導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)混合構(gòu)造8大題型

導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)混合構(gòu)造8大題型

命題趨勢

導(dǎo)數(shù)中的構(gòu)造函數(shù)常在高考題中以選擇題或填空題的形式考查，難度較大。重點

考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想。構(gòu)造函數(shù)法是一種創(chuàng)造性思維的過程,

具有較大的靈活性和技巧性，但一直受出題老師的青睞。考生在訓(xùn)練過程中，要

有目的、有意識的進行構(gòu)造，始終"盯住"要解決的目標(biāo)。

滿分技巧

常見的導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)混合構(gòu)造類型

關(guān)系式為“加”型.構(gòu)造：

(1)/'(x)g(x)+/(x)g'(x)構(gòu)造"(x)g(x)]'=/'(x)g(x)+F(x)g'(x)

(2)xf\x)+f(x)>Q構(gòu)造W(x)I=4(x)+/(x)

(3)f'(x)+f(x)>0構(gòu)造=e*[f(x)+/(x)]

(4)#'(x)+nf(x)>O^[x"/a)]'=xnfXx)+nxn-'f(x)=xr-1[2*567xf'M+nf(x)](注

意x的符號)

(5)f'(x)+Af(x)構(gòu)造"(幻小了=((%)/+，。)"=心"'(幻+歹(尤)]

關(guān)系式為“減”型構(gòu)造：

(6)/'(x)g(x)—/(x)g'(x)構(gòu)造[零]=小陪罌應(yīng)儂

g(x)[g(x)]

(7)V(x)-/U)>0構(gòu)造[2]'=、二了⑴

XX

(8)f(x)-f(x)>0構(gòu)造[詈]?=」J

,、,，.X"f(.X)~nX"'f(X)XfXX)~nf(X),..

(9)4(x)-研(%)2。構(gòu)造[望]二—："—,=[(注意x的

符號)

(io)rw-W)構(gòu)造［詈］'=/(X)*-好⑴於/(X)-好(龍)

題型1構(gòu)造了8士索力題型5構(gòu)造/⑴/

題型2構(gòu)造X:/(A)題型6構(gòu)造

題型3構(gòu)造eV(-v)題型7構(gòu)造sinA\COSA\/(T)

題型4構(gòu)造題型8其他復(fù)雜構(gòu)造

【題型1構(gòu)造/(x)±g(x)型】

【例1】2023.陜西西安?統(tǒng)考一模)已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)〃x)滿足/⑴=3,

且“X)的導(dǎo)數(shù)_f(x)在R上恒有/(x)<2(xwR),則不等式〃x)<2x+l的解集為

A.。，+8)B.Si)C.(-1,1)D.(fo,—l)U(l,同

【變式1-11(2022秋?河北滄州?高三南皮縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中)已知定義在R

上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),若/'(x)<e]且的2)=e?+2,則不等式

〃lnx)>x+2的解集是()

A.(0,2)B.(O,e2)C.(e2,+oo)D.(2,+co)

【變式1-2](2023.遼寧?遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(x)為定義在

R上的偶函數(shù)，當(dāng)x?0，y)時，〃x)>2x,〃2)=4,則不等式￥(x-l)+2f>d+x

的解集為()

A.(—1,0)53,+8)B.(-1,1)1(3,4w)C.(9,T)(0,3)

D.(-1,3)

【變式1-3](2022秋?河南鄭州.高三?？茧A段練習(xí))定義在(。，+8)上的函數(shù)f(x)

滿足礦(x)+l>0，〃2)=ln；,貝懷等式f(e')+x>0的解集為()

A.(0,21n2)B.(0Jn2)C.(In2,l)D.(In2,+a>)

【題型2構(gòu)造型】

[例2](2022秋.江蘇揚州.高三?？茧A段練習(xí))函數(shù)“力是定義在區(qū)間(0,+司上

的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為了'⑺,且滿足廣(x)+：〃x)>0,則不等式

包迎券3〈潟的解集為()

A.{x|x>-2020)B.{x|x<-2020}C.{x|-2023<x<0)

D.{x|-2023<x<-2020)

【變式2-1](2023秋?江西高三校聯(lián)考期末)已知是定義在(Y，0)U(0,r)上

的奇函數(shù)，/'(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時,#，(x)+2/(x)>0.若奇2)=0,則

不等式%7(力>0的解集是()

