2024屆廣西桂林陽朔中學數(shù)學高三上期末經(jīng)典試題含解析

2024屆廣西桂林陽朔中學數(shù)學高三上期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，為邊上的中點，且，則（）A． B． C． D．2．設(shè)a,b∈(0,1)∪(1,+∞)，則"a=b"是"logA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知與之間的一組數(shù)據(jù)：12343.24.87.5若關(guān)于的線性回歸方程為，則的值為（）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.54．函數(shù)，，則“的圖象關(guān)于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢”的長寬比為.在東方文化中通常稱這個比例為“白銀比例”，該比例在設(shè)計和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺和第二展望臺，塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺到塔底的高度之比，第二展望臺到塔底的高度與第一展望臺到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”，若兩展望臺間高度差為100米，則下列選項中與該塔的實際高度最接近的是（）A．400米 B．480米C．520米 D．600米6．已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．7．在直角梯形中，，，，，點為上一點，且，當?shù)闹底畲髸r，()A． B．2 C． D．8．已知分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，若，則雙曲線的離心率為（）A． B．4 C．2 D．9．3本不同的語文書，2本不同的數(shù)學書，從中任意取出2本，取出的書恰好都是數(shù)學書的概率是（）A． B． C． D．10．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線與軸交于點，線段與交于點.若，則的方程為（）A． B． C． D．11．某學校組織學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為，若低于60分的人數(shù)是18人，則該班的學生人數(shù)是（）A．45 B．50 C．55 D．6012．已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個向量，它的長度，若，，則（）A． B．C．6 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列遞增的等比數(shù)列，若，，則______.14．數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，滿足，，且.若任意，成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.15．設(shè)為橢圓在第一象限上的點，則的最小值為________.16．平面向量與的夾角為，，，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，滿足.有三個條件：①；②；③.其中三個條件中僅有兩個正確，請選出正確的條件完成下面兩個問題：（1）求；（2）設(shè)為邊上一點，且，求的面積.18．（12分）某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時間，對每個工人組裝一個該產(chǎn)品的用時作了記錄，得到大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)．從這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)中隨機抽取了個數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘）．若用時不超過（分鐘），則稱這個工人為優(yōu)秀員工．（1）求這個樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；（2）以這個樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率，任意調(diào)查名工人，求被調(diào)查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量分布列和數(shù)學期望．19．（12分）我國在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST）是目前世界上最大單口徑射電望遠鏡.使用三年來，已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星，脈沖星是上世紀60年代天文學的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星，每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間（脈沖星的自轉(zhuǎn)周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.765735秒.某-天文研究機構(gòu)觀測并統(tǒng)計了93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉(zhuǎn)周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.（1）在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆？（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值.20．（12分）在平面四邊形(圖①)中，與均為直角三角形且有公共斜邊，設(shè)，∠，∠，將沿折起，構(gòu)成如圖②所示的三棱錐，且使=.（1）求證：平面⊥平面；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中，參考的文科生與理科生人數(shù)之比為，且成績分布在的范圍內(nèi)，規(guī)定分數(shù)在50以上（含50）的作文被評為“優(yōu)秀作文”，按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本，得到成績的頻率分布直方圖，如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.（1）求的值；（2）填寫下面列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.01的情況下認為“獲得優(yōu)秀作文”與“學生的文理科”有關(guān)？文科生理科生合計獲獎6不獲獎合計400（3）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)從全市參考學生中，任意抽取2名學生，記“獲得優(yōu)秀作文”的學生人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）已知實數(shù)x，y，z滿足，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由為邊上的中點，表示出，然后用向量模的計算公式求模.【詳解】解：為邊上的中點，，故選：A【點睛】在三角形中，考查中點向量公式和向量模的求法，是基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)題意得到充分性，驗證a=2,b=1【詳解】a,b∈0,1∪1,+∞，當"a=b當logab=log故選：A.【點睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學生的計算能力和推斷能力.3、D【解析】

利用表格中的數(shù)據(jù)，可求解得到代入回歸方程，可得，再結(jié)合表格數(shù)據(jù)，即得解.【詳解】利用表格中數(shù)據(jù)，可得又，．解得故選：D【點睛】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的性質(zhì)，考查了學生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】設(shè)，若函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.所以，“是奇函數(shù)”“的圖象關(guān)于軸對稱”；若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.所以，“的圖象關(guān)于軸對稱”“是奇函數(shù)”.因此，“的圖象關(guān)于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.5、B【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系，結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺和第二展望臺的距離，進而由比例即可求得該塔的實際高度.【詳解】設(shè)第一展望臺到塔底的高度為米，塔的實際高度為米，幾何關(guān)系如下圖所示：由題意可得，解得；且滿足，故解得塔高米，即塔高約為480米.故選：B【點睛】本題考查了對中國文化的理解與簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.【詳解】在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識，考查了學生的運算求解能力.7、B【解析】

由題，可求出，所以，根據(jù)共線定理，設(shè)，利用向量三角形法則求出，結(jié)合題給，得出，進而得出，最后利用二次函數(shù)求出的最大值，即可求出.【詳解】由題意，直角梯形中，，，，，可求得，所以·∵點在線段上，設(shè)，則，即，又因為所以，所以，當時，等號成立.所以.故選：B.【點睛】本題考查平面向量線性運算中的加法運算、向量共線定理，以及運用二次函數(shù)求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.8、A【解析】

