數(shù)學課件（新教材人教A版提優(yōu)版）第四章44簡單的三角恒等變換

第四章三角函數(shù)與解三角形簡單的三角恒等

變換能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進行簡單的恒等變換(包括推導出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶).考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝

.(2)公式C2α：cos2α＝

＝

＝

.(3)公式T2α：tan2α＝

.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2.常用的部分三角公式(1)1－cosα＝

，1＋cosα＝

.(升冪公式)(2)1±sinα＝

.(升冪公式)(3)sin2α＝

，cos2α＝

，tan2α＝

.(降冪公式)判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)半角的正弦、余弦公式實質(zhì)就是將倍角的余弦公式逆求而得來的.(

)(2)存在實數(shù)α，使tan2α＝2tanα.(

)√√√√√2.若角α滿足sinα＋2cosα＝0，則tan2α等于√√探究核心題型第二部分題型一三角函數(shù)式的化簡√思維升華(1)三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則：一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征.(2)三角函數(shù)式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補等)，尋找式子和三角函數(shù)公式之間的聯(lián)系點.題型二三角函數(shù)式的求值命題點1給角求值例2

計算：(1)sin10°·sin30°·sin50°·sin70°；命題點2給值求值√命題點3給值求角(1)給值(角)求值問題求解的關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉(zhuǎn)化方法.(2)給值(角)求值問題的一般步驟①化簡條件式子或待求式子；②觀察條件與所求式子之間的聯(lián)系，從函數(shù)名稱及角入手；③將已知條件代入所求式子，化簡求值.跟蹤訓練2

(1)已知α∈(0，π)，sin2α＋cos2α＝cosα－1，則sin2α等于√∵sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝2cos2α－1，∴2sinαcosα＋2cos2α＝cosα，當cosα＝0時，等式成立，此時sin2α＝0；√∴sin(60°＋α)＝sin[90°－(30°－α)]題型三三角恒等變換的綜合應(yīng)用(1)進行三角恒等變換要抓?。鹤兘?、變函數(shù)名稱、變結(jié)構(gòu)，尤其是角之間的關(guān)系；注意公式的逆用和變形使用.(2)形如y＝asinx＋bcosx化為y＝

sin(x＋φ)，可進一步研究函數(shù)的周期性、單調(diào)性、最值與對稱性.因為2tan2β－tanβ－1＝(2tanβ＋1)(tanβ－1)＝0，課時精練第三部分12345678910111213141516基礎(chǔ)保分練√1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516√123456789101112131415164.公元前六世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時，發(fā)現(xiàn)了黃金分割約為，這一數(shù)值也可以表示為m＝2sin18°，若4m2＋n＝16，則

的值為

√因為m＝2sin18°，所以由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin18°)2＝16cos218°，1234567891011121314151612345678910111213141516√√對于A，cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)對于C,cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝

，所以C錯誤；12345678910111213141516123456789101112131415166.(2022·石家莊模擬)黃金分割比例廣泛存在于許多藝術(shù)作品中.在三角形中，底與腰之比為黃金分割比的三角形被稱作黃金三角形，被認為是最美的三角形，它是兩底角為72°的等腰三角形.達芬奇的名作《蒙娜麗莎》中，在整個畫面里形成了一個黃金三角形.如圖，在黃金△ABC中，

，根據(jù)這些信息，可得sin54°等于√12345678910111213141516又因為cos236°＋sin236°＝1，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415169.化簡并求值.12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516又cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)綜合提升練12345678910111213141516√12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516則sin(α＋β)＝

，cos(2α－β)＝

.1234567891011121314151612345678910111213141516拓展沖刺練√123456789101112131415161234567891011121314151616.(2023·鹽城模擬)已知由sin2x＝2sinxcosx，cos2x＝2cos2x－1，cos3x＝cos(2x＋x)可推得三倍角余弦公式cos3x＝4cos3x－3cosx，已知cos54°＝sin36°，結(jié)合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin18°＝________；如圖，已知五角星ABCDE是由邊長為2的正五邊形GHIJK和五個全等的等腰三角形組成的，則

＝________.12345678910111213141516因為cos54°＝cos(90°－36°)＝sin36°，所以4cos318°－3cos18°＝2sin18°cos18°，即4cos218°－3＝2sin18°，即4(1－sin218°)－3＝2sin18°，即4sin218°＋2sin18°－1＝0，在五角星ABCDE中