A.(y0，-2)(0,2)B.2)u(2,+oo)

C.(-2,0)(2,田)D.(-2,0)50,2)

【變式2-2】(2022秋.內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高三統(tǒng)考期中)已知定義在(y,0)U(0,同

上的奇函數(shù)y=〃x)的導(dǎo)函數(shù)為y=/'(x)，當(dāng)x>0時N'(x)<-r(x)，且"2)=3,

則不等式討(2x+l)<6-〃2x+l)的解集為()

-卜器)

【變式2-3】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知奇函數(shù)〃力的定義域為R,導(dǎo)函數(shù)

為尸(X),若對任意xe[O,M),都有37(力+礦⑺>0恒成立，42)=2,則不等式

(x-1)3/(x-l)<16的解集是_________.

【題型3構(gòu)造/"(X)型】

【例3】(2023?全國?高三專題練習(xí))若/(刈在R上可導(dǎo)且"0)=0，其導(dǎo)函數(shù)/'(x)

滿足/(x)+/'(x)<0,則〃x)<0的解集是()

A.(-8,0)B.(7,1)C.(0,+8)D.R

【變式3-1](2022秋?江西南昌?高三南昌二中?？茧A段練習(xí))已知定義在R上的

偶函數(shù)/(x)滿足/。+2)-〃2-同=。,“2022)=,，若〃x)<r(T),則不等式

e

的解集為()

A.(-8,0)B.(f/)C.(1,+8)D.(3,+co)

【變式3-2】(2023?全國?高二專題練習(xí))已知函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),且

r(x)+2/(x)>0.若”3%(?)，匕=舟圖,$娉)，則()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.a>c>b

【變式3-3](2022春?河南?高二校聯(lián)考階段練習(xí))定義在R上的函數(shù)/(x)滿足

(

2/(x)+/(x)<0,則下列不等式一定成立的是()

A.e2/(2)</(3)B.e2/(2)>/(3)C./(2)<e2/(3)

D./(2)>e2/(3)

【題型4構(gòu)造lnx"(x)型】

【例4】(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)((x)是定義在R上的連續(xù)奇函數(shù)的

導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時,lnx-.f(x)<-l/(x),則使得y-2x)〃x)Z0成立的x的取值

范圍是().

A.(^?,0]o[2,+co)B.(y,2]C.[0,2]D.[2,網(wǎng)

【變式4-1】(2022秋.云南楚雄?高三統(tǒng)考期末)已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)

的定義域為(。，y)J'(x)是的導(dǎo)函數(shù)目金+ln『「(力>0，則()

A./^+/(e)>0B.《[<0C,/(e)<0DJ⑴=0

【變式4-2](2022.全國.高三專題練習(xí))已知我)是定(i0)(0,+8)的奇函數(shù)，

f'(x)是/(X)的導(dǎo)函數(shù),/OXO,且滿足：/(x)/nx+號<0,則不等式

的解集為()

A.(1*)B.S,T)(0,1)C.(5)D.(7,0)u。，一)

【變式4-3】(2022.全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)的定義域為(0,+電，導(dǎo)函

數(shù)為/'(x)，且滿足/(x)+V'(x)lnx>0，貝(]不等式/(x—2020)In(x—2020)40的解集

為()

A.(7o,2020)52021,m)B.(0,2021)C.(2020,2021]

D.(2021,2022]

【變式4-4】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)“X)的定義域是(0,+8),其導(dǎo)

函數(shù)是尸(x),且滿足?/(x)+；〃x)>0,則下列說法正確的是()

B」(J<。

A.C./(e)>0D./(e)<0

【題型5構(gòu)造型】

[例5](2023秋?貴州銅仁?高三統(tǒng)考期末)設(shè)函數(shù)/'(X)是奇函數(shù)/(x)(xeR)的導(dǎo)

函數(shù)，A-D=0，當(dāng)x>0時，#V)-/(x)>0,則使得/(x)>()成立的x的取值范

圍是()

A.(fT)50,DB.(-1,0)o(l,+oo)C.(-oo,-l)o(-l,0)

D.(O,1)5L”)

【變式5-1](2022春?四川綿陽?高二鹽亭中學(xué)校考階段練習(xí))已知定義在R上的

連續(xù)函數(shù)“X)，其導(dǎo)函數(shù)f3，當(dāng)"0時恒有才(x)T(x)<。成立設(shè)“=2/(￡|,

夜)，。=〃1)，則。，匕，，的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b

【變式5-2】(2023.全國?高二專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)是定義在(。，+向上的可導(dǎo)函

