八年級數(shù)學(xué)下冊《三角形的證明》單元測試卷(附答案解析)

八年級數(shù)學(xué)下冊《三角形的證明》單元測試卷（附答案解析）

一、單選題（每題3分，共30分）

1.若等腰三角形的頂角是40°,則它的底角是（）

A.40°B.70°C.80°D.100°

2.等腰三角形的兩邊長分別為6和14,則這個等腰三角形的底邊長是（）

A.6B.6或14C.14D.34

3.如圖，在△ABC中，AB=AC,AD1BC,若/。=3,BC=8,則的長為（）

4.使兩個直角三角形全等的條件是（）

A.一組銳角對應(yīng)相等B.兩組銳角對應(yīng)相等

C.一條邊對應(yīng)相等D.兩條邊對應(yīng)相等

5.具備下列條件的aABC中，不是直角三角形的是（）

A.ZA+ZB=ZCB.ZA-ZB=ZC

C.ZA：ZB：ZC=1：2：3D.ZA=ZB=3ZC

6.如圖，已知在AABC中，ZC=90°,AD=AC,DELAB交BC于點(diǎn)E,若NB=28°,則

ZAEC=()

A.28°B.59°C.60°D,62°

7.如圖，在aABC中，AB=AC,BD平分NABC交AC平點(diǎn)D,AE〃BD交CB的延長線于點(diǎn)E。

若NE=35°,則NBAC的度數(shù)為（）

D

EB

A.40°B.45°C.60°D.70°

8.如圖，在aABC中，AC的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,CD平分NACB,若NA=50°,則NB的

度數(shù)為（）

9.已知，Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3cm,BC=4cm,NCAB的平分線交BC于點(diǎn)D,貝UBD

的長度為()

35

A.-cmB.2cmC.-cmD.3cm

22

10.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,D為BC的中點(diǎn)，DE1AB,

垂足為E.過點(diǎn)B作BF//AC交DE的延長線于點(diǎn)F,連接CF,AF.現(xiàn)有如下結(jié)論：

(DAD平分ZCAB;②BF=2;(3)AD1CF;④AF=2遍;⑤4AF=ZCFB.其

A.5個B.4個C.3個D.2個

二、填空題（每題3分，共30分）

11.面積為48的等腰三角形底邊上的高為6,則腰長為.

12.如圖，在△/白；中，A（=BC,〃是45的中點(diǎn)，連接切，ZJC^=46°,貝4//=

,4

13.如圖，已知ABLCD,垂足為B,BC=BE,若直接應(yīng)用“HL”判定△ABCgZXDBE,則需要添

加的一個條件是_________

二

A

DRto

14.如圖，在aABC中，ADLBC于DBE_LAC于E,AD與BE相交于點(diǎn)F,若BF=AC,則NABC=

度.

A

B”-D~~C

15.如圖，在^ABC中，NC=90。，=15。，的垂直平分線交BC于點(diǎn)D,若BD=12,

MUc=_____________.

A

CDB

16.如圖，在等腰△ABC中，AC=BC=5,AB=6,D,E分別為AB,AC邊上的點(diǎn)，

將邊AD沿DE折疊，使點(diǎn)A落在CD上的點(diǎn)F處.當(dāng)點(diǎn)E.與點(diǎn)C重合時，

AD=________.

A.

“DE

17.已知如圖，在AABC中，BC=8,AB的中垂線交BC于D,AC的中垂線交BC與E,則

△/DE的周長等于

18.如圖，四邊形ABCD中，ZB+ZD=180°,AC平分NDAB,CMLAB于點(diǎn)M,若AM=4cm,

BC=2.5cm,則四邊形ABCD的周長為cm.

19.如圖,AD±DE,BE±DE,AC,BC分別平分NBAD,ZABE,點(diǎn)C在線段DE上，AD=5,BEM,

則AB的長為.

20.如圖，在AABC中，AB=AC=10,BC=12,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，直線MN是AB的垂直平分線,

點(diǎn)E是MN上的一個動點(diǎn)，則aBDE周長的最小值是.