由已知得，，由已知比值得，再利用雙曲線的定義可用表示出，，用勾股定理得出的等式，從而得離心率．【詳解】.又，可令，則.設(shè)，得，即，解得，∴,,由得，，，該雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系，利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來，從而再由勾股定理建立的關(guān)系．9、D【解析】

把5本書編號，然后用列舉法列出所有基本事件．計數(shù)后可求得概率．【詳解】3本不同的語文書編號為，2本不同的數(shù)學書編號為，從中任意取出2本，所有的可能為：共10個，恰好都是數(shù)學書的只有一種，∴所求概率為．故選：D.【點睛】本題考查古典概型，解題方法是列舉法，用列舉法寫出所有的基本事件，然后計數(shù)計算概率．10、D【解析】

由題可得，所以，又，所以，得，故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得，所以，又，所以，得，，所以橢圓的方程為.故選：D【點睛】本題主要考查了橢圓的定義，橢圓標準方程的求解.11、D【解析】

根據(jù)頻率分布直方圖中頻率＝小矩形的高×組距計算成績低于60分的頻率，再根據(jù)樣本容量求出班級人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖，得：低于60分的頻率是（0.005+0.010）×20＝0.30，∴樣本容量（即該班的學生人數(shù)）是60（人）.故選：D.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了頻率的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題12、D【解析】

先根據(jù)向量坐標運算求出和，進而求出，代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意，則，，得，由定義知，故選:D.【點睛】此題考查向量的坐標運算，引入新定義，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

，建立方程組，且，求出，進而求出的公比，即可求出結(jié)論.【詳解】數(shù)列遞增的等比數(shù)列，，，解得，所以的公比為，.

故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

當時，，可得到，再用累乘法求出，再求出，根據(jù)定義求出，再借助單調(diào)性求解．【詳解】解：當時，，則，，當時，，，，，，（當且僅當時等號成立），，故答案為：．【點睛】本題主要考查已知求，累乘法，主要考查計算能力，屬于中檔題．15、【解析】

利用橢圓的參數(shù)方程，將所求代數(shù)式的最值問題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問題，利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，以及求導數(shù)、單調(diào)性和極值，即可得到所求最小值．【詳解】解：設(shè)點，，其中，，由，，，可設(shè)，導數(shù)為，由，可得，可得或，由，，可得，即，可得，由可得函數(shù)遞減；由，可得函數(shù)遞增，可得時，函數(shù)取得最小值，且為，則的最小值為1．故答案為：1．【點睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的恒等變換和導數(shù)法求函數(shù)最值的方法，考查化簡變形能力和運算能力，屬于難題．16、【解析】

由平面向量模的計算公式，直接計算即可.【詳解】因為平面向量與的夾角為，所以，所以;故答案為【點睛】本題主要考查平面向量模的計算，只需先求出向量的數(shù)量積，進而即可求出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）先求出角，進而可得出，則①②中有且只有一個正確，③正確，然后分①③正確和②③正確兩種情況討論，結(jié)合三角形的面積公式和余弦定理可求得的值；（2）計算出和，計算出，可得出，進而可求得的面積.【詳解】（1）因為，所以，得，，，為鈍角，與矛盾，故①②中僅有一個正確，③正確.顯然，得.當①③正確時，由，得（無解）；當②③正確時，由于，，得；（2）如圖，因為，，則，則，.【點睛】本題考查解三角形綜合應(yīng)用，涉及三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.18、（1）43，47；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）根據(jù)莖葉圖即可得到中位數(shù)和眾數(shù)；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)可得任取一名優(yōu)秀員工的概率為，故，寫出分布列即可得解.【詳解】（1）中位數(shù)為，眾數(shù)為．（2）被調(diào)查的名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量，任取一名優(yōu)秀員工的概率為，故，，，的分布列如下：故【點睛】此題考查根據(jù)莖葉圖求眾數(shù)和中位數(shù)，求離散型隨機變量分布列，根據(jù)分布列求解期望，關(guān)鍵在于準確求解概率，若能準確識別二項分布對于解題能夠起到事半功倍的作用.19、（1）79顆；（2）5.5秒.【解析】

（1）利用各小矩形的面積和為1可得，進而得到脈沖星自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的頻率，從而得到頻數(shù)；（2）平均值的估計值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.【詳解】（1）第一到第六組的頻率依次為0.1，0.2，0.3，0.2，，0.05，其和為1所以，，所以，自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有（顆）.（2）新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為（秒）.故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為5.5秒.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，涉及到平均數(shù)的估計值等知識，是一道容易題.20、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）取AB的中點O，連接，證得，從而證得C′O⊥平面ABD，再結(jié)合面面垂直的判定定理，即可證得平面⊥平面；（2）以O(shè)為原點，AB，OC所在的直線為y軸，z軸，建立的空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】(1)取AB的中點O，連接，，在Rt△和Rt△ADB中，AB=2，則=DO=1，又C′D=，所以，即⊥OD，又⊥AB，且AB∩OD=O，平面ABD，所以⊥平面ABD，又C′O?平面，所以平面⊥平面DAB（2）以O(shè)為原點，AB，OC所在的直線為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，-1，0)，B(0，1，0)，C′(0，0，1)，，所以，，，設(shè)平面的法向量為=()，則，即，代入坐標得，令，得，，所以，設(shè)平面的法向量為=（），則，即，代入坐標得，令，得，，所以，所以，所以二面角A-C′D-B的余弦值為.【點睛】本題考查了面面垂直的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴密推理是線面位置關(guān)系判定