數(shù)，且礦(x)>2/(x),則不等式4/(x-2022)<(x-2022)2〃2)的解集為()

A.(2022,2023)B.(2022,2024)C.(2022*)D.(0,2023)

【變式5-3】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知定義域為｛x|xxO｝的偶函數(shù)/a),其

導(dǎo)函數(shù)為f(x),對任意正實數(shù)為滿足W)>2〃x)且/⑴=0，則不等式/。)<。的

解集是()

A.(-oo,l)B.(-1,1)C.(-oo,0)U(0,1)D.(-1,0)U

(0,1)

【題型6構(gòu)造/(x)/*型】

[例6](2022.四川綿陽.四川省綿陽南山中學(xué)?？级?已知定義在R上的可導(dǎo)

函數(shù)AM的導(dǎo)函數(shù)為廣⑴,滿足,且/(-x)"(2+x),/(2)=1,則

不等式〃x)<e'的解集為()

A.(f,2)B.(2,+oo)C.(1，心)D.(0,+8)

【變式6-1](2023秋?陜西漢中?高二統(tǒng)考期末)已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足

/(x)-/(x)>0,且有"2)=2,則〃x)>2ei的解集為()

A.(y,l)B.(―,2)C.(l,+°o)D.(2,+oo)

【變式6-2】(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)/'(x)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且

r(x)>3/(x)(xeR),f(J=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則不等式“11)<丁的解

集為()

A-H)B.段)C.(。啊D.停時

【變式6-3](2022秋?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí))(多選)已知定義在R上的函

數(shù)/")的導(dǎo)數(shù)為尸(x),對任意的'滿足r(x)-〃x)=e1則()

A.ef(l)</(2)B.e7(-l)</(2)C.ef(O)</(l)

D.ef(O)</(-l)

【變式6-4](2022秋?山西太原?高三?？计谥?已知定義在R上的函數(shù)滿足

〃x)=e"(-x),且/⑴=點/"。)是“X)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)xe[0,+oo)時,f\x)<^f(x),

則不等式加的解集為.

【題型7構(gòu)造sinx,cosx,/(x)型】

【例7】(2022秋河南商丘?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)“X),尸(x)是其導(dǎo)

函數(shù)，父(0微,1(x)cosx+/(x)sinx=lnx恒成立，貝[|()

兀5兀

A./+cosl<V3/(l)B.

12

c?研”情D.2/(臥陽嶺)

【變式7-1】(2023.全國.高三專題練習(xí))奇函數(shù)/(x)定義域為(-萬，0)5。，萬)，其

導(dǎo)函數(shù)是7'(x).當(dāng)0?！簇r，有尸(x)sinx-”x)cosx<0,則關(guān)于x的不等式

“》)<0/&卜底的解集為()

A.(］，兀)B.1耳一力(卜)

C.仔,。卜(?？诳?卜年0/(%)

7171

【變式7-2］(2023.全國?高三專題練習(xí))已知可導(dǎo)函數(shù)〃x)是定義在上的

2,2

奇函數(shù).當(dāng)可0切時，〃x)+r(x)tanx>0,則不等式

cosx./[x+5)+sinr/(-x)>0的解集為()

【變式7-312023.全國.高三專題練習(xí)舊知奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為/'CO且/(x)

上恒有密〈盤成立，則下列不等式成立的(

)

【題型8其他復(fù)雜構(gòu)造】

【例8X2022秋?山東德州?高三統(tǒng)考期末段函數(shù)/⑺在R上的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),

若r(x)>〃x)+l,/(x)+〃"x)=2,/(a)=5，則不等式.f(x)+2e，+l<0的解集為

()

A.(0,2)B,(3,5)C.(一8,0)D.(0,+少)

【變式8-1】(2022?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)〃x)的定義域為［0,+司,導(dǎo)函數(shù)為

((x)，若/'(x)〈智恒成立，則()

A./(2)>/(3)B.2/(1)>/(3)C./(5)>2/(2)

D.3/(5)>/(1)

