高中數(shù)學(xué)-【課堂實(shí)錄】雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

人教A版《數(shù)學(xué)》選修2-1第二章2.3.2節(jié)一、教材分析：本節(jié)知識(shí)是《全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué)?（選修2-1）》第二章“圓錐曲線與方程”第2.3節(jié)《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》的第一課時(shí)，是教學(xué)大綱要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，也是高考的一個(gè)考點(diǎn)。它是在學(xué)生已掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用雙曲線的定義、方程和圖象，深入研究雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，進(jìn)一步使學(xué)生體會(huì)、理解、熟練運(yùn)用解析幾何這門學(xué)科的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生的解析幾何的思維空間。二、學(xué)情分析所教班級(jí)的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)，自主學(xué)習(xí)能力較高。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，可以發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，教師加以引導(dǎo)，完成本節(jié)課的教學(xué)。因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，所以本節(jié)課通過(guò)類比、推導(dǎo)、歸納出雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率）和獨(dú)有的幾何性質(zhì)（實(shí)軸、虛軸、漸近線）。通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，可使學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，拓展延伸、構(gòu)建新知識(shí)體系，對(duì)由數(shù)到形的思想、方法有更深刻的認(rèn)識(shí)。三、教學(xué)目標(biāo)（1）知識(shí)、能力目標(biāo)：①運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論其范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線等簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；②掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概念及性質(zhì)；③能運(yùn)用雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)解決雙曲線的一些基本問(wèn)題。（2）過(guò)程、方法目標(biāo)：①在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，想象能力，數(shù)形結(jié)合能力，分析、歸納能力和邏輯推理能力，以及類比的學(xué)習(xí)方法；②使學(xué)生參與到探究雙曲線幾何性質(zhì)的活動(dòng)中，能恰當(dāng)?shù)匕央p曲線標(biāo)準(zhǔn)方程恒等變形，掌握利用圓錐曲線的方程研究其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的基本方法，進(jìn)一步加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線與方程的概念的理解，體會(huì)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。③能運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，探尋雙曲線的漸近線，初步體驗(yàn)極限意義，感受數(shù)與形的對(duì)立與統(tǒng)一，體會(huì)函數(shù)與方程的思想。（3）情感態(tài)度、價(jià)值目標(biāo)：①引導(dǎo)學(xué)生自主探索、交流合作解決問(wèn)題，激發(fā)他們會(huì)學(xué)、愛(ài)探究的樂(lè)趣，增強(qiáng)合作意識(shí)。②培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)對(duì)待知識(shí)的科學(xué)態(tài)度和探索精神，而且能用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)分析理解事物。四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的漸近線及其探究過(guò)程。教學(xué)難點(diǎn)：漸近線幾何意義的應(yīng)用。五、教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)誘導(dǎo)、講練結(jié)合六、教學(xué)用具：多媒體七、教學(xué)過(guò)程：（一）授課流程復(fù)習(xí)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)類比推理雙曲線的幾何性質(zhì)特有的幾何性質(zhì)（從特殊到一般的規(guī)律探索）雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)及證明加強(qiáng)應(yīng)用深化知識(shí)、鞏固提高（二）教學(xué)流程1.新課引入首先用多媒體為學(xué)生伴著優(yōu)美的雙曲線圖片播放校園歌曲《悲傷的雙曲線》，伴著動(dòng)聽(tīng)的旋律吸看著歌詞欣賞完歌曲，自然而然的進(jìn)入了本節(jié)課的內(nèi)容：找尋雙曲線“悲傷的原因。”