湖南省衡陽(yáng)市名校協(xié)作體高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題

2023屆高三全真模擬適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁(yè)，22題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.，集合，則（）A.B.C.D.滿足，則（）A.B.C.D.3.的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）4.兩千多年前，我國(guó)首部數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》是數(shù)學(xué)的瑰寶，世人驚嘆祖先的智慧.其中早就提出了宛田（扇形面積）的計(jì)算方法：“以徑乘周，四而一”（意思是說(shuō)直徑與弧長(zhǎng)乘積的四分之一），已知扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，且，則它的面積為（）A.B.C.D.5.我國(guó)是一個(gè)人口大國(guó)，產(chǎn)糧?儲(chǔ)糧是關(guān)系國(guó)計(jì)民生的大事.現(xiàn)某儲(chǔ)糧機(jī)構(gòu)擬在長(zhǎng)100米，寬80米的長(zhǎng)方形地面建立兩座完全相同的糧倉(cāng)（設(shè)計(jì)要求：頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑為，糧倉(cāng)高為50米，兩座糧倉(cāng)連體緊靠矩形一邊），已知稻谷容重為600千克每立方米，糧倉(cāng)厚度忽略不計(jì)，估算兩個(gè)糧倉(cāng)最多能儲(chǔ)存稻谷（）（取近似值3）的一條對(duì)稱軸為，一個(gè)對(duì)稱中心為.則當(dāng)取最小整數(shù)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.與有三條公切線，則的取值范圍為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（）與所成角為B.面C.到平面的距離為，則（）A.在上最大值為2B.有兩個(gè)零點(diǎn)C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，使的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的頂點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，過(guò)作直線交拋物線于兩點(diǎn)（順序從左向右），則（）A.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則C.的最小值為1，則直線的斜率為是方程的兩根，e為無(wú)理數(shù)，則（）A.B.C.D.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.?小李參加滿分為50分（只取整數(shù)）的崗上技能測(cè)試，小張的六次成績(jī)從小到大分別為；李的六次成績(jī)從小到大分別為.只知小張的六次成績(jī)的第50百分位數(shù)等于小李的六次成績(jī)的第80百分位數(shù)，則__________.的圓和圓均與軸相切，且與直線均相切于第一象限，兩圓的半徑之和為4，則直線的方程為__________.是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則的取值范圍為__________.中，，沿對(duì)角線將折起，使平面平面，得到三棱錐，則三棱錐外接球表面積的最小值為__________.四?解答題?證明過(guò)程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）在中，角的對(duì)邊分別為（1）求角；（2）已知邊的中點(diǎn)為，且，求面積的最大值.18.（本小題滿分12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意成等差數(shù)列，又正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，是否存在正整數(shù)，使.若存在，求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19.（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，棱上的點(diǎn)滿足，棱上的點(diǎn)滿足.（1）證明：；（2）若與平面所成的角為，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.20.（本小題滿分12分）某區(qū)在高中階段舉行的物理實(shí)驗(yàn)技能操作競(jìng)賽分基本操作與技能操作兩步進(jìn)行，第一步基本操作：每位參賽選手從類7道題中任選4題進(jìn)行操作，操作完后正確操作超過(guò)兩題的（否則終止比賽），才能進(jìn)行第二步技能操作：從類5道題中任選3題進(jìn)行操作，直至操作完為止.類題操作正確得10分，類7題中有5題會(huì)操作，類5題中每題正確操作的概率均為，且各題操作互不影響.（1）求李明被終止比賽的概率；（2）現(xiàn)已知李明類題全部操作正確，求李明類題操作完后得分的分布列及期望；（3）求李明獲二等獎(jiǎng)的概率.21.（本小題滿分12分）已知雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求雙曲線的離心率及方程；（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，是否為常數(shù)？若為常數(shù)，求出此常數(shù)及的值；若不為常數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.2023屆高三全真模擬適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)參考答案一?選擇題1.C【解析】，所以.故選C.2.A【解析】因?yàn)?，所?故選A.3.C【解析】因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，令，得，故展開式的常數(shù)項(xiàng)是.故選C.4.A【解析】設(shè)扇形的圓心角，所在圓的半徑為，所以，又，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，故扇形的面積為.故選A.5.A【解析】由于糧倉(cāng)高50米，頂部為圓錐形，底部為圓柱形，圓錐高與底面直徑為，設(shè)糧倉(cāng)頂部圓錐形的高為米，底面直徑為米，圓柱的高為米，兩座糧倉(cāng)總的容積為.若靠矩形長(zhǎng)邊建造，則，所以；若靠矩形寬邊建造，則，所以.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以時(shí)，取最大值，兩個(gè)糧倉(cāng)最多能儲(chǔ)存稻谷噸.故選A.6.B【解析】因?yàn)榈囊粭l對(duì)稱軸為，所以，①，又的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以②，①-②得，所以，因?yàn)?，所以時(shí)，由②得，因?yàn)?，所以，所?由得的極值點(diǎn)為時(shí)極值點(diǎn)在內(nèi).故選B.7.D【解析】如圖所示，設(shè)，設(shè)，則.在Rt中，.由橢圓定義可知：，，解得：.所以，在中，可得.在中，由余弦定理可得，，即0，解得，橢圓離心率.