【變式8-212022.全國?高三專題練習(xí))已知定義在R上的圖象連續(xù)的函數(shù)“X)的

導(dǎo)數(shù)是用x),/W+/(-2-x)=0,當(dāng)》<T時，(x+l)[.f(x)+(x+l)r(x)]<0,則不

等式才(x7)>〃0)的解集為()

A.(-U)B.(f-1)C.(1收)D.S，-1)"1,向

【變式8-3](2022春?廣東廣州,高二?？计谥?已知“A是定義在R上的奇函數(shù),

尸(力是“X)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>。時，r(A-)ln(2x)+^H>0,且>0,則不等

式(x-2)/(x)<0的解集是()

A.(F,0)U(0,2)B.(0,2)C.(2,+o))D.(Y,0)U(2,+8)

限時檢測

(建議用時：60分鐘)

1.(2022.全國.高三專題練習(xí))已知函數(shù)，⑺的定義域為(。，萬)，其導(dǎo)函數(shù)是

f(x).若/'(x)sinx-f(x)cosx>0恒成立，則關(guān)于x的不等式/⑶<2/(￡jsinx的解

集為()

2(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)在x>0上可導(dǎo)且滿足r(x)-/(x)>0,

則下列不等式一定成立的為()

A.〃2)>”)B./(3)<ef(2)C./(3)>e/(2)

D..”2)(爐⑶

3(2023.全國.高三專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/⑺滿足:礦(司+/(尤)>0,

且/⑴=2,則的解集為()

A.(0,+co)B.(ln2,y)C.(1,+<?)D,(0,1)

4.(2023.全國.高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=/(x-l)圖象關(guān)于點(1,0)對稱，且當(dāng)

》>0時，/'(x)sinx+/(x)cosx>0則下列說法正確的是()

5.(2023.海南省直轄縣級單位.統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知定義在火上的函數(shù)滿足

〃x)+r(x)>。,且有"3)=3,則〃x)>3e37的解集為()

A.(3,-KO)B.(1收)C.(r°，3)D.(f1)

6.(2022?浙江?高三專題練習(xí))已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為

3

尸(x)J(-1)=4,且3.f(x)+礦(x)>3,則不等式/(*)<1+5的解集為()

A.(-oo,-l)u(l,+a))B.(-1,0)(0,1)C.(0,1)D.(K+00)

7.(2023秋河北石家莊?高三校聯(lián)考期末)已知f(x)是定義在(y，0)U(0,+oo)上

的奇函數(shù)，/W是“X)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)*>0時，#'(x)+2/(x)>0若"2)=0,

則不等式x7(x)>0的解集是_______.

8.(2022秋?貴州?高三校聯(lián)考期末)已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(x)滿足

9-3>0,且/⑴=。，則不等式〃e')_3xe，>0的解集為()

A.(0,1)B.(1，物)C.(。，+8)D.

9.(2022春?廣東汕頭?高三汕頭市第一中學(xué)校考階段練習(xí))已知f'(x)是偶函數(shù)

f(x)(xwR)的導(dǎo)函數(shù),((1)=1.若xNO時,3/(X)+#X4>°，則使得不等式

(*-2022)34乂-2022)>1成立的I的取值范圍是()

A.(2()21,4w)B.(Y,2021)C.(2023,y)D.(—,2023)

10.(2022春?黑龍江綏化?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)定義在R上的函數(shù)“X)的圖象

是連續(xù)不斷的一條曲線，且/(f)+/(x)=f,當(dāng)x<0時，.l(x)<x,則不等式

〃x)+gz〃l-x)+x的解集為()

A-[4'0B.\，+8)C.[2,；)D.1成

11.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知〃x)是定義在R上的偶函數(shù)，((x)是〃x)

的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)60時，r(x)-2x>0,且川)=3,則〃x)>f+2的解集是()

A.(-l,0)u(l,^o)B.(田,-1)51,物)C.(-l,O)U(O,l)

D.S，-1)50,1)

12.(2023.全國高三專題練習(xí))已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),/(2)=0,

當(dāng)x>0時，有礦(力-/(力>。成立，則不等式于(x)>。的解集是()

A.00,12)7(2,+8)B.(―2,0)<J(2,+8)C.0°,—2)°(0,2)

D.(2,+oo)

13.(2022秋?江蘇淮安?高三?？奸_學(xué)考試)已知/'⑶是函數(shù)〃x)的導(dǎo)數(shù)，且

/(r)"(x),當(dāng)北0時J(x)>3x，則不等式/(x)-/(x-l)<3x-］的解集是()

A.(-；,0)B.(f-g)C.(；，+8)D.y,g)

14.(2023?全國.高三專題練習(xí))設(shè)奇函數(shù)/(X)的定義域為「泉?,且JU)的圖象

是連續(xù)不間斷，公卜判，有尸(x)cosKx)sinx<。，若/⑺cos/f),則r

的取值范圍是().