請(qǐng)同學(xué)們復(fù)習(xí)回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，利用多媒體來(lái)演示圖象。通過(guò)類比橢圓的相關(guān)知識(shí)，探究雙曲線的性質(zhì)。2．觀察類比本節(jié)課內(nèi)容是利用類比的教學(xué)方法，教學(xué)中通過(guò)與“橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”類比講解，從“形”和“數(shù)”兩個(gè)方面探究雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。讓學(xué)生試著按照橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，首先觀察雙曲線的形狀，自己進(jìn)行探究歸納總結(jié)出雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。一般學(xué)生能得出雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)（實(shí)軸、虛軸），教師用多媒體演示，同時(shí)比較雙曲線的這四個(gè)性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)的聯(lián)系及區(qū)別?！疽鈭D：利用類比方法，目的加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)求知欲?！繖E圓雙曲線圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍，對(duì)稱性關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)都對(duì)稱關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)都對(duì)稱頂點(diǎn)3.探究發(fā)現(xiàn)由橢圓的幾何性質(zhì)，我們能利用長(zhǎng)、短軸較準(zhǔn)確地畫出橢圓的圖形。那么，利用雙曲線的實(shí)、虛軸能否畫出雙曲線的圖形呢？教師啟發(fā)學(xué)生，從曾經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的反比例函數(shù)的圖象入手，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，它的圖象是雙曲線，當(dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時(shí)，它與x、y軸無(wú)限接近，此時(shí)x、y軸是的漸近線【為后面引出漸近線的概念埋下伏筆】。引導(dǎo)學(xué)生歸納雙曲線的圖象有何特征？有沒(méi)有漸近線？【意圖：從已有知識(shí)出發(fā)，逐層探究，激活已知，啟迪思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生自身探索的興趣，進(jìn)一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性?！肯葟膸缀巍皥D形”的角度入手研究圖象特征。指出利用雙曲線的對(duì)稱性，只需觀察它在第一象限的圖形，進(jìn)一步探尋雙曲線(a>0，b>0)的漸近線。利用幾何畫板直觀演示雙曲線(a>0，b>0)在第一象限內(nèi)的圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察其圖象向遠(yuǎn)處無(wú)限伸展的變化趨勢(shì)，可知其在遠(yuǎn)處時(shí)與直線無(wú)限接近，所以，直線叫做雙曲線(a>0，b>0)的漸近線。接著，從數(shù)的角度進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，只需將雙曲線(a>0，b>0)中的“1”改為“0”即可求得其漸近線方程。利用類比的方法，可求得等軸雙曲線的漸近線方程是。【意圖：將漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點(diǎn)，充分暴露思維過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過(guò)誘導(dǎo)、分析，巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程，這樣滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想?！窟@樣，明確了畫雙曲線時(shí)的遠(yuǎn)處趨向問(wèn)題，就可以比較精確的畫出雙曲線。但是如果仔細(xì)觀察，漸近線實(shí)質(zhì)就是雙曲線(a>0，b>0)過(guò)實(shí)軸端點(diǎn)、虛軸端點(diǎn)，作平行與坐標(biāo)軸的直線所成的矩形的兩條對(duì)角線如右圖。利用數(shù)形結(jié)合，可加強(qiáng)對(duì)雙曲線的漸近線的理解。此時(shí)，通過(guò)幻燈片展示求雙曲線的漸近線的方程的方法：（1）直接根據(jù)漸近線方程寫出；（2）利用雙曲線的圖形中的矩形框架的對(duì)角線得到?！疽鈭D：加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于雙曲線的漸近線的應(yīng)用和理解?！?.拓展延伸——離心率的幾何意義因?yàn)闄E圓的圖象是閉合的，所以通過(guò)離心率e可以區(qū)別橢圓的扁平程度，而雙曲線的兩支是向外無(wú)限延伸的，它的離心率e有什么幾何意義呢？根據(jù)剛得到的雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)可得：，那么，雙曲線的離心率與其漸近線之間是否有聯(lián)系呢？由等式，可得：，所以，利用雙曲線(a>0，b>0)的漸近線方程，或雙曲線(a>0，b>0)的漸近線方程，都可以直接求出離心率e，但要注意確定雙曲線的焦點(diǎn)位置。同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生探究：e越小（越接近于1），就越接近于0，雙曲線開(kāi)口越??；e越大，就越大，雙曲線開(kāi)口越大。