21.利用尺規(guī)作圖：已知NA0B和C、D兩點(diǎn)，求作一點(diǎn)P,使PC=PD,且P到NA0B兩邊的距

離相等.（保留作圖痕跡，標(biāo)出必要的字母，不要求寫作法.）

22.如圖，AD是NBAC的平分線，DE±AB于E,DFLAC于F,且BD=CD.求證：BE=CF.

23.如圖，在aABC中，ZBAC=80°,AB、AC的垂直平分線分別與BC交于D、E,求NEAD

的度數(shù)。

24.如圖，在△力比1中，NBAC的平分線AP與比邊的垂直平分線所相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作力6,

4。（或延長線）的垂線，垂足分別是必M求證：BM=CN.

25.如圖，在四邊形ABCD中，BD所在的直線垂直平分線段AC,過點(diǎn)A作BC的平行線AF交

CD于F,延長AB、DC交于點(diǎn)E.

(1)AC平分平EAF；

(2)ZFAD=ZE.

26.如圖，RtAABC,AC±CB,AC=15,AB=25,點(diǎn)D為斜邊上動點(diǎn).

(1)如圖，過點(diǎn)D作DELAB交CB于點(diǎn)E,連接AE,當(dāng)AE平分NCAB時，求CE；

(2)如圖，在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，連接CD,若4ACD為等腰三角形，求AD.

參考答案與解析

1.【答案】B

【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：因?yàn)榈妊切蔚膬蓚€底角相等，

又因?yàn)轫斀鞘?0°,

所以其底角為竺H=70°.

2

故答案為：B.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，可以求出底角的度數(shù)。

2.【答案】A

【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】①6是腰長時，三角形的三邊分別為6、6、14,不能組成三角形，

②6是底邊時，三角形的三邊分別為6、14、14,能組成三角形，

二三角形的底邊長為6,

故答案為：A.

【分析】分兩種情況，再結(jié)合三角形三邊的關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)求解即可。

3.【答案】A

【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【解答】M：VAB=AC,AD±BC,BC=8,

.\BD=CD=1BC=4,

VAD=3,BD=4,AD±BC,

/.AB=y/AD2+BD2=432+42=5,

故答案為：A.

【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得BD=CD=扣C=4,再利用勾股定理求出AB

的長即可。

4.【答案】D

【知識點(diǎn)】直角三角形全等的判定(HL)

【解析】【分析】利用全等三角形的判定來確定.做題時，要結(jié)合已知條件與三角形全等的判

定方法逐個驗(yàn)證.

【解答】A、一個銳角對應(yīng)相等，利用已知的直角相等，可得出另一組銳角相等，但不能證明

兩三角形全等，故選項(xiàng)錯誤；

B、兩個銳角相等，那么也就是三個對應(yīng)角相等，但不能證明兩三角形全等，故選項(xiàng)錯誤；

C、一條邊對應(yīng)相等，再加一組直角相等，不能得出兩三角形全等，故選項(xiàng)錯誤；

D、兩條邊對應(yīng)相等，若是兩條直角邊相等，可利用SAS證全等；若一直角邊對應(yīng)相等，一斜

邊對應(yīng)相等，也可證全等，

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形全等的判定方法；直角三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、

SSS、HL,可以發(fā)現(xiàn)至少得有一組對應(yīng)邊相等，才有可能全等.

5.【答案】D

【知識點(diǎn)】直角三角形全等的判定(HL)

【解析】【解答】解：A中NA+NB=NC,即2NC=180°,NC=90°,為直角三角形，

同理，B,C均為直角三角形，

D選項(xiàng)中NA=NB=3NC,即7NC=180°,三個角沒有90°角，故不是直角三角形，

故選:D.

【分析】由直角三角形內(nèi)角和為180°求得三角形的每一個角，再判斷形狀.

6.【答案】B

【知識點(diǎn)】余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)；三角形全等及其性質(zhì)；直角三角形全等的判定(HL)

【解析X分析】根據(jù)NC=90°AD=AC,求證△CAE/^DAE,NCAE=NDAE[NCAB,再由/C=90°,

ZB=28°,求出NCAB的度數(shù)，然后即可求出NAEC的度數(shù).