/'W,當(dāng)。<*<5時，有尸(x)cosx+/(x)sinx<0成立，則關(guān)于工的不等式

f(x)〈何圖.cosx的解集為()

A.日

D.卜利卜

16.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/*)滿足

/W-/(-x)-6x+2sinx=0,且x..O時，f(x)..3-cosx上恒成立，則不等式

.?卡-1q+6》+信。$1+￡|的解集為()

A?G+叼B(yǎng).|j，+刃C.Q,+刃D.|j，+力

17.(2023?全國高三專題練習(xí))已知“X)是定義在(-00，。)一(0,行)上的奇函數(shù),

/(X)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，/⑴*0,且滿足:尸(x”nx+與<0,則不等式(x-l)/x)<0

的解集為()

A.(1,”)B.y,-1)口(0,1)C.(p，l)D.(-oo,0)u(l,-FOO)

18.(2022?全國?高三專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/⑴滿足/(2+X)=〃27),

且當(dāng)x>2時，有.礦’(力+〃力>2人力,奇⑴=1,則不等式的解集是

X—2.

()

A.(2,3)B.(R[)C.(l,2)u(2,3)D.(-<o,l)u(3,+oo)

19(2023?全國.高三專題練習(xí))已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x)J'(x)+/(x)<3,

"0)=3,貝〃(x)>3的解集為.

20(2023?全國高三專題練習(xí))已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x)，且對任意xeR,

/V)-/W<0,若."2)=e2,巾)<8,則，的取值范圍是__________.

參考答案

【題型1構(gòu)造/(x)±g(x)型】

【例112023.陜西西安?統(tǒng)考一模)已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)“X)滿足川)=3,

且“X)的導(dǎo)數(shù)尸⑴在R上恒有T(x)<2(xwR),則不等式〃x)<2x+l的解集為

A.(1，+8)B.(p，T)C.(-1,1)D.(—,—l)U(l,y)

【答案】A

【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-(2x+D,則g'(x)=f(x)-2<0,

所以函數(shù)g(x)在定義域R上為減函數(shù)，且g6=〃l)-(2+l)=。,

所以g(x)<。的解集為(1，叱)，即/(x"2x+l的解集為(1,收),選A.

【變式M](2022秋?河北滄州?高三南皮縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中)已知定義在R

上的函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為尸⑺,若r(x)<e]且〃2)=e2+2,則不等式

〃lnx)>x+2的解集是()

A.(0,2)B,(0,e2)C,(e2,+oo)D.(2,+oo)

【答案】B

【解析】設(shè)g(x)="x)—n+2,則g'(x)"'(x)-e,,

因為r(x)<e1所以r(x)-e'<0,即，(x)<0,

所以g(x)在R上單調(diào)遞減.

不等式〃lnx)>x+2等價于不等式〃lnx)-x+2>4,

即g(lnx)>4.因為〃2)=5+2,

所以8出=〃2)七+2=4,

所以g(lnx)>g(2).因為g(x)在R上單調(diào)遞減，

所以lnx<2,解得0<x<e2.故選:B

【變式1-2](2023.遼寧?遼寧實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)/(x)為定義在

R上的偶函數(shù)，當(dāng)xe(0,+co)時，<f(x)>2xJ(2)=4，則不等式#(犬-1)+2/+x

的解集為()

A.(TO)5,+8)B.(-1,1)1(3,+00)C.(0,3)

D.(-1,3)

【答案】A

【解析】因為/'(x)>2x,所以八x)-2x>0,

構(gòu)造函數(shù)尸。)=/(尤)一一,當(dāng)xw(0,+a))時，F(xiàn)(x)=f(x)-2x>0,

所以函數(shù)尸(無)在區(qū)間(。，內(nèi))內(nèi)單調(diào)遞增，且尸⑵=。，

又了⑶是定義在R上的偶函數(shù)，所以尸⑺是定義在R上的偶函數(shù)，

所以尸3在區(qū)間(口，())內(nèi)單調(diào)遞減，且/(-2)=0.

