高中數(shù)學(xué)課時作業(yè)三十直線與平面垂直新人教A版必修第二冊

課時作業(yè)(三十)直線與平面垂直練基礎(chǔ)1.[2022·廣東華南師大附中高一期末]在空間中，下列說法正確的是()A．垂直于同一直線的兩條直線平行B．垂直于同一直線的兩條直線垂直C．平行于同一平面的兩條直線平行D．垂直于同一平面的兩條直線平行2．(多選)若一條直線a與平面α垂直，下列平面中的兩條直線與a垂直，可以保證直線與平面垂直的是()①四邊形的兩邊②正六邊形的兩邊③圓的兩條直徑④三角形的兩邊A．①②B．①③C．②③D．③④3．已知四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，則該四棱錐的4個側(cè)面中直角三角形的個數(shù)是________．4．在三棱錐V-ABC中，VA＝VC，AB＝BC，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，求證：AC⊥平面VBD.提能力5.[2022·遼寧協(xié)作體高一期末]已知α，β，γ是三個不同的平面，l，m，n是三條不同的直線，且α∩β＝l，m，n?γ.在下列條件中，能推出l⊥γ的是()A．n⊥l，m⊥lB．m⊥l，n⊥αC．n⊥α，m⊥αD．m⊥α，n⊥β6．[2022·湖南張家界高一期末]《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．已知在陽馬P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AB＝AD＝1，則直線PD與平面PAC所成角的正弦值等于()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(6),2)7．如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌鍭BCD滿足條件________時，有A1C⊥B1D1.(只需填寫一種正確條件即可)8．如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：MN∥AD1．9．[2022·山東濟(jì)寧高一期末]如圖，在棱長均為2的正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為棱AC，CC1的中點(diǎn)．求證：A1F⊥平面BC1E.10．如圖，AB是⊙O的直徑，AP垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一動點(diǎn)．(1)證明：BC⊥平面PAC；(2)若PA＝AC＝1，AB＝2，求直線PB與平面PAC所成角的正切值．培優(yōu)生11．[2022·湖北華中師大附中高一期末]如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，則點(diǎn)A到平面PBC的距離為()A．eq\f(3\r(2),2)B．eq\f(3,2)C．3D．eq\f(3\r(3),2)12．[2022·山東煙臺高一期末]如圖，在四棱錐V-ABCD中，VA＝VD，BA＝BD.(1)證明：AD⊥VB；(2)在棱VC上是否存在一點(diǎn)P，使得VC⊥平面PAD？若存在，指出點(diǎn)P的位置；若不存在，說明理由．課時作業(yè)(三十)直線與平面垂直1．解析：垂直于同一直線的兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交和異面，A、B不正確；平行于同一平面的兩條直線的位置關(guān)系有：平行、相交和異面，C不正確；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知：D正確．故選D.答案：D2．解析：對于①，四邊形中的兩條邊可能平行，如平行四邊形的對邊，此時不能保證線面垂直；對于②，若直線垂直正六邊形的兩條平行的邊，此時不能保證線面垂直；對于③，圓的兩條直徑交于圓心，故能保證線面垂直；對于④，三角形的任意兩邊一定相交，故能保證線面垂直．所以可以保證直線與平面垂直的是③④.故選D.答案：D3．解析：由題意，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，PA⊥AB，所以△PAD，△PAB為直角三角形；又由四邊形ABCD是矩形，所以AB⊥BC，結(jié)合PA⊥BC，PA∩AB＝A，可得BC⊥平面PAB，又因為PB?平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC為直角三角形，同理，△PCD也為直角三角形，該四棱錐的4個側(cè)面中直角三角形的個數(shù)是4.答案：44．解析：如圖所示，連接VD，DB，因為VA＝VC，AB＝BC，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，所以AC⊥VD，AC⊥BD，又VD，BD是平面VBD內(nèi)的兩條相交直線，所以AC⊥平面VBD.5．