所以，橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度，雙曲線的離心率是刻畫雙曲線開(kāi)口大小的一個(gè)量：離心率越小開(kāi)口越小，離心率越大開(kāi)口越大?！疽鈭D：通過(guò)類比推理雙曲線的離心率e的幾何意義，既強(qiáng)化了數(shù)形結(jié)合的思想，又從“數(shù)”的角度體現(xiàn)了離心率與漸近線的聯(lián)系，提高了學(xué)生的應(yīng)變能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度?！?.知識(shí)應(yīng)用為突出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生盡快掌握剛才所學(xué)的知識(shí)。我選配了這樣的例題：例題1、【雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用】求雙曲線9y2－16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。解:把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得,由標(biāo)準(zhǔn)方程可得:實(shí)半軸長(zhǎng):a=4虛半軸長(zhǎng):b=3半焦距:焦點(diǎn)坐標(biāo):(0,-5),(0,5)離心率:變式：求雙曲線9y2－16x2=-144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。【學(xué)生回答】引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本題的方法感悟：若題目給定的雙曲線方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式，則先要化為標(biāo)準(zhǔn)方程，后再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程，分別求出有關(guān)幾何量?！疽鈭D：例題和變式練習(xí)的選用目的，目的是為了在例題的基礎(chǔ)上作一題多變（變條件，變結(jié)論），通過(guò)訓(xùn)練學(xué)生一題多解、多題一解，開(kāi)拓其解題思路，使他們?cè)谧鲱}中善于發(fā)展思維、總結(jié)規(guī)律、提高知識(shí)的應(yīng)變能力和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力?！坷}2、【由幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】已知雙曲線頂點(diǎn)間的距離是16，離心率是，焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，寫出雙曲線的方程，并且求出它的漸近線和焦點(diǎn)坐標(biāo)。解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，2a=16，e=，所以a=4,c=10,b=6所以標(biāo)準(zhǔn)方程是：漸近線方程是：，【變式】若焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在原點(diǎn)，求雙曲線的方程，并求它的漸近線和焦點(diǎn)坐標(biāo)?！緦W(xué)生作答：焦點(diǎn)在X軸時(shí)標(biāo)準(zhǔn)方程：漸近線方程是：，焦點(diǎn)在y軸時(shí)標(biāo)準(zhǔn)方程：,漸近線：】例題3、雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為20m，高42m．選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程．oxoxxyAA’CC’BB’分析：本題建立合適的坐標(biāo)系是關(guān)鍵。注意到通風(fēng)塔有三個(gè)特殊的截口圓：上口、下口、最小的一個(gè)截口。顯然，最小截口圓的圓心是雙曲線的中心，直徑是雙曲線的實(shí)軸，所以以最小截口直徑所在直線為X軸，圓心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則雙曲線的方程具有最簡(jiǎn)單的形式。解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xOy，使小圓的直徑AA′在x軸上，圓心與原點(diǎn)重合．這時(shí)，上、下口的直徑CC′、BB′平行于x軸，且|CC′|=13×2(m)，|BB′|=20×2(m)．設(shè)雙曲線的方程為令點(diǎn)B的坐標(biāo)為(20，y1),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(13，y2)，則．因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上，所以【意圖：這是一個(gè)有實(shí)際意義的題目．解這類題目時(shí)，首先要解決以下兩個(gè)問(wèn)題：(1)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；(2)將實(shí)際問(wèn)題中的條件借助坐標(biāo)系用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)?！?.沙場(chǎng)練兵1、求雙曲線25y2-16x2=400的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率及漸近線的方程。【學(xué)生搶答】2、求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：【讓學(xué)生自己練習(xí)，兩個(gè)同學(xué)到黑板板演?！俊疽鈭D：熟悉并運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)解題，加強(qiáng)應(yīng)用性，保證學(xué)生準(zhǔn)確掌握當(dāng)堂知識(shí)。】7.