北京市2020年4月高考數(shù)學(xué)模擬試卷(答案解析)

北京市2020年4月高考數(shù)學(xué)模擬試卷

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

姓名班級考號

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂

其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第一部分（選擇題，共40分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1,已知集合A/={dx2-3x<0},7V={xll<x<7},則A/IN=()

A.{jell<x<3)B,{xll<x<3)c,{x10<x<7}D,{x10<x<7}

【答案】A

【解析】集合

M=trlx2-3x<()}={xlx(x-3)<()}={x10<x<3),

故MIN={xll<x<3}.故選A.

2i

2.已知復(fù)數(shù)1=77—^,則Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)所在象限為（)

(I-/)3

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

212/1+z11

【解析】Z-(1-/)3--2/(1-/)--(1+/)(1-/)=~2~21

工在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)為在第二象限故選B.

3.曲線方程腔+山+瓜―），+4=0表示一個圓的充要條件為（）

A.￡>15B.￡>15C.E2>15D.F2>15

1

【答案】C

【解析】表示圓的充要條件是￡2+（—11-4X4>0,即E2〉15.故選C.

4.已知f（x）=ax2+bx是定義在［a-1,2a］上的偶函數(shù)，那么a+b的值是

11

A.—B.-

33

11

C.——D.—

22

【答案】B

【解析】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f（x）是定義在［a-1,2a］上的偶函數(shù)，

11

得a-l=-2a,解得a=q,又f（-x）=f（x）,.*.b=0,,*.a+b=-.故選B.

5.不等式2）X2+2（。-2）x-4<0,對一切》eR恒成立，則a的取值范圍是（）

A.（-oo,2］B.（-2,2］C.（-2,2）D.（-8,2）

【答案】B

【解析】因?yàn)椴坏仁剑ā?2）X2+2（a-2）x-4<0,對一切XGR恒成立，則對二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，分為

兩種情況來解得，求解得到a的取值范圍是（-2,2］,故選B.

/2、

6.若二項(xiàng)式（尤+―）"的展開式，二項(xiàng)式系數(shù)之和為16,則展開式中》的系數(shù)為（）

X2

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

2

【解析】由展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為16,即2"=16,得〃=4.展開式中T=CrX4-r（—）r=2rCrX4-3r,

r+l44

令4-3r=l,得r=l,故犬的系數(shù)為2。=8,故選C.

4

7.從A,B,C,D,E5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外語競賽，其中A不參加物理、

化學(xué)競賽，則不同的參賽方案種數(shù)為（）

A.24B.48

C.72D.120

【答案】C

【解析】A參加時參賽方案有C3A43=48（種），A不參加時參賽方案有4=24（種），所以不同的參賽

4234

方案共72種，故選C.

8.己知數(shù)列也｝滿足。-a=2,且成等比數(shù)列.若｛。｝的前〃項(xiàng)和為S，則S的最小值為（）

n?+1n134nnn

A.-10B.-14C.—18D.-20

2

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，可知⑷為等差數(shù)列，公差d=2,由。巴巴成等比數(shù)列，可得

...S=-8〃+四二11cc/9、81

(q+4)2="4+6)，解得“=-8.x2=〃2—9〃=(〃一彳)2-丁.根據(jù)單調(diào)性,

224

可知當(dāng)〃=4或5時，S“取到最小值，最小值為一20.故選D.

1

9.如圖，已知電路中4個開關(guān)閉合的概率都是且是相互獨(dú)立的，則燈亮的概率為（）

31

ABC.

-16-164

【答案】D

【解析】由題意，燈泡不亮包括四個開關(guān)都開,后下邊的2個都開，上邊的2個中有一個開，這三種情況

是互斥的，每一種請中的事件都是相互獨(dú)立的,所以燈泡不亮的概率為

1111111111113313

X—xX—+—X—X-X—+—X-X-X—=布’所以燈泡亮的概率為1一諱=而故本題選口

222222222222?

