廣東省深圳市公明中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

廣東省深圳市公明中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知某幾何體的三視圖如上圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：），可得這個(gè)幾何體的表面積為A.

B．

C.

D．參考答案：B2.等差數(shù)列的前項(xiàng)的和等于前項(xiàng)的和，若，則（A）3

（B）7

（C）10

（D）4參考答案：C因?yàn)?，所以，即，于是，可知答案選C.另解：由已知直接求出.3.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意，都有且當(dāng)時(shí)，．若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．參考答案：D略4.已知函數(shù)在點(diǎn)x=2處連續(xù)，則常數(shù)a的值是.

(A)5(B)4(C)3

(D)2參考答案：C略5.下列關(guān)于由最小二乘法求出的回歸直線方程=2－x的說(shuō)法中，不正確的是

A．變量x與y正相關(guān)

B．該回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)中心（）

C．當(dāng)x=l時(shí)，y的預(yù)報(bào)值為l

D．當(dāng)殘差平方和越小時(shí)模型擬合的效果越好參考答案：A略6.已知函數(shù)滿足條件，其中，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：考點(diǎn)：函數(shù)求值.7.已知為不同的直線，為不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是A.B.C.D.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．G4G5【答案解析】D

解析：A選項(xiàng)可能有，B選項(xiàng)也可能有，C選項(xiàng)兩平面可能相交，故選D.【思路點(diǎn)撥】分別根據(jù)線面平行和線面垂直的性質(zhì)和定義進(jìn)行判斷即可．8.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F和拋物線上一點(diǎn)的直線l交拋物線于另一點(diǎn)N，則等于（

）A.1:3 B. C. D.1:2參考答案：D【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立拋物線方程求得點(diǎn)N，再由拋物線的定義可得NF，MF的長(zhǎng)，計(jì)算即可得到所求值．【詳解】拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F為（1，0），則直線MF的斜率為2，則有，聯(lián)立方程組，解得，由于拋物線的準(zhǔn)線方程為x．∴由拋物線的定義可得，，∴，∴|NF|：|FM|＝1：2，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查直線方程和拋物線方程聯(lián)立，求解交點(diǎn)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線（）的焦點(diǎn)，若拋物線與直線l：在第一、四象限分別交于A、B兩點(diǎn)，則的值等于（

）A．3

B．9

C．2p2

D．4p2參考答案：B10.根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080．則下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）（A）1033

（B）1053（C）1073

（D）1093參考答案：D設(shè)，兩邊取對(duì)數(shù)，，所以，即最接近，故選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知平面向量滿足，則的最小值是________參考答案：12.已知函數(shù)，則

。參考答案：5知識(shí)點(diǎn)：求函數(shù)值.解析：解：因?yàn)椋?，故，則有，而，所以5，故答案為5.思路點(diǎn)撥：通過(guò)已知條件找到，進(jìn)而得到，再求出即可得到結(jié)果.13.設(shè)變量x，y滿足約束條件，則2x+3y的最大值為．參考答案：23【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】先畫出線性約束條件表示的可行域，再將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義，最后利用數(shù)形結(jié)合即可得目標(biāo)函數(shù)的最值．【解答】解：畫出可行域如圖陰影部分，由得A（4，5）目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y可看做斜率為﹣3的動(dòng)直線，其縱截距越大z越大，由圖數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)動(dòng)直線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，z最大=23．故答案為：2314.擲兩顆均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為6的概率等于______.參考答案：

15.的展開(kāi)式中，的系數(shù)與的系數(shù)之和等于_____________.參考答案：16.為了了解高三學(xué)生的身體狀況，抽取了部分男生的體重，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖）。已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為1:2:3，第2小組的頻數(shù)為12，則抽取的男生人數(shù)是

。參考答案：4817.橢圓C的焦點(diǎn)在軸上，焦距為2，直線n:x-y-1=0與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)1是左焦點(diǎn)，且，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分13分）某中學(xué)高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們?nèi)〉玫某煽?jī)（滿分100分）的莖葉圖如圖3，其中甲班學(xué)生的平均分是85，乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83.（1）求和的值；（2）計(jì)算甲班7位學(xué)生成績(jī)的方差；（3）從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求甲班至少有一名學(xué)生的概率.參考答案：（1）..（2）40；（3）甲校至少有一名學(xué)生的概率為.（1）解：∵甲班學(xué)生的平均分是85，∴.

……………1分∴.

……………2分∵乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83，∴.

……………3分（2）解：甲班7位學(xué)生成績(jī)的方差為.

……5分（3）解：甲班成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有兩名，分別記為，

……………6分乙班成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有三名，分別記為.

……………7分從這五名學(xué)生任意抽取兩名學(xué)生共有10種情況：.