課堂小結(jié)（1）學(xué)生小結(jié)：（2）教師小結(jié)：通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，尤其是雙曲線的漸近線方程及其“漸近”性質(zhì)的證明，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)解決問(wèn)題以及生活問(wèn)題；開(kāi)始大家欣賞的歌曲《悲傷的雙曲線》告訴我們：沒(méi)有規(guī)矩，不成方圓。只有遵循事物發(fā)展的規(guī)律，我們的探究才有價(jià)值。8.課后練習(xí)（1）鞏固練習(xí)：課本P61練習(xí)3，4。課本P61習(xí)題1-4，鞏固并掌握課上所學(xué)的知識(shí)。（2）課外實(shí)踐：雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)性質(zhì)在我們生活中也有很多用處，像雙曲線槽、PhotoShop雙曲線修圖法，以及天體在太空中通過(guò)五個(gè)宇宙速度離開(kāi)地球的運(yùn)動(dòng)軌跡也主要是雙曲線和橢圓，請(qǐng)大家課后查閱相關(guān)資料，探究一下我們身邊哪些地方用到雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。10.板書設(shè)計(jì)2.3.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2.3.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)雙曲線的性質(zhì)5、例2解答雙曲線的性質(zhì)5、例2解答例3解答學(xué)生板演：課堂訓(xùn)練1、范圍：學(xué)生板演：課堂訓(xùn)練1、范圍：，。2、對(duì)稱性：雙曲線的對(duì)稱軸是2、對(duì)稱性：雙曲線的對(duì)稱軸是軸、軸，原點(diǎn)是它的對(duì)稱中心。3、頂點(diǎn)：3、頂點(diǎn)：，稱為實(shí)軸，為虛軸，其中。4、離心率：4、離心率：5、漸近線：【注】1、本節(jié)課引導(dǎo)學(xué)生采用類比橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的推理方法，利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程探究雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。在教學(xué)中，凡是學(xué)生自己經(jīng)過(guò)努力能得到的結(jié)論全部放手讓學(xué)生自己得到，使學(xué)生的主動(dòng)性得到淋漓盡致的發(fā)揮，這樣有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從中提高學(xué)生的思維能力和解決問(wèn)題的能力。2、本節(jié)課的難點(diǎn)是雙曲線的漸近線，故采取了有目的的存疑設(shè)問(wèn)，用懸念激發(fā)學(xué)生的情趣，促進(jìn)思考。結(jié)合學(xué)生實(shí)際，把“共漸近線的雙曲線”、“雙曲線的第二定義”和“直線與雙曲線的關(guān)系”放到下一節(jié)課來(lái)完成。3、最后，設(shè)計(jì)“課外實(shí)踐”作業(yè)，目的是激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從多角度刺激學(xué)生理解雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)?！峨p曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》的學(xué)情分析通過(guò)初中對(duì)反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的圖象，即雙曲線，有圖形上的感知，但沒(méi)有形成理性認(rèn)識(shí)。認(rèn)識(shí)到雙曲線在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中的廣泛應(yīng)用，以及在高考中的重要地位后，學(xué)生較強(qiáng)的求知欲望。因?yàn)橥ㄟ^(guò)2.1“直線和圓的方程”和2.2“橢圓”的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)坐標(biāo)法有較深刻的認(rèn)識(shí)，懂得如何通過(guò)研究方程的性質(zhì)間接地來(lái)研究曲線的性質(zhì)，可以按照研究橢圓的幾何性質(zhì)的方法和步驟，推出雙曲線的范圍、對(duì)稱性、準(zhǔn)線、離心率。所以，學(xué)生具備探究雙曲線幾何性質(zhì)的知識(shí)和能力基礎(chǔ)。但雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的等價(jià)方程反映的幾何性質(zhì)是橢圓所沒(méi)有的。學(xué)生缺乏把標(biāo)準(zhǔn)方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為的意識(shí)，對(duì)“形”與“數(shù)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系認(rèn)識(shí)不夠深刻，難以把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)，沒(méi)有極限的觀念，難以認(rèn)識(shí)到當(dāng)逐漸增大時(shí)，逐漸增大，無(wú)限增大，接近于，難以探究出雙曲線的漸近線。因此，本節(jié)課的難點(diǎn)是探究雙曲線的漸近線?！峨p曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》的效果分析《2．3．2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》是一節(jié)新授課，主要利用類比授課法，從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度探究雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。