廣西壯族自治區(qū)桂平市第五中學(xué)屆高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)(文)(3—2)（試卷總分150分考試時(shí)間120分鐘)第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1。已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，且（為虛數(shù)單位），則（）A. B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可?！驹斀狻拷?，，則。故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,模的求法，屬于基礎(chǔ)題。2。已知集合，,則（）A. B. C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】求解函數(shù)的定義域化簡集合，然后利用交集運(yùn)算求解即可?！驹斀狻拷猓?，,.故選：D。【點(diǎn)睛】本題考查交集運(yùn)算，函數(shù)的定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題.3.已知，，，，則，，的大小關(guān)系是（)A。 B. C. D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算和指數(shù)運(yùn)算比較大小即可?！驹斀狻拷猓河深}設(shè)知，，，，又,，則。故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算和指數(shù)運(yùn)算,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)及余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。4.把能表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差的正整數(shù)稱為“幸運(yùn)"，則在這個(gè)數(shù)中,能稱為“幸運(yùn)數(shù)”的個(gè)數(shù)是（）A。 B。 C. D。【答案】C【解析】【分析】利用新定義，求出幸運(yùn)數(shù)的滿足條件，然后利用數(shù)列通項(xiàng)公式即可?！驹斀狻拷?設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為,，則它們的平方差為，故“幸運(yùn)數(shù)"即為能被整除的正整數(shù)，在這個(gè)數(shù)中，幸運(yùn)數(shù)組成一個(gè)首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,末項(xiàng)為，設(shè)共有個(gè)幸運(yùn)數(shù)，則,解得,.故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查新定義的連接與應(yīng)用,數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5。函數(shù)的部分圖象可以為（）A. B. C。 D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再代入特殊值，進(jìn)而判斷結(jié)果?！驹斀狻拷?函數(shù)是奇函數(shù)，則圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則排除B、D,又,則排除C.故選：A。【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,結(jié)合三角函數(shù)的特殊值的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。6.某市為慶祝建國周年,營造一個(gè)安全的交通出行環(huán)境，方便市民出行，對(duì)全市兩千多輛出租車的行駛年限進(jìn)行了調(diào)查，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出輛出租車，已知抽到頻率的出租車的行駛年限都在年之間,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,得到出租車行駛年限情況的殘缺頻率分布直方圖，如圖所示,利用這個(gè)殘缺的頻率分布直方圖估計(jì)出租車行駛年限的中位數(shù)大約是（）A。 B。 C。 D.【答案】B【解析】【分析】先算出數(shù)據(jù)位于的頻率，再設(shè)中位數(shù)，依據(jù)中位數(shù)的概念可知兩邊面積都是，進(jìn)而列式，求出中位數(shù)的值.【詳解】解：由頻率分布直方圖知，數(shù)據(jù)位于的頻率為,前三個(gè)矩形的面積之和為設(shè)中位數(shù),則，解得，。故選：B?！军c(diǎn)睛】本題考查根據(jù)頻率直方圖運(yùn)算中位數(shù)的問題,考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題。7.的值為（）A。 B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角和的正弦公式的逆用進(jìn)行化簡，進(jìn)而算出結(jié)果即可。【詳解】解:。故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的正弦公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知單位向量，,且,若,，則下列式子一定成立的是（）A。 B. C。 D?！敬鸢浮緾【解析】【分析】根據(jù)題意可知,再利用,是單位向量且，，代入化簡，即可判斷出結(jié)果.【詳解】解：，，，是單位向量且，，.故選：C?！军c(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積與模長公式的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題。9.如圖所示的程序框圖，輸入,若輸出的值為，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件為（）A。 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)程序框圖進(jìn)行模擬運(yùn)算,即可得出結(jié)果.【詳解】解：由程序框圖知，，，，第一次：,，,否，循環(huán)，，第二次:，，，否,循環(huán)，第三次：,,，否，循環(huán)，第四次：,，，否，循環(huán)，第五次：,，,是，此時(shí)。則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的識(shí)別和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且，若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線距離是，且橢圓的焦距為，則（)A。 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過,作直線的垂線，垂足為，，則,由題設(shè)知，，進(jìn)而算出，由橢圓的定義知，，運(yùn)用余弦定理化簡得，進(jìn)而算出的值?！