【解答】?.,在AABC中,ZC=90°,

AD=AC,DE_LAB交BC于點(diǎn)E,

二ACAE^ADAE,ZCAE=ZDAE=|ZCAB,

VZB+ZCAB=90°,ZB=28°,

AZCAB=90°-28°=62°,

??.NAEC=90°弓NCAB=90°-31。=59。.

故選B.

7.【答案】A

【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：：AE〃BD,

...NCBD=NE=35°,

VBD平分NABC,

AZABC=2ZCBD=35°X2=70°,

VAB=AC,

，NC=NABC=70°,

AZBAC=180°-ZC-ZABC=1800-70X2=40°,

故答案為：A.

【分析】由平行線的性質(zhì)求出NCBD,再根據(jù)角平分線的定義求出NABC,然后利用等腰三角形

的性質(zhì)求出NC,最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求出結(jié)果.

8.【答案】B

【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：：DE垂直平分AC,

?.AD=CD,

?.ZA=ZACD

又：CD平分NACB,

AZACB=2ZACD=100°,

.,.ZB=180°-ZA-ZACB=180°-50°-100°=30°,

故答案為：B.

【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到NA=NACD,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到NACB=2/ACD

=100°,最后利用三角形的內(nèi)角和計算即可。

9.【答案】C

【知識點(diǎn)】直角三角形全等的判定(HL)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【解答】如圖，過點(diǎn)D作OEJ./B于點(diǎn)E

D

vZACB=90°,AD平分ZCAB,AC=3cm,BC=4cm

???CD=ED,AB=y/AC2+BC2=732+42=5(cm)

在AACD和AAED中，優(yōu)￡=歆

LCD=ED

AACD=AAED(HL)

■■AE=AC=3cm

：.BE=AB-AE=5-3=2(cm)

設(shè)BO=%,貝ijED=CD=BC-BD=4-x

在RtABDE中，BE2+ED2=BD2,即22+(4-x)2=%2

解得x=|(cm)

故答案為：C.

【分析】如圖(見解析)，過點(diǎn)D作DE1AB于點(diǎn)E,由角平分線的性質(zhì)可得CO=EO,再

根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得AE=AC,最后在RtABDE中，利用勾股定理即可

得.

10.【答案】B

【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形全等的判定；角平分線的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【解答】解：①不符合題意J：CD=DB,

.■■AD是△力CB的中線，如果是角平分線，則AC=BC,顯然與已知矛盾，故不符合題意.

②符合題意.易證4DBF是等腰直角三角形，故BF=BO=2.

③符合題意J；AC=BC,ZACD=NCBF,CD=BF,

.-.AACD之△CBF,

???ZCAD=ZBCF,

???NBCF+NACF=90°,

ZCAD4-ZACF=90°,

AD1CF.

④符合題意.在Rt^ACD中，AD=yjAC2+CD2=V42+22=2^5，易證AF=AD=

2V5.

⑤符合題意.???△ACOg△CBF,

AD=CF=AF,

???ZCAF=ZFCA,

vAC//BF,

???NCFB=ZFCA=ZCAF.

故答案為：B.

【分析】利用角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理和平行線的性質(zhì)對每個結(jié)

論一一判斷即可作答。

11.【答案】10

【知識點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：如圖所示：

△ABC中，AB=AC,AD是底邊BC上的高,

則-BC-AD=48,BD=CD,

即；BC-6=48,

ABC=16,

?.BD=|BC=8,

.*.AB=yjAD2+BD2=>/62+82=10,

故答案為：10.

【分析】先求出BC=16,再求出BD=8,最后利用勾股定理計算求解即可。

12.【答案】67

【知識點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：信用；

?.ZA=ZB,

VZACB=46°,

二/月=|(180°-ZACB)=67°；

故答案為：67.

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得CD垂直AB,角ACD等于23度，進(jìn)而可求解。

13.【答案】AC=DE

【知識點(diǎn)】直角三角形全等的判定(HL)

【解析】【解答】解：AC=DE,

理由是：；AB，DC,

AZABC=ZDBE=90°,

在RtAABC和RtADBE中,

(AC=DE

1BE=BC'

ARtAABC^RtADBE(HL).