不等式VXx-l)+2x2AX^+X整理可得：xf{x-\)+2x2-xy-x>0,即

4/(X-1)-(X-1)2]>0,

當(dāng)x>0時，/(x-D-(x-l)2>0,則x-l>2,解得x>3；

當(dāng)x<0時,f(x-l)-(x-l)2<0，則-2<xT<0，解得—lc<l,

又x<。,所以T<x<。.

綜上，不等式#(x-l)+2Y>x3+x的解集為(T,O)53,+8).故選：A.

【變式1-3】(2022秋.河南鄭州.高三?？茧A段練習(xí))定義在(。，+8)上的函數(shù)F3

滿足")+>0，〃2)=lng,則不等式/(e、)+x>0的解集為()

A.(0,21n2)B.(0,ln2)C.(In2,1)D.(In2,+oo)

【答案】D

【解析】令g(x)=/(x)+lnx,(x>0),

則g8)=f'(x)+L電久聞,由于4'(x)+l>0,

XX

故g'(x)>0,故g(X)在(0，+8)單調(diào)遞增,

而g⑵=/(2)+ln2=ln；+ln2=0,

由f(e*)+x>0，得g(e*)>g(2),/.er>2,即x>ln2,

不等式/(e，)+x>0的解集為(ln2,+s).故選：D.

【題型2構(gòu)造x"/(x)型】

[例2](2022秋?江蘇揚州?高三校考階段練習(xí))函數(shù)/(”是定義在區(qū)間(。，+8)上

0

的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為了'(X),且滿足((x)+，(x)>0,則不等式

3^〈潟的解集為(

)

A.{中>-2020}B.{x|x<-2020}C.{x|-2023<x<0}

D.{x|-2023<x<-2020}

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，設(shè)g(x)=x2〃x),x>0,則導(dǎo)函數(shù)g")="(x)+2#(x),

函數(shù)〃X)在區(qū)間(o,+8)上，滿足r(x)+：〃x)>0,則有

X2/(X)+2V(X)>0,

所以g'(x)>0,即函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+")上為增函數(shù)，

3"㈣〈潑="。23)仙+2。23)<3%3),

所以g(x+2023)<g(3),則有0<x+2023<3,解得-2023cx<-2020,

即此不等式的解集為｛止2023Vx<-2020｝，故選：D.

【變式2-1](2023秋?江西?高三校聯(lián)考期末)已知“X)是定義在(y，0)U(0,M)上

的奇函數(shù)，/'(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時,#，(x)+2/(x)>0.若奇2)=0,則

不等式%7(力>0的解集是()

A.2)(0,2)B.(f—2)u(2,+e)

C.(-2,0)(2,田)D.(-2,0)50,2)

【答案】B

【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2〃X)，其中XH0，則g(T)=(T)2〃T)=T"(X)=-g(X),

所以，函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，且g⑵=。，g(-2)=_g⑵=0,

當(dāng)x>0時，5(力=//(耳+2蟲》)=》[才(耳+2/(切>0,

所以，函數(shù)g(x)在(0，+8)上為增函數(shù),

因為函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)在(y,o)上為增函數(shù)，

由x7(x)=尤.g(x)>o可知，當(dāng)x<0時，g(x)<0=g(-2),可得x<-2；

當(dāng)x>0時，g(x)>0=g⑵，可得x>2.

綜上所述，不等式小(力>0的解集為(e,-2)52,+8).故選：B.

【變式2-2】(2022秋.內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高三統(tǒng)考期中)已知定義在(』0)U(0,問

上的奇函數(shù)y"(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=f'(x)，當(dāng)x>0時，靖(x)<-f(x)，且"2)=3,

則不等式2^(2x+l)<6-〃2x+l)的解集為()

【答案】C

【解析】由題意可知，當(dāng)x>0時,礦(x)+〃x)<0,

構(gòu)造函數(shù)g(x)=4(x),其中(-00,0)5。,yo),

則8(-司=川(-何=4(力=8(力,所以,函數(shù)g(x)為偶函數(shù),

且當(dāng)x>0時，g'(力")+〃力<0,所以，函數(shù)g(x)在(0,+向上單調(diào)

遞減，

因為g⑵=2/(2)=6,

由2?(2x+l)<6-〃2x+l)可得(2x+l)/(2x+l)<6,即g(2x+l)<6,

所以，g(|2x+l|)<6=g(2),故|2x+l|>2,

31

即2x+l<-2或2x+l>2,解得x<-]或x>5.故選:C.

