二重積分計(jì)算

關(guān)于二重積分計(jì)算第1頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三播放

求曲頂柱體的體積采用“分割、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫演示．第2頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三步驟如下：用若干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，曲頂柱體的體積第3頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三２．求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量第4頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三二、二重積分的概念第5頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素第6頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三對(duì)二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值．第7頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為D則面積元素為第8頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時(shí)，性質(zhì)２（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)第9頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三性質(zhì)３對(duì)區(qū)域具有可加性性質(zhì)４若為D的面積，性質(zhì)５若在D上特殊地則有第10頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）第11頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三如果積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù)、在區(qū)間上連續(xù).一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分［X－型］3.2二重積分的計(jì)算第12頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得第13頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三如果積分區(qū)域?yàn)椋海踄－型］第14頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三

X型區(qū)域的特點(diǎn)：

穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).若區(qū)域如圖，在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.第15頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三例1計(jì)算其中是由直線和所圍成的閉區(qū)域.解如圖,既是型,又是型.若視為型,則原式第16頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三例1計(jì)算其中是由直線和所圍成的閉區(qū)域.解若視為型,則原積分若視為型,則分次序?qū)χ胤e分的計(jì)算非常重要.故合理選擇積其中關(guān)于的積分計(jì)算比較麻煩,第17頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三解第18頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三例3計(jì)算二重積分其中是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域.解如圖,(見P141圖3-12)既是型,也是型.但易見選擇前者計(jì)算較麻煩,需將積分區(qū)域劃分為兩部分來計(jì)算,擇后者.故選第19頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三例3計(jì)算二重積分其中是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域.解如圖,(見P141圖3-11)既是型,也是型.但易見選擇前者計(jì)算較麻煩,需將積分區(qū)域劃分為兩部分來計(jì)算,擇后者.故選第20頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三例4計(jì)算二重積分其中區(qū)域是由圍成的矩形.如圖,因?yàn)槭蔷匦螀^(qū)域,且所以解第21頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三解第22頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三例6交換二次積分的積分次序.解題設(shè)二次積分的積分限:可改寫為:所以第23頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三例7交換二次積分的積分次序.解題設(shè)二次積分的積分限:可改寫為所以原式第24頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三二、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分第25頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三二重積分化為二次積分的公式（１）區(qū)域特征如圖第26頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三二重積分化為二次積分的公式（２）區(qū)域特征如圖第27頁，講稿共31頁，2023年5月2日，星期三注：極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積二重積分化為二次積分的公式（３）區(qū)域特征如圖第2