二次函數知識點總結和題型總結

二次函數知識點總結和題型總結

一、二次函數概念：

1.二次函數的概念：一般地，形如尸++陵+c（。，6,C是常數,"0）

的函

數，叫做二次函數。

這里需要強調：①aW0②最高次數為2③代數式一定

是整式

2.二次函數尸/+法+。的結構特征：

⑴等號左邊是函數，右邊是關于自變量X的二次式，X的最高次

數是2.

⑵。，兒C是常數，〃是二次項系數，b是一次項系數，。是常數項.

例題:

例1、已知函數（01—1）2"+5X—3是二次函數，求m的值。

練習、若函數（m2+2m—7）x?+45是關于x的二次函數，則m的取

值范圍

為。

二、二次函數的基本形式

1.二次函數基本形式：加的性質：

a的絕對值越大，拋物線的開口越小。

開口方頂點坐對稱

a的符號性質

向標軸

x>0時，y隨x的增大而增大；x<0時，

a>Q向上(0,0)y軸

y隨x的增大而減??；x=0時，y有最小

值0.

x>0時，y隨x的增大而減??；xvO時，

a<G向下（0,0）y軸

y隨x的增大而增大；x=0時，y有最大

值0.

2.丫=加+。的性質:

上加下減。

開口方頂點坐對稱

”的符號性質

向標軸

x>0時，y隨x的增大而增大；xvO時，

a>0向上(0,c)y軸

y隨匯的增大而減?。粁=0時，y有最小

值C.

x>0時，y隨x的增大而減小；x<0時，

a<0向下(0,c)y軸

y隨x的增大而增大；x=0時，y有最大

值c.

3.y=a(xf)2的性質:

左加右減。

開口方頂點坐對稱

〃的符號性質

向標軸

時，y隨X的增大而增大；XV〃時，

a>0向上(/7,0)

y隨x的增大而減?。粁=//時，y有最小

值0.

x>〃時，y隨x的增大而減小；x</z時，

向下(60)

a<0y隨x的增大而增大；x=/?時，y有最大

值0.

4.y=a(x-/i)2+」的性質:

開口方頂點坐對稱

a的符號性質

向標軸

時，y隨式的增大而增大；〃時，

向上(〃，k)

a>0y隨x的增大而減?。粁=/z時，y有最小

值2.

x>〃時，y隨x的增大而減??；xv〃時，

(h,k)

a<0向下y隨x的增大而增大；x=〃時，y有最大

值上.

二次函數的對稱軸、頂點、最值

（技法：如果解析式為頂點式（X—h）?,則最值為k；如果解析式

為一般式2則最值為）

1.拋物線2x2+42-m經過坐標原點，則m的值為。

2.拋物2線的頂點坐標為（1,3）,則b=,c=.

3.拋物線y=x?+3x的頂點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.若拋物線y=2—6x經過點(2,0),則拋物線頂點到坐標原點

的距離為()

A.V13B.VioC.VisD.V14

5.若直線y=+b不經過二、四象限，則拋物線y=2++c()

A.開口向上，對稱軸是y軸B.開口向下，對稱軸是y軸

C.開口向下，對稱軸平行于y軸D.開口向上，對稱軸平行于

y軸

6.已知二次函數?+(m—1)—1有最小值為0,則m=。

三、二次函數圖象的平移

1.平移步驟：

方法一：⑴將拋物線解析式轉化成頂點式產確定

其頂點坐標(〃,左)；

⑵保持拋物線尸小的形狀不變，將其頂點平移到(〃，%)處，

具體平移方法如下：

y=a(x-/j)-?產”(心/?)2+%

向上(Q0)【或下伏〈0)】平移固個單位

2.平移規(guī)律

在原有函數的基礎上“〃值正右移，負左移；左值正上移，

負下移”.

概括成八個字“左加右減，上加下減”.