故選D.8.A【解析】設(shè)公切線為是與的切點(diǎn)，是與的切點(diǎn)，，的方程為，整理得，同理，整理得，依題意兩條直線重合，，消去得，由題意此方程有三個(gè)不等實(shí)根，設(shè)，即直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn).，令，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，有極小值有極大值.又，當(dāng)時(shí)，0；當(dāng)時(shí)，，故的圖象簡(jiǎn)單表示為下圖.當(dāng)，即時(shí)，直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn).故選A.二?多選題9.BC【解析】對(duì)于，因?yàn)?，所以異面直線與所成角為（或補(bǔ)角），，故錯(cuò)誤；對(duì)于，連接，，由于，所以面面，所以面面，又平面，所以面，故B正確；對(duì)于點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，.又，故C正確；對(duì)于D，作，交于，交于，則平面點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)到平面的距離，平面點(diǎn)到平面的距離為線段的長(zhǎng)度，故.10.AC【解析】對(duì)于，在上單調(diào)遞增，，故正確；對(duì)于的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即方程的實(shí)根個(gè)數(shù)，即方程的實(shí)根個(gè)數(shù)，即與與圖象如圖所示：兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則有對(duì)任意恒成立.恒成立，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故正確；對(duì)于，若存在實(shí)數(shù)使的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則對(duì)任意恒成立，即恒成立，即對(duì)任意恒成立，則有，上述方程組無(wú)解，故AC.11.ABD【解析】拋物線方程化為，準(zhǔn)線為，所以，準(zhǔn)線為，所以，故A正確；又，過(guò)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，顯然的斜率存在，設(shè)的方程為，與聯(lián)立消去整理得，則，.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，則，故正確；時(shí)，最小為，故C錯(cuò)誤；由得，又，解得：，故D正確.故選ABD.12.ABC【解析】對(duì)于，因?yàn)?，所以，?gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以在上遞減，在上遞增，所以有唯一的極小值，因?yàn)?，所?設(shè)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，且在上有0，即，由，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谏线f增，所以，即，故A正確；對(duì)于是方程的兩根，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，又，所?構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，0；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以有唯一的極小值，若，構(gòu)造函數(shù)，類比選項(xiàng)，可證，故B正確；對(duì)于在區(qū)間上遞減，所以，所以1，故C正確；對(duì)于在上遞增，，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選ABC.三?填空題13.45【解析】因?yàn)?，所以甲組的第50百分位數(shù)為，乙組的第80百分位數(shù)為，所以.故答案為45.14.【解析】設(shè)直線的傾斜角，直線的傾斜角為，其方程為，由，解得或（舍去），故直線為.設(shè)，圓方程為，圓方程為，兩圓方程相減，得直線的方程為.故答案為15.【解析】，因?yàn)槭堑臉O小值點(diǎn)，所以0，即，從而.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時(shí)，令，得，若是的極小值點(diǎn)，則，解得.綜上，的取值范圍.故答案為.16.【解析】在平面圖形中設(shè)，即Rt中，.在中，.設(shè)外接圓圓心為，外接圓半徑為，由正弦定理可得.設(shè)三棱錐外接球球心為，則平面.又平面平面，交線為平面四邊形，在平面中，過(guò)做于，在中，為的中點(diǎn)，.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)（滿足.故答案為.17.解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，即，所以，又，所以，所以，?（2）因?yàn)?，由余弦定理，解得，又，所以，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，因?yàn)椋悦娣e的最大值為.18.解：（1）設(shè)的公比為，顯然，由，解得或（舍去），，所以又對(duì)任意成等差數(shù)列，，所以，因?yàn)椋?，故是以為首?xiàng)，公差的等差數(shù)列，所以，又，所以，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，滿足上式，故.（2），設(shè)，①②，①-②：9，故不存在正整數(shù)，使.19.證明：（1）連接為的中點(diǎn)，，又平面平面，又平面，故，又，，，又平面，故平面，平面.（2）過(guò)作于點(diǎn)，又因?yàn)槠矫?，所以，平面，所以平面，所以即為與平面所成的角且為，又為正三角形，為的中點(diǎn)，因?yàn)閮蓛纱怪?，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為分別為軸，過(guò)點(diǎn)做的平行線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可知各點(diǎn)坐標(biāo)分別為：，，，設(shè)平面的法向量為，，解得，取.設(shè)平面的法向量為，，解得：，取.設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，平面與平面所成銳二面角余弦值為20.解：（1）設(shè)“李明被終止比賽”事件為表示選的4題均會(huì)操作或3題會(huì)操作，故.（2）設(shè)李明在競(jìng)賽中，類題全部操作正確后得分為的取值為，類題正確操作題數(shù)，所求的分布列40608010080.（3）設(shè)李明獲二等獎(jiǎng)的事件為，事件即類題全部操作正確，類題正確操作2題或類題操作正確3題，類題全部正確操作，21.解：（1）雙曲線，漸近線為，又一條漸近線為，，則雙曲線的離心率，雙曲線的方程可寫為：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，雙曲線的方程為.（2）雙曲線的方程為，假設(shè)存在點(diǎn)，滿足題設(shè)條件，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，，與雙曲線無(wú)交點(diǎn)；直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，直線的方程為與交點(diǎn)，聯(lián)立方程組：，消去可得：，由題可