?23．已知橢圓的焦距、短是12點F圓的中心并且與橢圓交于M、N兩點，橢圓3?1MF與圓相切，則橢圓的離心率是的左焦點為F，211直線3．以點F為圓心O并且與橢圓交于MN兩點，?如果MF∣=∣MO∣，則橢圓的離心率是4．設橢圓的兩個焦點分別為F、F，過F11圓長軸的垂線交橢圓于點P若FPF為等2?1腰直角三角形橢圓的離心率是5知F、21122??F是橢圓的兩個焦點，過F且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于AB兩△ABF3是正三角2112??形，則這個橢圓的離心率是322yx3c0a?b??1?FF、是其右準線上縱坐標為6．設的左、右焦點圓P22abcFFFP為距）的1222三、采用離心率的定義以及橢圓的定義求解FFPFFP若于點設橢圓的個焦點分別為，過，例3：22121為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是________。c2c2c2c1?2??e????解：F?2aPFa1c2?222c?21四、根據圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解2yx??1lFF??0,ba，若過）的右焦點為設橢圓，右準線為（例4：2ablFx的距離，則橢圓的離心率是到且垂直.軸的弦的長等于點1DllAD?FFxDB的于解如圖所示到準線是過且垂直于∴軸的弦，∵112???，ADAD1應準線為變式練習在給定橢圓中過焦點且垂直于長軸的弦長為2 則該橢圓的離心率122 CABD22217/13.AF2222e??解： 2A1五、尋找特殊圖形中的不等關系或解三角形。ruuuuuuur0?MF?MFFFM總在橢圓內部則橢圓離1已知是橢圓的兩個焦點滿足的點21212)(0,心率的取值范圍是 2 ?FF90PF?F的橢圓離心率P是橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，且2．已知e212??2?1,取值范圍2?? ?F、F0?FPF的P是橢圓上一點，且3．已知e，橢圓離心率是橢圓的兩個焦點，212??1,?取值范圍2??22yx??0oF點Q∠FQFa>b>0221222261e的取值為 橢圓離心率e 3 7CABCB△AB??co，則該橢5中在 183?e圓的離心率．8 22yx0??ba1??F，F,P分圓6．設（）的左、右焦點，若在其右準線上存在 2122ba??3FPF1，的中垂線過點使線段，則橢圓離心率的取值范圍是???213??2yx??0,?（1.設雙曲線準線重合，則此雙曲線的方程為（）22222y2xxyx1???D.B.

配套練習2ba2x?y4C. 396122448322x1? 32．已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，則橢圓的離心率等于（）17/14.221 B． ．D2322yx41??xy?）3 ．已知雙曲線，則雙曲線的離心率為（的一條漸近線方程為3ba3455D22B C 2，則該，焦點到相應準線的距離為．在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為412212BD 橢圓的離心率為C 221，則該，焦點到相應準線的距離為5．在給定雙曲線中，過焦點垂直于實軸的弦長為2雙曲線的離心率為（）2222 DAC B 222yx1??FF0a?0?,bOBA是以分別是雙曲線）的兩個焦點，和6．如（2baOFABF?是等邊三形為圓以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且21）則雙曲線的離心率為（51?533DAB222yx1??FF0b?a?P是其右準線上縱坐（、分別是橢圓）的左、右焦點，7.2122bac3PFFF?c（）標為則橢圓的離心率（為半焦距點且221215?3?1D AB C 222222yx1??FFA，使的左、右焦點，若雙曲線上存在點分別是2雙曲線8設122ba0AF?3AF90?F?AF則雙曲線離心率（且212105155 A2BCD22217/15.22yx01??600b?a?0,