方法二：

⑴y=+6x+c沿y軸平移：向上(下)平移m個單位，y=ax2+bx+c

變成

y=ax2+bx+c+m(或y=ax2+hx+c-m)

⑵y=ax?+bx+c沿軸平移：向左(右)平移加個單位，y=ax?+fec+c

變成y=a(x+m)2+h(x+m)+c(或y=a(x-m)2+h(x—/n)+c)

函數2的圖象和性質例題：

1.拋物線2+49的對稱軸是。

2.拋物線2x2—1225的開口方向是，頂點坐標是。

3.通過配方，寫出下列函數的開口方向、對稱軸和頂點坐標：

(1)x"—21；(2)—3X2+8X—2；(3)—xJ—4

4、把拋物線,的圖象向右平移3個單位，在向下平移2個單位,

所得

圖象的解析式是2—35,試求b、c的值。

5、把拋物線-2x?+41沿坐標軸先向左平移2個單位，再向上平

移3個單位，

問所得的拋物線有沒有最大值，若有，求出該最大值；若沒有,

說明理由。

四、—次函數y=a（x-〃）2+攵與y=渥+fer+c的比較

從解析式上看，y=a（x-4+k與是兩種不同的表達形

式，后者通過配方可以得到前者，即y=/x+?f+與2，其中

I2a）4a

.b,4ac-b2

h=--,k=-----?

2a4a

五、二次函數產加+公+c圖象的畫法

五點繪圖法：利用配方法將二次函數丫=加+法+,化為頂點式

2

y=a（x-h）+k,確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在

對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為:

頂點、與y軸的交點（O，c）、以及（O，c）關于對稱軸對稱的點

（26,c）、與x軸的交點（占，0）,（七，0）（若與x軸沒有交點，則

取兩組關于對稱軸對稱的點）.

畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸

的交點，與y軸的交點.

六、二次函數yuar'/’x+c的性質

1.當心o時，拋物線開口向上，對稱軸為釬-2,頂點坐標為

2a

（b_4ac-h2>

「五,一兀一）*

當x<_2時，y隨x的增大而減?。划敗?gt;一2時，y隨x的增

2a2a

大而增大；當時，y有最小值處世.

2a4a

2.當"0時，拋物線開口向下，對稱軸為X=-2,頂點坐標為

2a

［與，當互］.當時，），隨x的增大而增大；當時，y隨

12674al2a2a

X的增大而減小；當尸-幺時，y有最大值處衛(wèi).

2a4a

例題：函數（x—hT的圖象與性質

1.填表：

拋物線開口方對稱軸頂點坐

向標

y=-3(x-2)2

y=1(x+3)2

2.試說明函數（x—3T的圖象特點及性質（開口、對稱軸、頂點

坐標、增

減性、最值）。

3.二次函數（x—h）2的圖象如圖：已知a=,=,試求該拋物線的

解

析式。

二次函數的增減性

1.二次函數3x2—65,當x>l時,y隨x的增大而;

當x<1時，y

隨x的增大而；當1時，函數有最值是。

2.已知函數4xL-5,當x>-2時隨x的增大而增大；當x<-2

時，y

隨x的增大而減少；則x=l時的值為。

3.已知二次函數2—（1）1,當X》1時，y隨X的增大而增大，則

m的取值范圍是.

4.已知二次函數一X?+3的圖象上有三點A（XU）（X22）（X33）且

3<X1<X2<X3,則丫您的大小關系為.

七、二次函數解析式的表示方法

1.一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c為常數，a*0）；

2.頂點式：y=a（x-h）2+k（a,h,左為常數，a#O）；

3.兩根式：y=a{x-xx\x-x2）（a#O,x,>x2是拋物線與》軸兩交

點的橫坐標）.

注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并

非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸

有交點，即從-4%20時，拋物線的解析式才可以用交點式

表示.二次函數解析式的這三種形式可以互化.

八、二次函數的圖象與各項系數之間的關系

1.二次項系數a

二次函數產江+法+c中，〃作為二次項系數，顯然"0.

⑴當a>。時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，

反之a的值越小，開口越大；

⑵當”0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，

反之〃的值越大，開口越大.

總結起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，〃的正負決

定開口方向，同的大小決定開口的大小.

2.一次項系數6

在二次項系數“確定的前提下，〃決定了拋物線的對稱軸.