教師所設(shè)計(jì)的問(wèn)題具有明顯的層次性，由淺入深，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，基本做到了“把問(wèn)題定位在學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)”實(shí)現(xiàn)了預(yù)期目標(biāo)：一、目標(biāo)定位準(zhǔn)確本節(jié)課，教師在充分挖掘教學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，了解學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)，充分分析學(xué)情后，確定的教學(xué)目標(biāo)：利用類比法引導(dǎo)學(xué)生探究雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；滲透數(shù)形結(jié)合和分類討論思想。這一些都隨著課堂的實(shí)踐得到了落實(shí)，完全符合學(xué)生“認(rèn)識(shí)規(guī)律”，以遞進(jìn)的形式呈現(xiàn)：類比推理、觀察分析、抽象概括，提煉上升。可以說(shuō)，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)了“知識(shí)目標(biāo)”、“能力目標(biāo)”、“情感目標(biāo)”融為一體。二、主體地位突出1．還課堂給學(xué)生把課堂還給學(xué)生，一直是課改的大方向，也是新課標(biāo)的原動(dòng)力之一。本節(jié)課教師所預(yù)設(shè)和生成的問(wèn)題都貼近學(xué)生“思維最近發(fā)展區(qū)”，學(xué)生能自主探究、有興趣思考研究。對(duì)于個(gè)別有難度的問(wèn)題，學(xué)生也會(huì)主動(dòng)通過(guò)請(qǐng)教老師、小組合作等方式解決。本節(jié)課極大地保護(hù)和激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和積極性，參與程度和激情得到了充分發(fā)揮。2．還探究權(quán)給學(xué)生本節(jié)課，無(wú)論是范圍、頂點(diǎn)、對(duì)稱性，還是漸近線、離心率的逐步生成，學(xué)生都能從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度進(jìn)行探究，類比推理得到結(jié)論。但數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想在雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的逆應(yīng)用中巧妙“會(huì)師”，雙曲線的幾何性質(zhì)在生活中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合和理論來(lái)源于實(shí)踐的思想再次升華體現(xiàn)。這正是“數(shù)學(xué)演繹”、“理性數(shù)學(xué)”的精華，讓學(xué)生找到內(nèi)化和建構(gòu)的多種途徑。這不僅會(huì)自然增強(qiáng)或輻射到學(xué)生的解題能力和理性思維，更能影響和滲透到他們的終身學(xué)習(xí)和今后從事的工作中去。3．還合作權(quán)給學(xué)生本節(jié)課每個(gè)問(wèn)題的遞進(jìn)式提出，真正地讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)，讓課堂活起來(lái)了。我們發(fā)現(xiàn)每個(gè)學(xué)生能夠自主地動(dòng)眼看、動(dòng)手算、動(dòng)腦想、動(dòng)口說(shuō)，確實(shí)能夠全身心投入到學(xué)習(xí)過(guò)程中去，更令人吃驚的是“合作交流”發(fā)揮得淋漓盡致。這不僅反映在四人小組毫無(wú)掩飾、捏造的交流過(guò)程，更有把自己的不同想法敢于同學(xué)面前展示和袒露的真實(shí)場(chǎng)景。這種“生生合作”的經(jīng)典，更來(lái)自于“師生合作”的源頭。因?yàn)楸竟?jié)課教師始終把自己放在和學(xué)生平等的位置上，“同歡樂(lè)，共困苦”，讓學(xué)生心情愉悅地、神情自信地回答和展示自己的“成果”，展現(xiàn)了一種興趣盎然、生動(dòng)活潑的自主、合作、交流的課堂活動(dòng)場(chǎng)景。三、主導(dǎo)作用高效本節(jié)課教師的主導(dǎo)作用得以充分發(fā)揮，綜觀整節(jié)課五個(gè)性質(zhì)的呈現(xiàn)彼此銜接，水到渠成。教師啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類比推理、數(shù)形結(jié)合逐層探究，成就感得到極大的滿足。這得益于教師充分挖掘和把握教材內(nèi)在聯(lián)系之功力和涵養(yǎng)，也借助于教師過(guò)渡銜接之妙：和藹微笑的教態(tài)，激勵(lì)動(dòng)情的語(yǔ)言，豁達(dá)激情的風(fēng)貌，使得課堂情境天人合一。四、情感價(jià)值增色本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是通過(guò)雙曲線方程研究雙曲線的性質(zhì)，類似于“橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)”的探究過(guò)程。教學(xué)中擬采用類比法授課：讓學(xué)生自己進(jìn)行探究得到結(jié)論。在教學(xué)中，學(xué)生自己能得到的結(jié)論應(yīng)該讓學(xué)生自己得到，凡是難度不大，經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)學(xué)生自己能解決的問(wèn)題，讓學(xué)生自己解決。這樣有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)成就感，同時(shí)也有利于學(xué)習(xí)建立信心，使他們的主動(dòng)性得到充分發(fā)揮，從中提高學(xué)生的思維能力和解決問(wèn)題的能力。