二次函數(shù)圖像的平移

關(guān)于二次函數(shù)圖像的平移初中數(shù)學(xué)資源網(wǎng)第1頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)１.頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸２.位置與開口方向３.增減性與最值開口大小拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸位置開口方向增減性最值y=ax2(a>0)y=ax2(a<0)（0，0）（0，0）y軸y軸在x軸的上方(除頂點(diǎn)外)在x軸的下方(除頂點(diǎn)外)向上向下當(dāng)x=0時(shí),最小值為0.當(dāng)x=0時(shí),最大值為0.在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減小.在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨著x的增大而增大.

在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大.在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨著x的增大而減小.

根據(jù)圖形填表：越小,開口越大.越大,開口越小.

憶一憶第2頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三xyoy=2x2-4-3-2-11234123456789

1、畫出函數(shù)y=2x2的圖象做一做XY﹣1.54.5﹣12﹣0.50.5000.50.5121.54.5函數(shù)y=2x2的圖象是什么形狀?它的開口方向?qū)ΨQ軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?第3頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三yoy=2x2-4-3-2-11234123456789x-2y=2x2+19-1.55.5-13-0.51.5010.51.5131.525.59xy=2x2+1函數(shù)y=2x2+1的圖象是什么形狀?它的開口方向,對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?

2、畫出函數(shù)y=2x2+1的圖象第4頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三1.2.3.-1-2-3.0.1.2.3.4.-1xy5y=2x2+1y=2x2

y=2x2+1與y=2x2的圖象有什么關(guān)系?第5頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三0.25.0.5.0.75.-0.25-0.5.-0.75.0.x-110.25.0.5.0.75.1.y-0.25.-0.5.-0.75.-1.y=3x2想一想你知道函數(shù)y=3x2-1的大致圖象和位置嗎?

第6頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三0.25.0.25.0.5.0.75.-0.25-0.5.-0.75.0.x-11-0.25.-0.5.-0.75.-1.y=3x2-1二次函數(shù)y=3x2-1圖像可以由y=3x2

的圖象向下平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=3x2這兩函數(shù)的圖像有什么關(guān)系？第7頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三二次函數(shù)y=ax2與y=ax2+c的圖象有什么關(guān)系？二次函數(shù)y=ax2+c的圖象可以由y=ax2

的圖象當(dāng)c>0時(shí)向上平移c個(gè)單位得到.當(dāng)c<0時(shí)向下平移-c個(gè)單位得到.函數(shù)y=ax2+c

y=ax2開口方向a>0時(shí),向上a<0時(shí),向下對(duì)稱軸y軸y軸頂點(diǎn)坐標(biāo)（0,0）（0,c）a>0時(shí),向上a<0時(shí),向下上加下減第8頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三1、完成下表x-3-2-101234

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27123031227函數(shù)y=3(x-1)2的圖像是什么?它與y=3x2的圖像有什么關(guān)系？比較y=3x2和y=3(x-1)2的值,它們之間有什么關(guān)系?y=3(x-1)2的值比y=3x2的值落后想一想第9頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三在下列平面直角坐標(biāo)系中，做出y=（3x-1）2的圖像

x-2-10123y=3x21230312y=3(x-1)21230312第10頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三2、觀察圖象,回答問題(1)函數(shù)y=3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象有什么關(guān)系?把y=3x2的圖像沿軸向右平移1個(gè)單位就得到y(tǒng)=3(x-1)2的圖像一起探索第11頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三圖象是軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸是平行于y軸的直線:x=1.頂點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)(1,0).(2)函數(shù)y=3(x-1)2的圖象與y=3x2的圖象有什么共同點(diǎn)？其對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?合作交流第12頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三合作交流猜一猜,在同一坐標(biāo)系中作二次函數(shù)y=3(x+1)2的圖象,會(huì)在什么位置?第13頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三列表看一看x-4-3-2-1012342712303122727123031227

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我能行y=3(x-1)2的值比y=3x2的值落后，y=3(x+1)2的值比y=3x2的值提前。第14頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三畫圖看一看把y=3x2的圖像沿軸向右平移1個(gè)單位就得到y(tǒng)=3(x-1)2的圖像把y=3x2的圖像沿軸向左平移1個(gè)單位就得到y(tǒng)=3(x+1)2的圖像函數(shù)圖像開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸y隨x變化規(guī)律y=3x2拋物線向上（0，0）直線x=1以直線x=0為界線y=3(x-1)2拋物線向上（1，0）直線x=1以直線x=1為界線y=3(x+1)2拋物線向上（-1，0）直線x=-1以直線x=-1為界線第15頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三猜一猜,函數(shù)y=-3(x-1)2,y=-3(x+1)2和y=-3x2的圖象的位置和形狀.函數(shù)圖像開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸y隨x變化規(guī)律y=-3x2拋物線向下（0，0）直線x=1以直線x=0為界線y=-3(x-1)2拋物線向下（1，0）直線x=1以直線x=1為界線y=-3(x+1)2拋物線向下（-1，0）直線x=-1以直線x=-1為界線理由是：它們分別和y=3x2,y=3(x-1)2,y=3(x+1)2互為相反數(shù)第16頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三二次函數(shù)y=a(x-h)2的性質(zhì)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸開口方向y隨x變化規(guī)律最值y=a(x-h)2(a>0)y=a(x-h)2(a<0)（h，0）（h，0）直線x=h直線x=h向上向下當(dāng)x=h時(shí),最小值為0.當(dāng)x=h時(shí),最大值為0.在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減小.在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨著x的增大而增大.