10.箱子里有3雙顏色不同的手套（紅藍(lán)黃各1雙），有放回地拿出2只，記事件A表示“拿出的手套一只

是左手的，一只是右手的，但配不成對“，則事件A的概率為（）

1112

A-6B-3C-5D，5

【答案】B

【解析】分別設(shè)3雙手套為:4%、叩,、4、%、［分別代表左手手套，巴、,、C,分別代表右手

手套；從箱子里的3雙不同的手套中，隨機(jī)拿出2只，所有的基本事件是：n=6x6=36,共有36個基本

事件；事件A包含：4,b、(b,a)、(a,c)、(c,a)、(a,b)、(b,a)>

122I12212I12

(a,c)、(c,a)、(b,c)、(c,6)、(/7,c)、(c,b)—共12個基本事件，故事件A的概率為

2I12122121I2

P(A)=隹=7，故選B.

Jo3

第二部分（非選擇題，共110分）

二、填空題：本題共5個小題，每小題5分，共25分.

3

11.向量篇的夾角為120。，且向=1,忖=2,則戶叫等于.

【答案】小

rrrrj

【解析】Qa-b=\a\\b\cos120o=1x2x(--)=-1

rr\ja2-2^b+b2="12-2x(-1)+22=J7故答案為g.

??\a-b\=

12.以下說法正確的是_____.（填寫所有正確的序號）

rrrrrr

①若兩非零向量a,b，若。力>0,則a/的夾角為銳角;

rr

②若ar_Lb,則ar-B=0,反之也對;

③在AABC中，若a>b,則sinA>sinB,反之也對;

7171

④在銳角AABC中,若8=2A,則Ae

【答案】③④

rr「r

【解析】對于①，。與b同向時，若方力>0,夾角為0。，不是銳角，故①錯誤;

rrrrrr

對于②，若a=0時，則4力=0,a與b平行，故②錯誤；

對于③，由正弦定理得，a>b=2RsinA>2RsinBosinA>sinB,故③正確;

八兀

0<A<—

2

71,71.f7171

n可得不<從<『即叱七口》故④正確，

對于④，由JO<2A<E

K

0<7t-3A<—

2

故答案為③④.

13.若函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A(xy),B(xy),其中xyxy使得

I1//II//

Iqx,+p卜"x；+y；.Jx；+y；的最大值為0,則稱函數(shù)/(x)是“柯西函數(shù)”.給出下列函數(shù):

①/(x)=InX(0<x<3)；②/(x)=x+L(x>0)；

x

③/(x)=。后8；?/(X)=V2XT-8.

其中是“柯西函數(shù)''的為一.（填上所有正確答案的序號）

【答案】①④

4

IWZ\ULWz\UUBTlUTUUGTUUUUUBTUUU

設(shè)OA=（x,y=,yJ,由向量的數(shù)量積的可得|。4?。8WIOAIIOH,當(dāng)月.僅當(dāng)向量。AOB共線

I122

（O,A,B三點(diǎn)共線）時等號成立.故|xj,+yp,卜J52+y；,的最大值為0時，當(dāng)且僅當(dāng)。,4,B

三點(diǎn)共線時成立.

所以函數(shù)fQ）是“柯西函數(shù)''等價于函數(shù)7（X）的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A5,使得0,4,3三點(diǎn)共線.

對于①，函數(shù)/（%）=lnx（0<x<3）圖象上不存在滿足題意的點(diǎn)；

對于②，函數(shù)/G）=x+1（x>0）圖象上存在滿足題意的點(diǎn)；

X

對于③，函數(shù)/G）="2X2+8圖象上存在滿足題意的點(diǎn);

對于④，函數(shù)/（x）=,2x2-8圖象不存在滿足題意的點(diǎn).

故函數(shù)①④是“柯西函數(shù)

14.已知函數(shù)/（x）=e2x,則過原點(diǎn)且與曲線y=/（x）相切的直線方程為.

【答案】2ex-y=0

【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為Qex）,Q/（x）=e2x,.?.rG）=2e2.,,/'G）=2e2,,則曲線y=/（無）在點(diǎn)C,e2）

處的切線方程為=2e"（x-”,由于該直線過原點(diǎn)，則一e”=一2超2,,得?=；，因此，則過原點(diǎn)且

與曲線y=.fG）相切的直線方程為y=2ex,故答案為2ex-y=0.

15.函數(shù)/（x）=4+2ai（a>0且。力1）的圖象恒過定點(diǎn)P,則點(diǎn)p的坐標(biāo)是.

