《球地內(nèi)接與外接》

——球及球與多面體的接、切§9.10球⑶劉曉平球的相關(guān)概念1、球的定義以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體(簡(jiǎn)稱球)。半圓的圓心叫球心，半圓的半徑叫球半徑。2、球的截面用一個(gè)平面去截球，得到的截面是一個(gè)圓面，如果這個(gè)平面過(guò)球心，稱截面圓為球的大圓（它的半徑等于球半徑），其他的截面圓叫做小圓。O3、球的半徑R與截面圓半徑r的關(guān)系OO1PrRdOO1PrRd4球的體積5球的表面積例1：圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑.求證：（1）球的體積等于圓柱體積的（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.練習(xí)1：一個(gè)球的體積為1000π.求它的表面積(1)若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的2倍,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的

倍.體積變成原來(lái)的

倍；(2)若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的

倍.體積變成原來(lái)的

倍；(3)若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是

.半徑之比為

．(4)若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是

.半徑之比為

．練習(xí)2

影響球的表面積及體積的只有一個(gè)元素，就是球的半徑.練習(xí)3距離為1的兩個(gè)平行截一個(gè)球，所得兩個(gè)截面圓的半徑分別為2和3，求這個(gè)球的半徑、表面積和體積。OO1O2P1P2OO1O2P1P2OO1O2P1P223R1ABCDD1C1B1A1O與正方體有關(guān)的三個(gè)球外接球內(nèi)切球棱切球O外接球內(nèi)切球棱切球

球與多面體的接、切定義1：若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，

則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，

這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球。定義2：若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，

則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的外切多面體，

這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球。定義3：若一個(gè)多面體的各棱都與一個(gè)球的球面相切，

則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的棱切多面體，

這個(gè)球是這個(gè)多面體的棱切球。問題1：已知正方體的棱長(zhǎng)為a，分別求它的外接球、內(nèi)切球、棱切球的體積和面積。O外接球內(nèi)切球棱切球問題2.1）一個(gè)正四面體外切于一個(gè)球,過(guò)球心和一條棱作一個(gè)截面,則截面的可能圖形是().O.O.O.O.OB問題2.2)一個(gè)正四面體內(nèi)接于一個(gè)球,過(guò)球心和一條棱作一個(gè)截面,則截面的可能圖形是().O.O.O.O.O.OC解：設(shè)正四面體P-ABCD的棱長(zhǎng)為PA=a，外接球和內(nèi)切球的半徑分別為R和r，如右圖，連AO，則AO=R，OD=r，又：?jiǎn)栴}3：分別求正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑比、面積比和體積比。.O.OABCPDAPEDE

故兩球的半徑比為：3：1

面積比為：9：1

體積比為：27：11.已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是、、1，求長(zhǎng)方體的外接球的體積。練習(xí)1：2.已知球O的表面上有P、A、B、C四點(diǎn)，且PA、PB、PC兩兩互相垂直，若PA=PB=PC=a，求這個(gè)球的表面積和體積。沿對(duì)角面截得：ACBPO練2

半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體的一邊長(zhǎng)為，求半球的體積。沿對(duì)角面截得：1問題4：正三棱錐的高為1，底邊長(zhǎng)為。求棱錐的全面積和它的內(nèi)切球的表面積。過(guò)側(cè)棱AB與球心O作截面(如圖)在正三棱錐中，BE是正△BCD的高，O1

是正△BCD的中心，且AE為斜高解法1：O1ABEOCD作OF⊥AE于FF設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則OA=1－r∵Rt△AFO∽R(shí)t△AO1E

O1ABEO1θ在Rt△AO1E中在Rt△OO1E中解法二：?jiǎn)栴}4：正三棱錐的高為1，底邊長(zhǎng)為。求棱錐的全面積和它的內(nèi)切球的表面積。OABCD設(shè)球的半徑為r，則VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD解法三：?jiǎn)栴}4：正三棱錐的高為1，底邊長(zhǎng)為。求棱錐的全面積和它的內(nèi)切球的表面積。注意：①割補(bǔ)法，②練3

三棱錐A–BCD的兩條棱AB=CD=6，其余各棱長(zhǎng)均為5，求三棱錐的內(nèi)切球的半徑。OABCD655655E則α截球得大圓，截正四棱錐得△PAC，且△PAC內(nèi)接于圓O，如圖所示練習(xí)4、求棱長(zhǎng)為a

的正四棱錐的外接球的體積。PACO過(guò)正四棱錐的相對(duì)側(cè)棱作截面α∵PA=PC=a∴△PAC是等腰Rt△即AC為球的直徑PACBDO小結(jié)：1.長(zhǎng)方體的對(duì)角線是其外接球的直徑；要善于應(yīng)用該結(jié)論。3.求多面體的內(nèi)切球的半徑，可用割補(bǔ)法，半徑為小錐的高。2.正棱錐的外接球問題，常作過(guò)一條側(cè)棱及球心的截面。課后思考

1、自球面上一點(diǎn)P作球的兩兩垂直的三條弦PA，PB，PC，球的半徑為R，則PA2+PB2