解析：當(dāng)m∥n時(如圖所示)，由n⊥l，m⊥l推不出l⊥γ，即A錯誤；同理可知，B，C錯誤；若m⊥α，n⊥β，可知m與n交于一點(diǎn)，且n⊥l，m⊥l，所以l⊥γ，即D正確．故選D.答案：D6．解析：如圖，在正方形ABCD中，連接BD交AC于O，則DO⊥AC，連接PO.因為PA⊥平面ABCD，DO?平面ABCD，所以PA⊥DO，而PO∩AC＝O，則DO⊥平面PAC，于是∠DPO是直線PD與平面PAC所成的角．因為PA＝AD＝1，易知PA⊥AD，所以PD＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，易得DO＝eq\f(1,2)DB＝eq\f(1,2)eq\r(12＋12)＝eq\f(\r(2),2)，所以sin∠DPO＝eq\f(DO,PD)＝eq\f(1,2)，即直線PD與平面PAC所成角的正弦值為eq\f(1,2).故選A.答案：A7．解析：根據(jù)直四棱柱ABCD-A1B1C1D1可得：BB1∥DD1，且BB1＝DD1，所以四邊形BB1D1D是矩形，所以BD∥B1D1，同理可證：AC∥A1C1，當(dāng)AC⊥BD時，可得：A1C1⊥B1D1，且CC1⊥底面A1B1C1D1，而B1D1?底面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，而A1C1∩CC1＝C1，從而B1D1⊥平面A1CC1，因為A1C?平面A1CC1，所以A1C⊥B1D1，所以當(dāng)AC⊥BD時滿足題意．答案：AC⊥BD8．證明：因為四邊形ADD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.又因為CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因為A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.9．證明：由題意，AB＝BC，且E為棱AC的中點(diǎn)，故BE⊥AC，又正三棱柱ABC-A1B1C1，故CC1⊥平面ABC，又BE?平面ABC，故BE⊥CC1，又AC∩CC1＝C，且AC，CC1?平面ACC1A1，故BE⊥平面ACC1A1.因為A1F?平面ACC1A1，故BE⊥A1F.又tan∠A1FC1＝eq\f(A1C1,C1F)＝2，tan∠C1EC＝eq\f(CC1,CE)＝2，且∠A1FC1，∠C1EC均為銳角，故∠A1FC1＝∠C1EC.又∠C1EC＋∠EC1C＝90°，故∠A1FC1＋∠EC1C＝90°，故A1F⊥C1E.又C1E∩BE＝E，C1E，BE?平面BEC1，故A1F⊥平面BC1E.10．解析：(1)證明：∵AB為圓O直徑，∴∠ACB＝90°即AC⊥BC.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)∵BC⊥平面PAC，∴∠BPC為PB與平面PAC所成的角，在直角三角形ABC中，BC＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，在直角三角形PAC中，PC＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，在直角三角形PBC中，tan∠BPC＝eq\f(\r(3),\r(2))＝eq\f(\r(6),2).故直線PB與平面PAC所成角的正切值為eq\f(\r(6),2).11．解析：因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又因為∠ABC＝90°，即AB⊥BC，因為PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，所以BC⊥PB，因為PA＝AB＝3，BC＝4，所以PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝3eq\r(2)，△PBC的面積S△PBC＝eq\f(1,2)PB·BC＝6eq\r(2)，設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h，則三棱錐P-ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△PBC·h＝eq\f(1,3)S△ABC·PA，即eq\f(1,3)×6eq\r(2)h＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×3，解得h＝eq\f(3\r(2),2)，即點(diǎn)A到平面PBC的距離為eq\f(3\r(2),2).故選A.答案：A12．解析：(1)證明：取AD中點(diǎn)E，連接EV，EB.因為VA＝VD，所以AD⊥VE.因為BA＝BD，所以AD⊥EB.又VE∩EB＝E，所以A