【答案】（L6）

【解析】令x-l=0,解得：x=l,此時戶4+2=6,故函數(shù)恒過定點(diǎn)（1,6）,

四、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（本小題14分）

如圖，直四棱柱A8CO%片GR的底面是菱形，AA=4,AB=2,NAW=60。，E,M,N分別是BC,BB1,

5

A。的中點(diǎn).

（1）證明：MN〃平面CQE；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）見解析；（2）可.

【解析】（1）連接ME,BC

QM,E分別為BB,BC中點(diǎn)為AB/C的中位線,用石〃4c且ME=!6C,又N為A。中

111211

點(diǎn)，且AD//8C:.ND//BCnND=、BC：?MEHND二四邊形MVQE為平行四邊形

1—1121—

:.MN//DE,又MN<Z平面qOE,?！辏?平面。］?！?；.加^7/平面￡?！辍?/p>

設(shè)由宜四棱柱性質(zhì)可知：平面四邊形為

（2）ACI80=0,qqcq?=q00rL48coQA8CO

菱形則以。為原點(diǎn)，可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：

6

則：AC/J,O,O),"(0,1,2),C/3,0,4),D(0,-1,0)N修一品取W"

k227

（/JJ

則/—，-50Q四邊形ABC。為菱形且/氏4。=60。二岫4。為等邊三角形,。/146又44］，平

7

面ABC。，。/u平面ABC。即。尸，平面AM4「.那為平

面AM。的一個法向量，且=^-,-,0設(shè)平面*N的法向量5=Q,y,z）,乂靖=（后-1,2）,

rrUUUOF

uuw(出3、〃.町=A-y+2z=0

MN=—,--,0；]「wJ33,令x=3則V=l,—1,：=Gr』,-i)

[22I〃.MN="X-3y=0

、7I22

uir「_

密rDFn3/,lurrJiQ

?.cos<DF.n>=y4uk=——=A-MA-N的正弦值為"

間向r依不一sin<DF,n>=---->?二面角

DF\-J5

17.（本小題14分）

已知｛。｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，?=2,?=2a+16.

MI32

（1）求｛4｝的通項(xiàng)公式；

n

（2）設(shè)b=log。，求數(shù)列出｝的前"項(xiàng)和.

n2nn

a

【答案】（I）（I）（2）S=〃2.

n=22，L1；n

【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列M｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a2a+16,a=2,所以令數(shù)列｛a｝的公比為

n321n

4,a=aq2=2qi,a二aq=2q,所以2家=4夕+16,解得4=一2（舍去）或4,所以數(shù)列｛&｝是首項(xiàng)

3121n

為2、公比為4的等比數(shù)列，a=2x4，i=22i.

n

⑵因?yàn)樨癟og。，所以6=2〃-1,人=2〃+1,6"=2,所以數(shù)列名｝是首項(xiàng)為i、公差為2的

n2nnZT+1n+1nn

_“（2〃-1+1）

等差數(shù)列，S——=

"2

18.（本小題14分）

2019年“非洲豬瘟”過后，全國生豬價格逐步上漲，某大型養(yǎng)豬企業(yè)，欲將達(dá)到養(yǎng)殖周期的生豬全部出售，

根據(jù)去年的銷售記錄，得到銷售生豬的重量的頻率分布直方圖（如圖所示）.

7

（1）根據(jù)去年生豬重量的頻率分布直方圖，估計今年生豬出欄（達(dá)到養(yǎng)殖周期）時，生豬重量達(dá)不到270

斤的概率（以頻率代替概率）;

（2）若假設(shè)該企業(yè)今年達(dá)到養(yǎng)殖周期的生豬出欄量為5000頭，生豬市場價格是8元/斤，試估計該企業(yè)本

養(yǎng)殖周期的銷售收入是多少萬元;

（3）若從本養(yǎng)殖周期的生豬中，任意選兩頭生豬，其重量達(dá)到270斤及以上的生豬數(shù)為隨機(jī)變量丫，試求

隨機(jī)變量丫的分布列及方差.

【答案】（1）0.25（2）1222.4萬元（3）見解析

【解析】⑴估計生豬重量達(dá)不到270斤的概率為（0Q005+0.002）x40+0.005x30=0.25.