教師在例3中通過(guò)滲透“降低能耗、改善環(huán)境”的思想，喚起學(xué)生學(xué)以致用的責(zé)任感；在最后布置作業(yè)中“課外實(shí)踐”這一環(huán)節(jié)，以衛(wèi)星進(jìn)入預(yù)定軌道時(shí)的軌跡既有橢圓又有雙曲線，來(lái)激發(fā)同學(xué)們奮發(fā)圖強(qiáng)，努力學(xué)習(xí)，早日?qǐng)A自己的“太空夢(mèng)”！本節(jié)課值得改進(jìn)的地方：一是能將學(xué)生的練習(xí)投影展示一下，讓大家有則改之無(wú)則加勉，鞏固效果會(huì)更好；二是教師在使用白板時(shí)最好及時(shí)清除書寫痕跡，以免影響投影效果；三是由于應(yīng)用多媒體，課堂容量增加，但個(gè)別知識(shí)容易被一帶而過(guò)，引不起學(xué)生的足夠重視。《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》的教材分析1.教學(xué)內(nèi)容的地位及作用本節(jié)知識(shí)是《全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué)?（選修2-1）》第二章“圓錐曲線與方程”第2.3節(jié)的內(nèi)容，是教學(xué)大綱要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，也是高考的一個(gè)考點(diǎn)。它是在學(xué)生已掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生在靈活運(yùn)用雙曲線的定義、方程和圖象解題的基礎(chǔ)上，深入研究雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，進(jìn)一步使學(xué)生體會(huì)、理解、熟練運(yùn)用解析幾何這門學(xué)科的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的解析幾何的思維空間，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。2.教學(xué)目標(biāo)的確定及依據(jù)雙曲線是一種重要的圓錐曲線，具有比橢圓和拋物線更豐富的幾何性質(zhì)。雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)揭示了雙曲線最基本的特征，其推導(dǎo)過(guò)程蘊(yùn)含了等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等重要的數(shù)學(xué)思想方法，是訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的良好題材。因此，我確定教學(xué)目標(biāo)三維目標(biāo)如下：（1）知識(shí)、能力目標(biāo)：①運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論其范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線等簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；②掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概念及性質(zhì)；③能運(yùn)用雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)解決雙曲線的一些基本問(wèn)題。（2）過(guò)程、方法目標(biāo)：①在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，想象能力，數(shù)形結(jié)合能力，分析、歸納能力和邏輯推理能力，以及類比的學(xué)習(xí)方法；②使學(xué)生參與到探究雙曲線幾何性質(zhì)的活動(dòng)中，能恰當(dāng)?shù)匕央p曲線標(biāo)準(zhǔn)方程恒等變形，掌握利用圓錐曲線的方程研究其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的基本方法，進(jìn)一步加深對(duì)直角坐標(biāo)系中曲線與方程的概念的理解。體會(huì)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想；③能運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，探尋雙曲線的漸近線，初步體驗(yàn)極限意義，感受形與數(shù)的對(duì)立與統(tǒng)一，體會(huì)函數(shù)與方程思想。（3）情感態(tài)度、價(jià)值目標(biāo)：①引導(dǎo)學(xué)生自主探索、交流合作解決問(wèn)題的思路，激發(fā)會(huì)學(xué)、愛(ài)探究的樂(lè)趣，增強(qiáng)合作意識(shí)。②培養(yǎng)學(xué)生對(duì)待知識(shí)的科學(xué)態(tài)度和探索精神，而且能夠運(yùn)用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)分析理解事物。3.重點(diǎn)、難點(diǎn)的確定及依據(jù)對(duì)圓錐曲線來(lái)說(shuō)，漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，而學(xué)生對(duì)漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。在教學(xué)過(guò)程中，把探究漸近線作為教學(xué)重點(diǎn)，通過(guò)誘導(dǎo)、分析，巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于實(shí)踐，學(xué)生易接受。因此，根據(jù)本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)大綱以及高考的要求，結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的實(shí)際水平和認(rèn)知能力，確定教學(xué)重、難點(diǎn)如下：教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的漸近線及其探究過(guò)程。教學(xué)難點(diǎn)：漸近線幾何意義的應(yīng)用。4.