.函數(shù)的單調(diào)性及其極值

一、函數(shù)單調(diào)性的充分條件第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性及其極值二、函數(shù)的極值及其求法

函數(shù)y=f(x)的圖象有時(shí)上升,有時(shí)下降.如何判斷函數(shù)的圖象在什么范圍內(nèi)是上升的,在什么范圍內(nèi)是下降的呢？一、函數(shù)單調(diào)性判別法函數(shù)單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)減少觀察結(jié)果

函數(shù)單調(diào)增加時(shí)導(dǎo)數(shù)大于零函數(shù)單調(diào)減少時(shí)導(dǎo)數(shù)小于零

觀察與思考

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有什么關(guān)系？定理1設(shè)函數(shù)

y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在

(a,b)

內(nèi)可導(dǎo)(1)若當(dāng)

x

(a,b)時(shí)，f(x)>0，

則

f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若當(dāng)

x(a,b)時(shí)，f(x)<0，

則

f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減.一、函數(shù)單調(diào)性的充分條件例：函數(shù)的單調(diào)性是（）在區(qū)間上都是單調(diào)增加的；在區(qū)間上都是單調(diào)減少的；在區(qū)間上單調(diào)增加，在區(qū)間上單調(diào)減少；在區(qū)間上單調(diào)減少，在區(qū)間上單調(diào)增加．

解：討論區(qū)間是

0定義1設(shè)函數(shù)

y=f(x)在

x0的一個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若對于該鄰域內(nèi)異于

x0的

x恒有(1)

f(x0)>f(x)，則稱

f(x0)

為函數(shù)

f(x)的極大值，x0稱為

f(x)的極大值點(diǎn)；(2)

f(x0)<f(x)，則稱

f(x0)

為函數(shù)

f(x)的極小值，x0稱為

f(x)的極小值點(diǎn)；函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).二、函數(shù)的極值及其求法顯然，在圖中，x1，x4為f(x)的極大值點(diǎn)，x2，x5為f(x)的極小值點(diǎn).y=f(x)yxOx1x2x3x4x5定理2(極值的必要條件)設(shè)函數(shù)

y=f

(x)在

x0處可導(dǎo)，且

f在點(diǎn)處取得極值，則f(x0)=0.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為駐點(diǎn).定理3定理4(1)當(dāng)f(x0)>0時(shí)，則x0為極請小值狂點(diǎn)，f(x0)為極小宿值；(2)當(dāng)f(x0)<0時(shí)，則x0為極馳大值格點(diǎn)，f(x0)為極大賠值.若f(x0)關(guān)=嶼0，且f(x0)0，設(shè)函裝數(shù)y=f(x)在x0鄰域情內(nèi)二載階導(dǎo)砍數(shù)存緣瑞在，例1解極大分值極小真值(3)因?yàn)槔ó?dāng)x(芝,-1)時(shí)，f(x)>0，x(1,撞1)時(shí)，f(x)藝<掙0，x(1,+)時(shí)f(x)燃>繪0，所以(,-1)和(1,)是f(x)的遞宿增區(qū)齒間，(-1,1)是f(x)的遞蚊減區(qū)哀間.為簡欣便直娛觀起杠見，笨我們勵通常易將上川述討低論歸搞納為怠如下雹的表咐格：x(,-1)(-1,1)

(1,)

f(x)-f(x)其中箭頭，分別分表示函數(shù)在指定區(qū)間遞增和遞減.例2解例3求函援?dāng)?shù)f(x)=桶(x-1)2(x-2)3的極值.解(1)定義睬域?yàn)?-,+).f(x)若=(x-1)(x-2)2(5x-7)佛.所以噸由f(x)胡=0可得f(x)的三掙個(gè)駐點(diǎn)：該函媽數(shù)在尖定義梳區(qū)間棄內(nèi)無忘不可紐奉導(dǎo)的泰點(diǎn)，上述均駐點(diǎn)腥將定拆義區(qū)貼間分沉為四輔個(gè)子折區(qū)間(2)當(dāng)x(-,味1)時(shí)，f(x)各>遵0；f(x)旺>燈0；當(dāng)x(2,+)時(shí)，f(x)雄>舞0.因此忙，由直定理3可知春，x細(xì)=1為極慕大值撤點(diǎn)，x=2不是爹極值塊點(diǎn)(因?yàn)轫撛趚=2的兩脹側(cè)f(x)同為聯(lián)正號).(3)計(jì)算辛極值極大蛋值f(1膜)=孟(1-1)2(1-2)3=現(xiàn)0，有時(shí)腳，可柱以將搏整個(gè)足解題狠過程葡以表講格形載式表近示：x(-,1)f(x)12(2,+

)+0-0+0+f(x)極大值0無極值例4求函料數(shù)f(x)=x4–10x2+5的極叢值.因?yàn)榻?1)定義形域?yàn)?-,+).f(x)寄=島4x3–20x炕=4