故答案為：AC=DE.

【分析】先求出NABC=NDBE=90°,再根據(jù)直角三角形全等的判定定理推出即可.

14.【答案】45

【知識點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；直角三角形全等的判定(HL)

【解析】【解答】解：:ADJ_BC于D,BEJ_AC于E

.\ZEAF+ZAFE=90°,ZDBF+ZBFD=90°,

又；NBFD=NAFE(對頂角相等)

/.ZEAF=ZDBF,

在RtAADC和RtABDF中,

/CAD=NFBD

I/BDF=ZADC'

<BF=AC

,,.△ADC^ABDF(AAS),

；.BD=AD,

即NABC=NBAD=45°.

故答案為：45.

【分析】根據(jù)三角形全等的判定和性質(zhì)，先證AADC之△BDF,可得BD=AD,可求NABC=N

BAD=45°.

15.【答案】6

【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：連接AD,

VDE垂直平分AB,

.*.AD=BD=12,

.\ZDAB=ZB=15°,

：.ZADC=ZDAB+ZB=30°,又NC=90°,

.\AC=|AD=6,

故答案為：6.

【分析】連接AD,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD=12,NADC=NDAB+NB=30°,再利用含

30°角的性質(zhì)可得AC=|AD=6o

16.【答案】

6

【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理

【解析】【解答】解：如圖，過C作CHLAB于H,

：DE是AC的垂直平分線，

.\CD=AD,

VAC=BC,

；.AH=HB=3,

.\HD=AD-3,

,/CH=V/4C2-AH2=y/52-32=4,

,/CD2=CH2+HD2,

設(shè)AD=x,

.?.xM2+(x-3)2,

解得x=g,

6

故答案為：

6

【分析】過C作CH_LAB于H,由垂直平分線的性質(zhì)得CD=AD,然后由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合勾

股定理求出CH的長，設(shè)AD=x,在RtaCHD中利用勾股定理列式求出AD即可.

17.【答案】8

【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】解：因?yàn)锳B的中垂線交BC于D,AC的中垂線交BC與E,所以AD=DB,AE=CE.

△ADE的周長為AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8.

故答案為8.

【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)可知AD=BD,AE=EC,由此可得到aADE的周長等于BC的

長.

18.【答案】13

【知識點(diǎn)】直角三角形全等的判定(HL)；角平分線的性質(zhì)；三角形全等的判定(AAS)

【解析】【解答】解：如圖，過C作CELAD的延長線于點(diǎn)E,

VAC平分NBAD,

.\ZEAC=ZMAC,

VCE±AD,CM1AB,

AZAEC=ZAMC=90°,CE=CM,

在RtAAEC和RtAAMC中，

AC=AC,CE=CM,

/.RtAAEC^RtAAMC(HL),

/.AE=AM=4cm,

VZADC+ZB=180°,ZADC+ZEDC=180°,

.\ZEDC=ZMBC,

在AEDC和AMBC中，

(NDEC=NCMB

]ZEDC=/MBC，

vCE=CM

.'.△EDC^AMBC(AAS),

.\ED=BM,BC=CD=2.5cm,

，四邊形ABCD的周長為AB+AD+BC+CD=AM+BM+AE-DE+2BC=2AM+2BC=8+5=13(cm),

故答案為：13.

【分析】如圖，過C作CELAD的延長線于點(diǎn)E,由角平分線的性質(zhì)可得NAEC=NAMC=90°,

CE=CM,證明RtAAEC鄉(xiāng)RtAAMC(HL),可得AE=AM=4cm,再根據(jù)AAS證明aEDC且△MBC,

可得ED=BM,BC=CD=2.5cm,根據(jù)四邊形ABCD的周長為AB+AD+BC+CD=AM+BM+AE-DE

+2BC=2AM+2BC,即可求解.