教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)誘導(dǎo)、講練結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是通過(guò)雙曲線方程研究雙曲線的性質(zhì)，類似于“橢圓的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)”的探究過(guò)程。教學(xué)中擬采用類比法授課：讓學(xué)生自己進(jìn)行探究得到結(jié)論。在教學(xué)中，學(xué)生自己能得到的結(jié)論應(yīng)該讓學(xué)生自己得到，凡是難度不大，經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)學(xué)生自己能解決的問(wèn)題，讓學(xué)生自己解決。這樣有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)成就感，同時(shí)也有利于學(xué)習(xí)建立信心，使他們的主動(dòng)性得到充分發(fā)揮，從中提高學(xué)生的思維能力和解決問(wèn)題的能力。漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，常利用它作雙曲線的草圖，而學(xué)生對(duì)漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學(xué)過(guò)程中著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過(guò)誘導(dǎo)、分析，從已有知識(shí)出發(fā)，層層探究發(fā)現(xiàn)，利用已知，啟迪思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力，進(jìn)一步清晰雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，培養(yǎng)思維的深刻性。例題的選備，擬采用一題多變（變條件，變結(jié)論）的思路，訓(xùn)練學(xué)生一題多解，開(kāi)拓其解題思路，使他們?cè)谧鲱}中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識(shí)的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題能力?！峨p曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》的評(píng)測(cè)練習(xí)例題1、【雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用】求雙曲線9y2－16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。解:把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得,由標(biāo)準(zhǔn)方程可得:實(shí)半軸長(zhǎng):a=4虛半軸長(zhǎng):b=3半焦距:焦點(diǎn)坐標(biāo):(0,-5),(0,5)離心率:變式：求雙曲線9y2－16x2=-144的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程?！緦W(xué)生回答】引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本題的方法感悟：若題目給定的雙曲線方程不是標(biāo)準(zhǔn)形式，則先要化為標(biāo)準(zhǔn)方程，后再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程，分別求出有關(guān)幾何量。【意圖：例題和變式練習(xí)的選用目的，目的是為了在例題的基礎(chǔ)上作一題多變（變條件，變結(jié)論），通過(guò)訓(xùn)練學(xué)生一題多解、多題一解，開(kāi)拓其解題思路，使他們?cè)谧鲱}中善于發(fā)展思維、總結(jié)規(guī)律、提高知識(shí)的應(yīng)變能力和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力?！坷}2、【由幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】已知雙曲線頂點(diǎn)間的距離是16，離心率是，焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，寫出雙曲線的方程，并且求出它的漸近線和焦點(diǎn)坐標(biāo)。解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，2a=16，e=，所以a=4,c=10,b=6所以標(biāo)準(zhǔn)方程是：漸近線方程是：，【變式】若焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在原點(diǎn)，求雙曲線的方程，并求它的漸近線和焦點(diǎn)坐標(biāo)。【學(xué)生作答：焦點(diǎn)在X軸時(shí)標(biāo)準(zhǔn)方程：漸近線方程是：，焦點(diǎn)在y軸時(shí)標(biāo)準(zhǔn)方程：,漸近線：】例題3、雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12m，上口半徑為13m，下口半徑為20m，高42m．選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程．oxoxxyAA’CC’BB’分析：本題建立合適的坐標(biāo)系是關(guān)鍵。注意到通風(fēng)塔有三個(gè)特殊的截口圓：上口、下口、最小的一個(gè)截口。顯然，最小截口圓的圓心是雙曲線的中心，直徑是雙曲線的實(shí)軸，所以以最小截口直徑所在直線為X軸，圓心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則雙曲線的方程具有最簡(jiǎn)單的形式。解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xOy，使小圓的直徑AA′在x軸上，圓心與原點(diǎn)重合．