（2）生豬重量的平均數(shù)為

180x0.02+220x0.08+260x0.2+300x0.32+340x0.24+380x0.1+420x0.04=305.6（斤）.

所以估計該企業(yè)本養(yǎng)殖周期的銷售收入是305.6x8x5000=1222.4（萬元）.

3

（3）Ltl（1）可得隨機(jī)選一頭生豬，其重量達(dá)到270斤及以上的概率為1-0.25=:

4

3

山題意可得隨機(jī)變量y的所有可能取值為°」，2,則丫~5（2,-）

1

p（r=0）=c。x

16

3

p（y=1）=。x

281

319

P（y=2）=C2X（_）2X（_）O=_,

.??隨機(jī)變量y的分布列為

Y012

139

P

16816

8

313

???隨機(jī)變量y的方差。(丫)=2x-x-=-.

448

19.(本小題15分)

已知函數(shù)F(%)=ae,x-lnx-\.

(1)設(shè)x=2是/G)的極值點(diǎn).求。，并求/(龍)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)時，.f(x)20.

e

1

【答案】(l)a=c；f(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+oo)單調(diào)遞增.(2)證明見解析.

2e2

【解析】(1)f(X)的定義域?yàn)?0，+8),f'(x)=aex--.由題設(shè)知，f'(2)=0,所以a=/一.

x2e2

111

從而f(x)=——er-hu-l,f'(x)=—er--.當(dāng)0<x<2時，f'(x)<0；當(dāng)x>2時，f'(x)>0.

2e22e2x

所以f(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2,+8)單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)aN-時，f(x)>——lax—1.設(shè)g(x)=--lax-1,則g*(%)=———.當(dāng)0<x<l時，g'(x)

eeeex

<0；當(dāng)x>l時，g，(x)>0.所以x=l是g(x)的最小值點(diǎn).故當(dāng)x>0時，g(x)Ng(1)=0.因此，當(dāng)

e

時，/(x)20.

20.(本小題14分)

在平面直角坐標(biāo)系中，晨一2,0),5(2,0),設(shè)直線AC、BC的斜率分別為勺、勺且勺應(yīng)=一：，

(1)求點(diǎn)c的軌跡E的方程；

(2)過作直線交軌跡E于M、N兩點(diǎn)，若的面積是△M4B面積的2倍，求直

線MN的方程.

【答案】(1)?+與=1(y*0)(2)x一半y+7I=0或x+半)+"=0

【解析】(1)由題意，設(shè)C(x，y),則女=T，心=々7,又由—=上7r=—(,整理得多?+￥?=：!,

Ix+22X-212X2—4242

由點(diǎn)A,B,C不共線，所以y#0,所以點(diǎn)C的軌跡方程為§+與

(2)設(shè)團(tuán)(\,5)，N(x,y\易知直線MN不與x軸重合，設(shè)直線=—聯(lián)立方程組

9

x=my-J2/、廠

<X2y2,整理得得0?2+2為2-2/加）>—2=0,易知A>。，且y+y=20〃？，

——+—=1?2m2+2

42

一2

yy=-------^<0由S“=2S，故|y|=2|yI，即y=-2y,從而

12m2+2VMAB\'NAB1"212

（y+y/~~4m2vv12J14

-」.？一=------=，+?+2=——，解得根2=即能=±y_,所以直線MN的方程為

yym2+2yy277

1221

x-^^-y+>]2=0或x++0=0.

21.（本小題14分）

對于正整數(shù)〃，如果左QeN*）個整數(shù)。，a,...,a<a<...<a<n,

12k12k

且。+Q+.??+a=n,則稱數(shù)組Q，％，…，。）為〃的一個“正整數(shù)分拆”.記。，巴，…，巴均為偶數(shù)的

12k12k12k

“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為了，。，氏，…，。均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個數(shù)為g.

n12kn

（I）寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”

（II）對于給定的整數(shù)〃（〃"），設(shè)（。，a,...,a）是"的一個“正整數(shù)分拆“，且。=2,求攵的最大值；

12kI

（ni）對所有的正整數(shù)〃，證明:/n&gn；并求出使得等號成立的〃的值.

（注:對于〃的兩個“正整數(shù)分拆"Q，。，…，巴）與G，b,b）,當(dāng)且僅當(dāng)攵=相且

12