……………9分其中甲班至少有一名學(xué)生共有7種情況：.…11分記“從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲班至少有一名學(xué)生”為事件，則.答：從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲校至少有一名學(xué)生的概率為.……………12分19.如圖，直三棱柱ABC一A1B1C1中，AB＝，AC＝3，BC＝，D是ACl的中點(diǎn)，E.是側(cè)棱BB1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

(I）當(dāng)E是BB1的中點(diǎn)時(shí)，證明:DE／／平面A1B1C1

（2）在棱BB1上是否存在點(diǎn)E使平面AC1E⊥平面AC1C？若存在，求出的值，若不存在，說(shuō)明理由參考答案：（l）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定．G10G11解析：（1）證明：取A1C1中點(diǎn)F，連接DF，DE，B1F∵D是AC1的中點(diǎn)，E是BB1的中點(diǎn)．∴DF∥AA1，B1E∥AA1，DF=AA1，B1E=AA1，∴DF∥B1E，DF=B1E，所以DE∥B1F，DE=B1F…（2分）又B1F?平面A1B1C1，所以DE∥平面A1B1C1…（4分）（2）解：分別在兩底面內(nèi)作BO⊥AC于O，B1O1⊥A1C1于O1，連接OO1，則OO1∥AA1，以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OO1為z軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1=t，BE=h，則λ=，A（0，﹣1，0），C1（0，，t），E（（1，0，h）．平面A1ACC1的法向量為=（1，0，0）…（7分）設(shè)平面AC1E的法向量為=（x，y，z）∵=（1，1，h），=（0，，h）∴由可得…（9分）取z=1得y=，x=∴…（11分）由題知，∴=0∴，∴λ==所以在BB1上存在點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，二面角E﹣AC1﹣C是直二面角．…（12分）【思路點(diǎn)撥】（1）取A1C1中點(diǎn)F，連接DF，DE，B1F，利用三角形中位線的性質(zhì)，可得線線平行，利用線面平行的判定，可得DE∥平面A1B1C1；（2）建立直角坐標(biāo)系，求出平面A1ACC1的法向量、平面AC1E的法向量，利用數(shù)量積為0建立方程，即可求得結(jié)論．20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞1）過(guò)點(diǎn)P（﹣1，﹣1），c為橢圓的半焦距，且c=b．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作兩條相互垂直的直線l1，l2與橢圓C分別交于另兩點(diǎn)M，N，若線段MN的中點(diǎn)在x軸上，求此時(shí)直線MN的方程．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出，且c=b，由此能求出a，b，然后求解橢圓方程．（Ⅱ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），利用點(diǎn)差法，求出直線MN的方程．解答： 解：（Ⅰ）由c=b，可得a2=3b2，橢圓C：+=1（a＞b＞1）過(guò)點(diǎn)P（﹣1，﹣1），可得，解得a2=4，b2=，所以橢圓的方程為：．．…（Ⅱ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，兩式相減得（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，因?yàn)榫€段MN的中點(diǎn)在x軸上，所以y1+y2=0，從而可得（x1+x2）（x1﹣x2）=0．…若x1+x2=0，則N（﹣x1，﹣y1）．因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P作兩條相互垂直的直線l1，l2，所以PM⊥PN，所以，得x12+y12=2．又因?yàn)閤12+3y12=4，所以解得x1=±1，所以M（﹣1，1），N（1，﹣1）或M（1，﹣1），N（﹣1，1）．所以直線MN的方程為y=﹣x．…若x1﹣x2=0，則N（x1，﹣y1），因?yàn)镻M⊥PN，所以，得y12=（x1+1）2+1．又因?yàn)閤12+3y12=4，所以解得x1=﹣或﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)：x=﹣滿足條件，x=﹣1不滿足條件．綜上，直線MN的方程為x+y=0或x=﹣．…．點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．21.（本小題滿分12分）如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱被平面所截而得．，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值；（Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，在棱上存在點(diǎn)，使平面？參考答案：（1）分別取、的中點(diǎn)、，連接、．以直線、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則、、的坐標(biāo)分別為（1，0，1）、（0，，3）、（-1，0，4），

∴=（-1，，2），=（-2，0，3）設(shè)平面的法向量，由得，可取

平面的法向量可以取

∴

∴平面與平面的夾角的余弦值為．（2）在（1）的坐標(biāo)系中，，=（-1，，2），=（-2，0，-1）．因在上，設(shè)，則∴于是平面的充要條件為

由此解得，

即當(dāng)=2時(shí)，在上存在靠近的第一個(gè)四等分點(diǎn)，使平面．

22.（本題滿分15分）已知拋物線的頂點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，不垂直于軸的直線與該拋物線交于兩點(diǎn)，圓以為直徑.（I）求拋物線的方程；（II）圓交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得的內(nèi)切圓的圓心在軸上？