在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而增大.在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨著x的增大而減小.

越小,開口越大.越大,開口越小.開口大小歸納與總結(jié)第17頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三二次函數(shù)y=a(x-h)2與y=ax2的關(guān)系二次函數(shù)y=a(x-h)2的圖象可以看作是拋物線y=ax2先沿著x軸向右平移后得到的當(dāng)h<0時(shí)向左平移∣h∣個(gè)單位得到.當(dāng)h>0時(shí)向右平移∣h∣個(gè)單位得到.左加右減第18頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=3x2,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的圖象,它們之間有何關(guān)系.？

做一做1、完成下表,并比較3x2,3(x-1)2和3(x-1)2+2值,它們之間有何關(guān)系?x-4-3-2-10123427123031227

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29145251429第19頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三對(duì)稱軸仍是平行于y軸的直線(x=1);增減性與y=3x2類似.

頂點(diǎn)是(1,2).二次函數(shù)y=3(x-1)2+2的圖象和拋物線y=3x2,y=3(x-1)2有什么關(guān)系?它的開口方向,對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?開口向上,當(dāng)X=1時(shí)有最小值:且最小值=2.先猜一猜,再做一做,在同一坐標(biāo)系中作二次函數(shù)y=3(x-1)2-2,會(huì)是什么樣?X=1二次函數(shù)y=3(x-1)2+2的圖象可以看作是拋物線y=3x2先沿著x軸向右平移1個(gè)單位,再沿直線x=1上平移2個(gè)單位后得到的第20頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三對(duì)稱軸仍是平行于y軸的直線(x=1);增減性與y=3x2類似.頂點(diǎn)是(1,-2).二次函數(shù)y=3(x-1)2-2的圖象與拋物線y=3x2和y=3(x-1)2有何關(guān)系?它的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?開口向上,當(dāng)x=1時(shí)y有最小值:且最小值=-2.想一想,二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2和y=-3x2,y=-3(x-1)2的圖象有什么關(guān)系?它們的開口方向,對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?再作圖看一看．X=1二次函數(shù)y=3(x-1)2-2的圖象可以看作是拋物線y=3x2先沿著x軸向右平移1個(gè)單位,再沿直線x=1向下平移2個(gè)單位后得到的第21頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三對(duì)稱軸仍是平行于y軸的直線(x=1);增減性與y=-3x2類似.頂點(diǎn)分別是(1,2)和(1,-2).二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2與y=-3(x-1)2-2的圖象和拋物線y=-3x2,y=-3(x-1)2有什么關(guān)系?它的開口方向,對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是什么?開口向下,當(dāng)x=1時(shí)y有最大值:且最大值=2(或最大值=-2).yX=1二次函數(shù)y=-3(x-1)2+2與y=-3(x-1)2+2的圖象可以看作是拋物線y=-3x2先沿著x軸向右平移1個(gè)單位,再沿直線x=1向上(或向下)平移2個(gè)單位后得到的.第22頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三合理推測函數(shù)y=3(x-1)2+1的圖像有什么特點(diǎn)？函數(shù)y=-3(x+1)2+1的圖像呢？圖像是拋物線頂點(diǎn)是（1.1）對(duì)稱軸直線x=1開口方向向上理由是y=3(x-1)2+1的圖像可以看成是y=3(x-1)2平移得到的第23頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三1.2.二次函數(shù)y=a(x-h)2+k與y=ax2的關(guān)系(2)都是軸對(duì)稱圖形.(3)都有最(大或小)值.(4)a>0時(shí),開口向上,在對(duì)稱軸左側(cè),y都隨x的增大而減小,在對(duì)稱軸右側(cè),y都隨x的增大而增大.a<0時(shí),開口向下,在對(duì)稱軸左側(cè),y都隨x的增大而增大,在對(duì)稱軸右側(cè),y都隨x的增大而減小.

(2)對(duì)稱軸不同:分別是直線x=-h和y軸.

3.聯(lián)系:y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖象可以由y=ax2的圖象平移得到。(1)形狀相同(圖像都是拋物線,開口方向相同).只是位置不同(1)頂點(diǎn)不同:分別是(-h,k)和(0,0).

(3)最值不同:分別是k和0.x軸|h|對(duì)稱軸先沿

整體向左(右)平移

個(gè)單位(當(dāng)h>0時(shí),向右平移;當(dāng)h<0時(shí),向左平移),再沿

整體上(下)平移|k|個(gè)單位

(當(dāng)k>0時(shí)向上平移;當(dāng)k<0時(shí),向下平移)得到的.知識(shí)小結(jié)相同點(diǎn):不同點(diǎn):第24頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三

1.函數(shù)y=x2-1的圖象，可由y=x2的圖象向平___

移

個(gè)單位.2.把函數(shù)y=3x2+2的圖象沿x軸對(duì)折，得到的圖象的函數(shù)解析式為_______.3.已知（m,n)在y=ax2+a的圖象上，（-m,n）

_____（在，不在）y=ax2+a的圖象上.