19.【答案】9

【知識點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)

【解析】【解答】如圖，過C點(diǎn)作CF1AB于F

ZAFC=ZBFC=90°,（垂直的定義）

VAC平分NDAB,

.,.CF=CD.（角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）

.,.RtAACF^RtAACD（HL）

；.AF=AD.同理可證BF=BE.

VAB=AF+BF,.

；.AB=AD+BE=5+4=9

【分析】過C點(diǎn)作CFLAB于F,利用角平分線的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)即可解答

20.【答案】14

【知識點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；軸對稱的應(yīng)用-最短距離

問題

【解析】【解答】解：連接AD,AE,

：MN是AB的垂直平分線，

；.AE=BE,

「△ABC是等腰三角形，D是BC的中點(diǎn),

.\AD±BC,

ABDE的周長=BD+DE+BE=BD+DE+AE2BD+AD,

當(dāng)A、E、D三點(diǎn)共線時，ABDE的周長最小，

VAB=AC=10,BC=12,即BD=6,

.??AD=AMB2_B02=8,

?.ABDE的周長最小值為BD+AD=6+8=14,

?.ABDE的周長最小值為14,

故答案為：14.

【分析】連接AD,AE,由MN是AB的垂直平分線可得AE=BE,由等腰三角形的性質(zhì)可得ADJ_

BC,可得ABDE的周長=BD+DE+BE=BD+DE+AE,由于BD時定值，可知當(dāng)DE+AE最小時，ABDE

的周長最小，當(dāng)A、E、D三點(diǎn)共線時，DE+AE最小且等于AD的長，利用勾股定理求出AD的長，

繼而得解.

21.【答案】解：如圖，點(diǎn)P為所作.

【知識點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【分析】先作出NAOB的平分線和CD的中垂線，兩線的交點(diǎn)即為所作的點(diǎn)P.

22.【答案】證明：*/AD是NBAC的平分線，DE1AB于E,DFLAC于F,

；.DE=DF,

在RtABED和RtACFD中，

(DE=DF

iBD=CD'

/.△BED^ACFD(HL),

.*.BE=CF.

【知識點(diǎn)】直角三角形全等的判定(HL)；角平分線的性質(zhì)

【解析】【分析】由角平分線的性質(zhì)可得DE=DF,然后利用直角三角形的斜邊直角邊定理證明

△BED^ACFD,即可解決問題.

23.【答案】解：：AB,AC的垂直平分線MD和EN分別與BC交于D,E

,DA=DB,AE=CE,

/.ZABD=ZBAD,ZEAC=ZECA,

AZBAD+ZEAC=ZABD+ZECA=1800-ZBAC=100°,

又：NBAD+NEAC=NBAE+ZEAD+ZDAC+ZEAD=ZBAC+ZEAD=800+ZEAD=100°,

.\ZEAD=1OO0-80°=20°,

【知識點(diǎn)】角的運(yùn)算；線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出NABD=NBAD,ZEAC=ZECA,結(jié)合NBAC=80°推

出180°-ZBAC=100°,然后根據(jù)角的和差關(guān)系得出80°+NEAD=100°,即可求出NEAD的度

數(shù).

24.【答案】解：連接PC,PB,

：AP平分NBAC,PM1AB,PN1AC,

，PM=PN,ZBMP=ZPNC=90°

VPE垂直平分BC,

，BP=CP

在RtABPM和RtACPN中

(PM=PN

IBP=CP

ARtABPM^RtACPN(HL)

.?.BM=CN

【知識點(diǎn)】直角三角形全等的判定(HL)；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)

【解析】【分析】連接PC,PB,利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可證得PM=PN,利

用線段垂直平分線的性質(zhì)可證得BP=CP；再利用HL證明RtABPMgRtACPN,然后利用全等三

角形的對應(yīng)邊相等，可證得結(jié)論.

25?【答案】(1)解：：BD所在的直線垂直平分線段AC,

.\BA=BC,

ZBAC=ZBCA,

VBC/7AF,

.\ZCAF=ZBCA,

二ZCAF=ZBAC,即AC平分NEAF

(2)解：?；BD所在的直線垂直平分線段AC,

?.DA=DC,

.\ZDAC=ZDCA,

ZDCA是