⑴在a>0的前提下,

當6>0時，上<0,即拋物線的對稱軸在），軸左側；

2a

當6=（）時，_A=o,即拋物線的對稱軸就是y軸；

2a

當b<o時,-->0,即拋物線對稱軸在y軸的右側.

2a

⑵在4<0的前提下，結論剛好與上述相反，即

當6>0時，_±>0,即拋物線的對稱軸在y軸右側；

2a

當6=0時，-A=o,即拋物線的對稱軸就是）,軸；

2a

當6<0時，-±<0,即拋物線對稱軸在），軸的左側.

2a

總結起來，在“確定的前提下，〃決定了拋物線對稱軸的位

置.

"的符號的判定：對稱軸x=-2在y軸左邊則她>0,在y軸

2a

的右側則仍<0，概括的說就是“左同右異”

總結：

3.常數項c

（1）當c〉0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與

y軸交點的縱坐標為正；

⑵當c=0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線

與y軸交點的縱坐標為0；

⑶當c<0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與

y軸交點的縱坐標為負.

總結起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置.

總之，只要a",c都確定，則這條拋物線就是唯一確定的.

例題：函數的圖象特征與a、b、c的關系

1.已知拋物線2的圖象如右圖所示，則a、b、c的符號為()

>0>0>0>0>00

>0<00>0<0<0

2.已知拋物線2的圖象2如圖所示，則下列結論正確的是()

A.>OB.b>-2a

C.>OD.c<0

3.拋物線2中，b=4a,它的圖象如圖3,有以下結論：

①c>0；②》0③)0(4)b2-4<0(5)<0；其中正確的為()

A.①②B.①④C.①②③D.①③⑤

4.當b<0是一次函數與二次函數2在同一坐標系內的圖象可能是

()

5.已知二次函數y=?++c,如果a>b>c,且a+b+c=O,貝!!它

的圖象可能是圖所示的（）

6.二次函數y=2++c的圖象如圖5所示，貝Lb?—4,2a+b,

a+b+c四個代數式中，值為正數的有

A.4個B.3個C.2個D.1個

7.在同一坐標系中，函數2與（a〈c）圖象可能是圖所示的（）

D

8.反比例函數的圖象在一、三象限，則二次函數y=221c的圖象

大致為圖中的（）

ABC

D

9.反比例函數中，當x>0時，y隨x的增大而增大，則二次函

數y=2+2的圖象大致為圖中的（）

ABCD

二次函數解析式的確定:

根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法.用

待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當

的形式，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：

1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大（?。┲担话氵x用頂點

式;

3.已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式;

4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式.

例題：函數解析式的求法

一、已知拋物線上任意三點時，通常設解析式為一般式2,然后

解三元方程組求解；

1.已知二次函數的圖象經過A(0,3)、B(1,3)、C(-1,1)

三點，求該二

次函數的解析式。

2.已知拋物線過A(1,0)和B(4,0)兩點，交y軸于C點且

=5,求該二

次函數的解析式。

二、已知拋物線的頂點坐標，或拋物線上縱坐標相同的兩點和拋

物線上另一點時，通常設解析式為頂點式(X—h)2求解。

3.已知二次函數的圖象的頂點坐標為(1,-6),且經過點(2,

-8),求該二

次函數的解析式。

4.已知二次函數的圖象的頂點坐標為(1,—3),且經過點P(2,

0)點，求二

次函數的解析式。

三、已知拋物線與軸的交點的坐標時，通常設解析式為交點式(x

—X1)(X—X2)O

5.二次函數的圖象經過A(-1,0),B(3,0),函數有最小值

-8,求該二次

函數的解析式。

九、二次函數圖象的對稱

二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點

式表達

1.關于X軸對稱

廣底+法+C關于X軸對稱后，得到的解析式是y=—ax1—hx—c；

y=a(x-h)2+k關于x軸對稱后,得到的解析式是y=-a(x-〃y-k;

2.關于y軸對稱

),=加+云+。關于y軸對稱后，得到的解析式是y=加-6x+c;

y=a(x-〃1+Z關于y軸對稱后，得到的解析式是y=a(x+/?『+A;

3.關于原點對稱

》=底+法+。關于原點對稱后，得到的解析式是y=-ax1+hx-c;

y=a(x-/?y+k關于原點對稱后，得到的解析式是y=-a(x+%)2-Z；

4.關于頂點對稱(即：拋物線繞頂點旋轉180。)

y=ax2+〃x+c關于頂點對稱后，得到的解析式是〉=-加-bx+c-匕；

2a

y=a(x-〃)，X關于頂點對稱后，得到的解析式是y=-a(x-/?1+%.