這時(shí)，上、下口的直徑CC′、BB′平行于x軸，且|CC′|=13×2(m)，|BB′|=20×2(m)．設(shè)雙曲線的方程為令點(diǎn)B的坐標(biāo)為(20，y1),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(13，y2)，則．因?yàn)辄c(diǎn)B、C在雙曲線上，所以【意圖：這是一個(gè)有實(shí)際意義的題目．解這類題目時(shí)，首先要解決以下兩個(gè)問(wèn)題：(1)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；(2)將實(shí)際問(wèn)題中的條件借助坐標(biāo)系用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)。】6.沙場(chǎng)練兵1、求雙曲線25y2-16x2=400的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率及漸近線的方程?！緦W(xué)生搶答】2、求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：【讓學(xué)生自己練習(xí)，兩個(gè)同學(xué)到黑板板演?！俊疽鈭D：熟悉并運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)解題，加強(qiáng)應(yīng)用性，保證學(xué)生準(zhǔn)確掌握當(dāng)堂知識(shí)?！俊峨p曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》課后反思本節(jié)知識(shí)是《全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書數(shù)學(xué)?（選修2-1）》第二章“圓錐曲線與方程”第2.3.2節(jié)《雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)》的第一課時(shí)，是教學(xué)大綱要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，也是高考的一個(gè)考點(diǎn)。它是在學(xué)生已掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用雙曲線的定義、方程和圖象，深入研究雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，進(jìn)一步使學(xué)生體會(huì)、理解、熟練運(yùn)用解析幾何這門學(xué)科的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生的解析幾何的思維空間。因?yàn)樗贪嗉?jí)的學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)，自主學(xué)習(xí)能力較高。在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，首先用多媒體為學(xué)生伴著優(yōu)美的雙曲線圖片播放校園歌曲《悲傷的雙曲線》，伴著動(dòng)聽(tīng)的旋律吸看著歌詞欣賞完歌曲，自然而然的進(jìn)入了本節(jié)課的內(nèi)容：找尋雙曲線“悲傷的原因?！背浞职l(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，教師加以引導(dǎo)，完成本節(jié)課的教學(xué)。因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，所以本節(jié)課通過(guò)類比、推導(dǎo)、歸納出雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率）和獨(dú)有的幾何性質(zhì)（實(shí)軸、虛軸、漸近線）。通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，可使學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，拓展延伸、構(gòu)建新知識(shí)體系，對(duì)由數(shù)到形的思想、方法有更深刻的認(rèn)識(shí)。本節(jié)課利用類比的教學(xué)方法，教學(xué)中通過(guò)與“橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”類比講解，從“形”和“數(shù)”兩個(gè)方面探究雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。而雙曲線問(wèn)題，它與橢圓問(wèn)題有類似性，知識(shí)的正遷移作用可在本節(jié)課中充分顯示。讓學(xué)生試著按照橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，首先觀察雙曲線的形狀，自己進(jìn)行探究歸納總結(jié)出雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。而這個(gè)認(rèn)知對(duì)于現(xiàn)在的學(xué)習(xí)會(huì)產(chǎn)生一定幫助的同時(shí)，其方程形式的不同也會(huì)帶來(lái)一定的認(rèn)知沖突。在本設(shè)計(jì)的實(shí)施過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，明確核心問(wèn)題“探究雙曲線的幾何性質(zhì)，歸納其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法”這一課堂任務(wù)后，學(xué)生能能積極、主動(dòng)地參與探究活動(dòng)，大多數(shù)學(xué)生能按照研究橢圓幾何性質(zhì)的方法和步驟，通過(guò)分析雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的性質(zhì)，探尋到雙曲線的范圍、中心、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)，并分析出雙曲線的漸近線時(shí)，學(xué)生驚嘆不已。在歸納提升環(huán)節(jié)中發(fā)現(xiàn)，