驹斀狻拷猓哼^,作直線的垂線，垂足為,,則，由題設(shè)知，，是的中點(diǎn)，，在中,，，由橢圓定義知，，在中,由余弦定理得，,化簡得，又橢圓的焦距為，，則。故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì),考查余弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題。11。在中,內(nèi)角,，的對(duì)邊分別為，，，已知，，則（）A。 B。 C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】利用正弦定理化簡得,則，再利用余弦定理求出的值?！驹斀狻拷?由正弦定理及得，，,，,則，由余弦定理得，，又，,即，。故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理，化簡求值，考查分析能力,屬于中檔題。12.已知雙曲線的漸近線與圓在第一象限的交點(diǎn)為，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的值為（）A。 B。 C?；?D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】有題意可知，得出交點(diǎn),由可得,結(jié)合關(guān)系，求出關(guān)系，進(jìn)而算出離心率的值。【詳解】解：由得,又,則，整理得，或，舍去,或.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程,離心率的計(jì)算方法，考查分析能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題。第Ⅱ卷(非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分,第13~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答，第22~23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分,共20分。把答案填在題中橫線上.13。曲線在點(diǎn)處的切線與拋物線相切,則__________?！敬鸢浮炕颉窘馕觥俊痉治觥肯惹髮?dǎo)得,曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，由切點(diǎn)為，得切線方程為，并與拋物線方程聯(lián)立得,進(jìn)而算出時(shí)的值。【詳解】解：，，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，又切點(diǎn)為，切線方程為，聯(lián)立得,,解得或。故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程,屬于中檔題.14。已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，則__________.【答案】【解析】【分析】由數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,得出，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,則,進(jìn)而算出結(jié)果?！驹斀狻课觯簲?shù)列是公差為的等差數(shù)列,，即，又，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則。。故答案:。【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于中檔題.15。函數(shù)的最小正周期為__________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥糠诸愑懻摵偷那闆r，化簡函數(shù)式子,進(jìn)而可以畫出圖象，來判斷最小正周期即可。【詳解】解:當(dāng)時(shí),即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，則函數(shù)的最小正周期為故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期的求法，屬于中檔題.16。在三棱錐中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，，當(dāng)其外接球的表面積為,且點(diǎn)到底面的距離為時(shí)，則側(cè)面的面積為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在底面上的射影為，根據(jù)題意可知點(diǎn)為的外心,并且為斜邊的中點(diǎn)，設(shè)，則，設(shè)外接球的半徑為，由題設(shè)知，，則，,代入數(shù)據(jù)解得,進(jìn)而求出側(cè)面的面積?！驹斀狻拷?設(shè)點(diǎn)在底面上的射影為,，，則點(diǎn)為的外心，又底面是以為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，設(shè)，則,設(shè)外接球的半徑為，由題設(shè)知，，，設(shè)球心為,則在上,，即解得，，側(cè)面的面積是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查棱錐外接球有關(guān)的問題，結(jié)合勾股定理的運(yùn)用，考查分析能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題。三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17。某市實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)教研組，在高三理科一班進(jìn)行了一次“采用兩種不同方式進(jìn)行答卷”考試實(shí)驗(yàn)，第一種做卷方式：按從前往后的順序依次做；第二種做卷方式:先做簡單題，再做難題.為了比較這兩種做卷方式的效率，選取了名學(xué)生，將他們隨機(jī)分成兩組，每組人。第一組學(xué)生用第一種方式，第二組學(xué)生用第二種方式，根據(jù)學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)（單位：分）繪制了莖葉圖如圖所示.若分（含分）以上為優(yōu)秀，根據(jù)莖葉圖估計(jì)兩種做卷方式的優(yōu)秀率;設(shè)名學(xué)生考試分?jǐn)?shù)的中位數(shù)為，根據(jù)莖葉圖填寫下面的列聯(lián)表:超過中位數(shù)的人數(shù)不超過中位數(shù)的人數(shù)合計(jì)第一種做卷方式第一種做卷方式合計(jì)根據(jù)列聯(lián)表,能否有的把握認(rèn)為兩種做卷方式的效率有差異？附：，?！敬鸢浮康谝环N做卷方式的優(yōu)秀率為；第二種做卷方式的優(yōu)秀率為；填表見解析；有的把握認(rèn)為兩種做卷方式的效率有差異。【解析】【分析】根據(jù)概率的計(jì)算方法運(yùn)算即可；先算出中位數(shù)，代入數(shù)據(jù)算出的值，比較數(shù)據(jù)，得出結(jié)論.