直接開平方法和因式分解法課件華東師大版九年級數(shù)學(xué)上冊

22.2.1直接開平方法和因式分解法九年級上

1.會運用開平方法解形如

x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程.2.會用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.3.了解直接開平方法及因式分解法解一元二次方程的解題步驟.學(xué)習(xí)目標(biāo)重點重點重點小唯唯家裝修房子，媽媽說：“小唯唯的臥室地形為正方形，約16平方米”，爸爸立馬說：“原來地長為4米”.思考：爸爸是怎么知道臥室的地長的？新課引入試一試求等式中的x，以解下列方程：你是怎樣解的？一

直接開平方法解方程對于題(1)，有這樣的解法：方程

x2=4，意味著x是4的平方根，所以

即

x=±2.這里得到了方程的兩個根，通常也表示成

x1=2，x2=-2.這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法．新知學(xué)習(xí)例1

用直接開平方法解下列方程．(1)x2

-2

=0；(2)16x2

-25

=0.解：(1)移項，得x2

=2，直接開平方，得x

=±，即x1

=，x2

=-.解：(2)移項，得16x2

=25，方程兩邊都除以16，得x2

=，直接開平方，得

x

=±即x1

=，x2

=-.(2)當(dāng)p=0時，方程(I)有兩個相等的實數(shù)根

=0;(3)當(dāng)p<0時，因為任何實數(shù)x，都有x2≥0，所以方程(I)無實數(shù)根.一般的，對于可化為方程x2=p(p是常數(shù))，(I)(1)當(dāng)p>0時，根據(jù)平方根的意義，方程(I)有兩個不等的實數(shù)根歸納問題：

對照上面的方法，你認為可以怎樣解方程(x+3)2=5？由方程x2=25得x=±5.由此想到：由方程(x+3)2=5，②得于是方程(x+3)2=5的兩個根為即③上面的解法中，由方程②得到③，實質(zhì)上是把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，這樣就把方程②轉(zhuǎn)化為我們會解的方程了.歸納針對訓(xùn)練(1)

x2

-900=0.解：(1)移項，得x2=900.直接開平方，得x=±30，∴x1=30，x2=－30.思路點撥：通過移項把方程化為

x2=p

的形式，然后直接開平方即可求解．

1.利用直接開平方法解下列方程：解：（2）移項，得12(3-2x)2

=

3，兩邊都除以12，得(3-2x)2

=.∵3-2x

是

的平方根，∴3-2x

=.即3

-

2x

=

0.5，3-2x

=

-0.5，∴x1=

，（2）12(3－2x)2－3=0.思路點撥：先將-3

移到方程的右邊，再將等式兩邊同時除以

12，再將(3－2x)看成是一個整體，就可以運用直接開平方法求解.

x2=二、因式分解法解一元二次方程解：將方程左邊用平方差公式分解因式，得

(x-1)(x+1)=0，必有

x-1=0或

x+1=0.

分別解這兩個一元一次方程，得

x1＝1，x2＝-1.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法．解方程：還可以用什么方法來解呢？例2

解下列方程：解：(1)方程左邊分解因式，得

x(3x＋2)

=0.分解x

=0或3x＋2

=0.得x1

=0，

(2)x2

=3x；(1)3x2+2x

=0；解：(2)移項，得

x2－3x

=0.方程左邊分解因式，得

x(x－3)

=0.所以x

=0或x

-3

=0.

得因式分解法的基本步驟一移——方程的右邊=

0；二分——方程的左邊因式分解；三化——方程化為兩個一元一次方程；四解——寫出方程兩個解.因式分解法的依據(jù)：如果a·b=0，那么a=0或b=0．簡記口訣：右化零左分解兩方程各求解探究小張在做例2(2)時，是這樣做的：

x2

=3x方程的兩邊同時除以

x，得

x=3.故原方程的解為

x=3.不正確，方程兩邊同時除以的數(shù)不能為零，還有一個解為

x=0.小林的解法對嗎？針對訓(xùn)練1.解下列方程：解：(1)因式分解，得于是得x－2

=0或x＋1=

0,x1=2，x2=

-1.(x－2)(x＋1)

=

0.(2)移項、合并同類項，得因式分解，得

(2x＋1)(2x－1)=0.于是得2x＋1=0或2x－1=0,解：化為一般式為x2－2x+1=0.因式分解，得(x－1)(x－1)=0.有x

-1=0或x

-1=0，x1=x2=1.解：因式分解，得(2x+11)(2x

-11)=0.有2x+11=0或2x

-11=0，1.下列方程:①(x-1)2-1=0;②x2-5=0;③(x2-4x)-4=0;④(x-3)2+2=0；⑤x2=x;⑥x-x2-3=0;⑦(5x+1)2=16.可以用直接開平方法求解的有_______________;可以用因式分解法求解的有_______________.①

②

⑦①

②

⑤

⑦隨堂練習(xí)2．解方程：(1)(x－2)2＝(3x＋4)2；

(2)2x(x＋1)＝4x＋4.解：(1)移項，得(x－2)2-(3x＋4)2=0因式分解，得

(x-2+3x＋4)(x-2-3x-4)=0.4x＋2=0或-2x－6=0,(2)移項、合并同類項，得2x(x＋1)-4(x＋1)=0因式分解，得

(x＋1)(2x-4)=0.x＋1=0或2x－4=0,x1=-1，x2=

2.直接開平方法概念基本思路一元二次方程利用平方根的定義求方程的根的方法步驟關(guān)鍵要把方程化成x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0).兩個一元一次方程降次直接開平方法課堂小結(jié)概念步驟簡記歌