河南省信陽(yáng)市禹州第一高級(jí)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

河南省信陽(yáng)市禹州第一高級(jí)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田.這n塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為x1，x2，L，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是(

)A、x1，x2，L，xn的平均數(shù)

B、x1，x2，L，xn的標(biāo)準(zhǔn)差

C、x1，x2，L，xn的最大值

D、x1，x2，L，xn的中位數(shù)參考答案：D2.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，正視圖和側(cè)視圖都是等邊三角形，且該幾何體的四個(gè)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)，則第五個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)可能為

A．（1，1，1）

B．

C．

D．參考答案：C略3.已知向量、的夾角為，且，，則向量與向量＋2的夾角等于（

）

A．150°

B．90°

C．60° D．30°參考答案：D略4.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公比（

）A．－1

B．1

C．－2

D．2參考答案：A5.復(fù)數(shù)為的共軛復(fù)數(shù)，則A．

B．

C．

D．參考答案：C6.若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線上，則角α的取值集合是（

）A．

B．C．

D．參考答案：D終邊落在直線上的角的取值集合為 或者.故選D.

7.隨機(jī)地從中任取兩個(gè)數(shù)，則事件“”發(fā)生的概率為

.參考答案：略8.已知是實(shí)數(shù)，則“”是“”的A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件C．充要條件

D．既不充分又不必要條件 參考答案：D9.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：B10.已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若a=1，b=，A+C=2B，則sinC=

參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．參考答案：672【分析】先由微積分基本定理求出，再由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋凰缘恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，令，則，所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查微積分基本定理和二項(xiàng)式定理，熟記公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.12.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，，則△ABC的面積是__________．參考答案：【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)得，進(jìn)而得到，再由余弦定理得到關(guān)于的方程，求得的值，進(jìn)而利用面積公式，即可求解．【詳解】由題意，可知，由正弦定理得，即，又由在中，,則，即，又由，則，所以，由余弦定理得，即，整理得，解得，所以的面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，其中解答中熟記三角恒等變換的公式，以及合理應(yīng)用正弦定理、余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算、求解能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.13.設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是(

)

A、

B、C、

D、參考答案：C14.表面積為的球面上有四點(diǎn)且是等邊三角形，球心到平面的距離為，若平面平面,則棱錐體積的最大值為

.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】棱錐的體積G727由題意畫出幾何體的圖形如圖：因?yàn)榍虻谋砻娣e為，，所以球半徑為，由于面SAB⊥面ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影D落在AB上，由于OO′⊥平面ABC，SD⊥平面ABC，即有OO′∥SD，

當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，SD最大，棱錐S-ABC的體積最大．

由于則，則△ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形，

則的面積為：.在直角梯形SDO′O中，作于點(diǎn)E，,,,即有三棱錐S-ABC體積,故答案為27.【思路點(diǎn)撥】由于面SAB⊥面ABC，所以點(diǎn)S在平面ABC上的射影D落在AB上，D為AB中點(diǎn)時(shí)，SD最大，棱錐S-ABC的體積最大．運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，即可求得CD，AB，及SD，由三棱錐的體積公式即可得到最大值．【題文】三．解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.已知函數(shù)，若直線對(duì)任意的都不是曲線的切線，則的取值范圍為_(kāi)______。參考答案：a＜略16.已知=3，，則= ．參考答案：考點(diǎn)：極限及其運(yùn)算．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則即可得出．解答： 解：∵=3，，則===．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列極限的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．17.如圖，已知，，，則圓的半徑OC的長(zhǎng)為．參考答案：取BD的中點(diǎn)，連結(jié)OM，則,因?yàn)?，所以，所以，所以半徑，即。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓C：=1（a＞0，b＞0），短軸長(zhǎng)為2，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)P（1，0）的任一直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)（長(zhǎng)軸端點(diǎn)除外），證明：存在一定點(diǎn)Q（x0，0），使為定值，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題．分析：（Ⅰ）由題意得b=1，，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（Ⅱ）由題意設(shè)直線l：x=ty+1，將其代入橢圓，得（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由此利用韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件能證明存在一定點(diǎn)Q（x0，0），使為定值，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．解答： （本題滿分15分）解：（Ⅰ）由題意得b=1，又，即，∴，即，∴a2=4，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（Ⅱ）由題意設(shè)直線l：x=ty+1，將其代入橢圓，消去x化簡(jiǎn)得（t2+4）y2+2ty﹣3=0，由韋達(dá)定理，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，∴====，∵對(duì)過(guò)點(diǎn)P的任意直線，使為定值，∴只要，解得，此時(shí)=，定點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與證明，并考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．19.(本小題滿分分)設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,是拋物線上的一定點(diǎn).(1)已知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn),且與的對(duì)稱軸垂直,與交于兩點(diǎn),為的準(zhǔn)線上一點(diǎn),若的面積為,求的值;(2)過(guò)點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線,,與拋物線的交點(diǎn)分別為.若直線,的斜率都存在,證明:直線的斜率等于拋物線在點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)處的切線的斜率.參考答案：解:(1)由題設(shè),設(shè)則

…………1分

.

…………2分由的面積為,得:,得:…………4分(2)由題意

…………5分首先求拋物線在點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)處的切線的斜率.解法一：設(shè)拋物線在處的切線的斜率為,則其方程為

…………6分聯(lián)立

得將代入上式得:

…………7分

…………8分即

ks5u即得

即拋物線在點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)處的切線的斜率為…………9分解法二：由得，

…………6分

…………7分拋物線在點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)處的切線的斜率為

…………9分再求直線的斜率.解法一:設(shè)直線的斜率為,則由題意直線的斜率為.

…………10分直線的的方程為,則直線的的方程為.聯(lián)立得…………(1)

…………11分方程(1)有兩個(gè)根,,即,同理可得

…………12分直線的斜率.…………13分直線的斜率等于拋物線在點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)處的切線的斜率.

…………14分解法二:

………10分

…………11分將分別代入上式得:,整理得.

…………12分直線的斜率.…………13分直線的斜率等于拋物線在點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)處的切線的斜率.

………14分20.某保險(xiǎn)公司對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金，保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為A，B，C三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000，6000，2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計(jì)賠付概率）：

工種類別ABC賠付頻率

已知A，B，C三類工種職工每人每年保費(fèi)分別為25元、25元、40元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元、100萬(wàn)元、50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年10萬(wàn)元.（Ⅰ）求保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所或利潤(rùn)的期望值；（Ⅱ）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇：方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠償付給意外職工，企業(yè)開(kāi)展這項(xiàng)工作的固定支出為每年12萬(wàn)元；方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的70%，職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的30%，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，企業(yè)無(wú)額外專項(xiàng)開(kāi)支.請(qǐng)根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)工種A、B、C職工的每份保單保險(xiǎn)公司的收益為隨機(jī)變量X、Y、Z，則X、Y、Z的分布列為X25PY25P

Z40P保險(xiǎn)公司的期望收益為；；；保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)的期望值為，保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤(rùn)的期望值為9萬(wàn)元．（Ⅱ）方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，則企業(yè)每年安全支出與固定開(kāi)支共為：，方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，則企業(yè)支出保險(xiǎn)金額為：，，故建議企業(yè)選擇方案2．

21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)。（Ⅰ）當(dāng)=2時(shí)，求的極值；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：22.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓D上．（1）求橢圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)y軸上一點(diǎn)E（0，t）且斜率為k的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線OA，OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為kOA，kOB，若對(duì)任意實(shí)數(shù)k，存在λ∈[2，4]，使得kOA+kOB=λk，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．參考答案：（1）；（2）【分析】（