【詳解】解：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，用第一種做卷方式答卷的分?jǐn)?shù)在分（含分）以上的有人,第一種做卷方式的優(yōu)秀率為用第二種做卷方式答卷的分?jǐn)?shù)在分（含分）以上的有人，第二種做卷方式的優(yōu)秀率為；這50名學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)按從小到大的順序排列后，排在中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)是和,則它們的中位數(shù)為；由此填寫列聯(lián)表如下:超過中位數(shù)的人數(shù)不超過中位數(shù)的人數(shù)合計(jì)第一種做卷方式第一種做卷方式合計(jì)，故的把握認(rèn)為兩種做卷方式的效率有差異?！军c(diǎn)睛】本題考查列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算卡方的方法，概率的求法，屬于中檔題.18.正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.證明：數(shù)列為等差數(shù)列；求使成立的的最小值。【答案】證明見解析；?！窘馕觥俊痉治觥坑深}意可知，當(dāng)時(shí)，由得，化簡得，,進(jìn)而即可求證。由知，，，進(jìn)而得出，，進(jìn)而可以判斷出的最小值?！驹斀狻拷猓鹤C明：當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí)，由得，，化簡得,，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列.由知，,，，,則，當(dāng)時(shí)，上式也成立,,則不等式為，，故使成立的的最小值為。【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。19。如圖，在直三棱柱中，，，,，、分別為、的中點(diǎn)。求證：平面；設(shè)為上一點(diǎn)，且,求點(diǎn)到平面的距離.【答案】證明見解析；。【解析】【分析】根據(jù)得,并且得出四邊形為正方形，進(jìn)而即可求證;先算出點(diǎn)到平面的距離即為,由,可求出,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則，進(jìn)而求出點(diǎn)到平面的距離?！驹斀狻拷猓鹤C明：,，，即，又是直三棱柱，平面，則，、分別為、的中點(diǎn)，且，，四邊形為正方形，則，又，平面。由知，即，又是直三棱柱，平面，，則點(diǎn)到平面的距離即為,,由知,，且，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則，則，即點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題考查空間立體幾何圖形中線面垂直的判定，考查等體積法的運(yùn)用，考查分析能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題。20。已知函數(shù)，,為的導(dǎo)數(shù).求證：在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)；（其中,為的導(dǎo)數(shù)）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮孔C明見解析;?！窘馕觥俊痉治觥肯葘懗?，求導(dǎo)得，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，進(jìn)而即可求證在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn);由知,，則，即在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而算出的取值范圍?！驹斀狻拷猓鹤C明：，，則，顯然，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，,在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)。由知,，不等式即為，即在上恒成立，令則，當(dāng)時(shí),，在是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，故，故，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，考查分析能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題。21。已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限.若,，求直線的方程；若，點(diǎn)為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，求證：直線，，的斜率成等差數(shù)列.【答案】;證明見解析.【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，由拋物線的定義知,,設(shè),列式聯(lián)立求出，直線AB的斜率為，進(jìn)而寫出直線的方程；若,則拋物線，準(zhǔn)線，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得消得，利用韋達(dá)定理,進(jìn)而求出，即可求證?！驹斀狻拷猓涸O(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，由拋物線的定義知,，設(shè),，由題設(shè)知，，，解得，則，，即，①又由拋物線的定義知，，即，②聯(lián)立①②，解得,或,，∴，則，焦點(diǎn)為，，則直線的斜率為，故直線的方程為;證明:若，則拋物線，，準(zhǔn)線,設(shè)直線的方程為，，，，由消去得，，則，,則又,,故直線,，的斜率成等差數(shù)列。【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的基本性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于難題.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.【選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22。在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為。求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；已知點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值.【答案】；;.【解析】【分析】參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程即可,運(yùn)用轉(zhuǎn)化公式將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可；由知，曲線的普通方程為,設(shè)其參數(shù)方程為，則，利用點(diǎn)到直線的距離公式代入求點(diǎn)到直線的距離的最小值。【詳解】解：由（為參數(shù)）得，,曲線C的普通方程為；由得，,，，直線l直角坐標(biāo)方程為；由知，曲線的普通