5.關于點(如〃)對稱

y=a(x-h)2+k關于點(M,〃)對稱后，得到的解析式是

y=-?(%+—+2〃-k

根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀

一定不會發(fā)生變化，因此同永遠不變.求拋物線的對稱拋物線的

表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式,

習慣上是先確定原拋物線(或表達式已知的拋物線)的頂點坐標

及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后

再寫出其對稱拋物線的表達式.

十、二次函數與一元二次方程：

1.二交函數與一元二次方程的關系(二次函數與X軸交點情況):

一兀―■次方程ax2+bx+c=O是一■次函數y=ax2+fcv+c當函數值y=0

時的特殊情況.

圖象與x軸的交點個數：

①當A=/-4ac>0時,圖象與x軸交于兩點4(為，0),8(%,0)(百1),

其中的不，多是一元二次方程以2+加+”0卜-0)的兩根.這兩點

間的距離鉆=|x2Tb犯嚴.

②當△=()時，圖象與x軸只有一個交點；

③當△<()時，圖象與x軸沒有交點.

1-當.>。時，圖象落在X軸的上方，無論X為任何實數，都

有y>0;

2,當a<0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數，都

有y<0.

2.拋物線產江+云+c的圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0,c);

3.二次函數常用解題方法總結：

⑴求二次函數的圖象與X軸的交點坐標，需轉化為一元二次方

程;

⑵求二次函數的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮涤?/p>

一般式轉化為頂點式；

⑶根據圖象的位置判斷二次函數產五+"+c中a,b,c的符號,

或由二次函數中“，6,c的符號判斷圖象的位置，要數形

結合；

⑷二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和

已知一點對稱的點坐標，或已知與x軸的一個交點坐標，可

由對稱性求出另一個交點坐標.

⑸與二次函數有關的還有二次三項式，二次三項式

爾+法+以440）本身就是所含字母》的二次函數；下面以a>0時為

例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯(lián)

系：

A>0拋物線與X軸二次三項式的值可一元二次方程有兩個不相等實

有兩個交點正、可零、可負根

A=0拋物線與五軸二次三項式的值為一元二次方程有兩個相等的實

只有一個交點非負數根

A<0拋物線與龍軸二次三項式的值恒一元二次方程無實數根.

無交點為正

例題：二次函數與x軸、y軸的交點（二次函數與一元二次方程

的關系）

1.如果二次函數y=x?+4x+c圖象與x軸沒有交點，其中c為

整數，則c=（寫一個即可）

2.二次函數y=x2-23圖象與x軸交點之間的距離為

3.拋物線y=-3x?+2x—1的圖象與x軸交點的個數是()

A.沒有交點B.只有一個交點C.有兩個交點D.有三個

交占八、、

4.如圖所示，二次函數y=x2—4x+3的圖象交x

軸于A、B兩點，交y軸于點C,則△的面

積為()

A.6B.4C.3D.1

5.已知拋物線y=5x2+(m—1)x+m與x軸的兩個交點在y軸同

側，它們的距離平方等于為，則m的值為()

A.-2B.12C.24D.48

6.已知拋物線y=x-28,

(1)求證：該拋物線與x軸一定有兩個交點；

(2)若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B,且它的頂點為

P,求△的面積。

、函數的應用

二次函數應用剎車距離

何時獲得最大利潤

最大面積是多少

二次函數圖像與性質口訣:二次函數拋物線，圖象對稱是

關鍵；開口、頂點和交點，它們確定圖象現；開口、大小由a斷

與Y軸來相見的符號較特別,符號與a相關聯(lián);頂點位置先找見，

Y軸作為參考