【變式2-3】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知奇函數(shù)“力的定義域為R,導(dǎo)函數(shù)

為尸(x),若對任意XW[0,M),都有3/(力+0”(力>0恒成立，/⑵=2,則不等式

(x-1)<16的解集是_________.

【答案】(T3)

【解析】設(shè)g(x)=xV(x),xeR,“X)為奇函數(shù)，

，g(-x)=(-x)=xV(x)=g(x)，即g(x)是偶函數(shù)，有g(shù)(x)=g(-x)=g(|x|),

???Vxw[O,y),3〃小礦(x)>0鼬立，

故xe[0,+oo)時，^f(x)=3x2/(x)+x3f,(x)=x2(3f(x)+xf'(x))>0,

二函數(shù)g(x)在[。，+8)上為增函數(shù),

?.?42)=2,.-.^(2)^(-2)=16,(犬-1)3〃8-1)<16等價于g(x-l)<16=g⑵,

g(xT)=g(|xT|)〈g⑵,且函數(shù)g(x)在口的)上為增函數(shù),

"-卜2,解得-1<x<3.

故答案為：(T3)

【題型3構(gòu)造型】

【例3】(2023?全國?高三專題練習(xí))若〃》)在R上可導(dǎo)且"0)=0，其導(dǎo)函數(shù)f'(x)

滿足/(x)+r(x)<0,則〃x)<0的解集是()

A.(-8,0)B.(-oo.l)C.(0,+8)D.R

【答案】C

【解析】設(shè)g(x)=e"(x),則g，(x)=e"(x)+e"，(止e'(〃x)+r(x)),

因為/(x)+/'(x)<0,所以g'(x)<0在R上恒成立，所以g(x)單調(diào)遞減,

又"0)=0得g⑼=。,由〃x)<0狙介于g(x)<0,

所以x>0,即/(司<0的解集是(。，+8).故選：C.

【變式3-11(2022秋?江西南昌?高三南昌二中校考階段練習(xí))已知定義在R上的

偶函數(shù)/(x)滿足/(x+2)-42-x)=0,/(2022)=i,若〃“</(一),則不等式

〃x+l)>乙的解集為()

e

A.(y,O)B.(fl)C.(L+°°)D.(3,-H?)

【答案】B

【解析】“X)是定義在R上的偶函數(shù)，.?J(X)=〃T),

則r(x)=-r(-x),即/a)是奇函數(shù)，

由f(x)<r(-x)T(x),可得〃幻+r(力<0,

構(gòu)造g(x)=e"(x),則g，(x)=e'[/(x)+r(x)]<0,所以函數(shù)g(x)單調(diào)遞

減，

/(x-2)=/(2-x),.-./(x)=/(-x+4)=/(-x),即/*)的周期為4,

則/⑵=62022)=),即eV(2022)=e2/(2)=e=g(2);

e

不等式/(x+l)>《可化簡為e""(x+l)>e,即g(x+l)>g(2),

e

所以x+l<2,解得x<l.故選：B

【變式3-2】(2023?全國?高二專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為廣(x),且

2

r(x)+2〃x)>0.若〃)

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.a>c>b

【答案】B

【解析】設(shè)g(x)=d"(x)，則/(x)=e2，(2〃x)+_f(x)),

因為尸(x)+2〃x)>0恒成立，所以g'(x)>。，所以g(x)在(f+8)單調(diào)遞

增，

設(shè)力(x)=￥(x>。)，貝!,

XX

當(dāng)0<x<e時，/?x)>0,網(wǎng)力單調(diào)遞增,

當(dāng)x>e時，h'(x)<0,力⑴單調(diào)遞減，

所以畸)>〃㈤“(4),即平>則>竽=9,

37T42

(In(ln2^__一

mI,即。>8>c.故選：B

【變式3-3](2022春河南?高二校聯(lián)考階段練習(xí))定義在R上的函數(shù)/⑺滿足

2/(x)+/(x)<0,則下列不等式一定成立的是()

A.e2/(2)</(3)B.e2/(2)>/(3)C./(2)<e2/(3)

D./(2)>e2/(3)

【答案】D

【解析】令g(x)=e2'/(x),則g，(x)=2e2、〃x)+e2"，(x)=e212f(x)+r(x)],

因為/，>0,2/(x)+.f(x)<0,所以g")<0,所以函數(shù)g(為為減函數(shù),

所以8⑵乂⑶,gpeV(2)>e6/(3),所以了⑵>e?“3).故選：D.

【題型4構(gòu)造lnx/(x)型】

【例4】(2023?全國.高三專題練習(xí))設(shè)尸(力是定義在R上的連續(xù)奇函數(shù)/(力的

導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)了>。時，lnr/，(x)<-：/(力,則使得(xJ2x)〃x”0成立的x的取值

范圍是().

A.(―⑼小-)B.S，2]C.[0,2]D.[2收)

【答案】B

【解析】令g(x)=lnx-〃x),(x>。).

則g'(x)=lnx-r(x)+J/(x)<0,所以g(x)在(0,+e)上單調(diào)遞減.

又g(l)=。,所以當(dāng)'eg)時，g(x)>。,而lnx<0,所以/(x)<0；

所以當(dāng)時，g(x)<0,而Inx>0,所以/(x)<0.

在lnxr(x)<-9(x)中，令戶1可得：/(1)<0.

所以當(dāng)xe(O,M)時都要〃x)<0

又/(x)是定義在R上的連續(xù)奇函數(shù)，所以/⑼=。，當(dāng)X?YO,0)時,

/(x)>0.

所以任-2”(小。可化為：｛/鼠0或、=°或仁黑0，

解得：0<x?2或x=0或x<0.

綜上所述：.故選：B

【變式4-1】(2022秋.云南楚雄.高三統(tǒng)考期末)已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)

的定義域為(0,+8)J'(x)是“X)的導(dǎo)函數(shù)目與+lnrr(x)>0，則()

A./^]+/(e)>0B..也)<0C./(e)<0DJ(l)=0

【答案】A

【解析】令函數(shù)g(x)=lnx./(x),貝必，(力=W+lnx/(x)>0,

g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增又g(l)=0,

所以g(e)=〃e)>0,=，即/(j>。，”1)的大小不確定.

故選:A.

【變式4-2】(2022.全國?高三專題練習(xí))已知，(X)是定y,0)(0,+8)的奇函數(shù)，

/(X)是"X)的導(dǎo)函數(shù),/(1)<0,且滿足：「(x*nx+—<0,則不等式

(x-l)./(x)<0的解集為()

A.。,"0)B.S,T)(04)C.(-0°J)D.(-<?,0)u(l,+oo)

【答案】D

【解析】令g(x)=/5/(x),貝[jg'(x)=5/(x)+ta>r(x)<°,

故函數(shù)g(X)單調(diào)遞減，定義域為(。，+◎,

g(I)=0,時，gM>0；1<X時,g(x)<0.

Q0<x<l時，bix<。；x>l時，/nr>0.

.?.當(dāng)x>0,時，f(x)<o，又/(1)<0.

，當(dāng)x>0,/(x)<0,又/(x)為奇函數(shù)，，當(dāng)x<0,f(x)>0.

fx>1fx<1

不等式(x-l).f(x)<o衡介于j〃x)<0或1〃力>0解得X>1或者x<。

故答案為：D.

【變式4-3】(2022.全國.高三專題練習(xí))已知函數(shù)“X)的定義域為(。,+"),導(dǎo)函

數(shù)為了'(X)，且滿足/(x)+4'(x)lnx>0，貝U不等式/(x—2020)ln(x—2020)W0的解集

為()

A.(TO,2020)u(202l,4w)B.(0,2021)C,(2020,2021]

D.(2021,2022]

【答案】c

【解析】根據(jù)〃x)+獷'(x)lnx>0,x>0得q+f，(x)inx>0.

設(shè)戶(x)=/(x)lnx(x>0),則F，(x)=4^+f(x)lnx>0,

則函數(shù)*X)在(O，+8)上單調(diào)遞增，且尸(1)=0,

則不等式/(x-2020)ln(x-2020)40,可化為尸(x-2020)/⑴,

mlfx-2020>0——

貝U丫，解得2020<x<2021.故選：C?

IA—ZAJZA)冬1

【變式4-4】(2023?全國