第二十六講圓錐曲線原卷版

第二十六講：橢圓、雙曲線、拋物線

【考點梳理】

1、求曲線的軌跡方程

直接法、定義法、相關(guān)點法

2、橢圓方程

橢圓相關(guān)計算

(1)橢圓標準方程中的三個量仇C的幾何意義2

=b+C2

(2)通徑:過焦點且垂直于長軸的弦,其長匕焦點弦：橢圓過焦點的弦。

a

最短的焦點弦為通經(jīng)2b絲2，最長為2a。

a

(3)最大角：P是橢圓上一點，當P是橢圓的短軸端點時，/6尸鳥為最大角。

(4)橢圓上一點和兩個焦點構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形。

焦點三角形的面積SAgF2=〃tan,,其中6=N耳「工(注意公式的推導(dǎo))

3、雙曲線

(1)雙曲線的通徑

過雙曲線的焦點且與雙曲線實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段，稱為雙曲線的通

徑.通徑長為變.

a

(2)點與雙曲線的位置關(guān)系

對于雙曲線與-1=1(4＞人＞0),點尸(%，％)在雙曲線內(nèi)部，等價于莖

arba"b

點p(與，％)在雙曲線外部，等價于工一再＜1結(jié)合線性規(guī)劃的知識點來分析.

礦b

(3)雙曲線?？夹再|(zhì)

性質(zhì)1：雙曲線的焦點到兩條漸近線的距離為常數(shù)/7；頂點到兩條漸近線的距離為常數(shù)

也.

C

性質(zhì)2：雙曲線上的任意點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)嘩；

C-

(4)雙曲線焦點三角形面積為J(可以這樣理解，頂點越高，張角越小，分母越

tan-C7

2

小，面積越大)

(5)雙曲線的切線

r22

點在雙曲線=-二v=13>0/>0)上，過點用作雙曲線的切線方程為

crb"

22

警-縛=1.若點"(%,%)在雙曲線，-4=1(4>02>0)外，則點〃對應(yīng)切點弦方程

crb-ab

為其-綽=1

ab~

4、拋物線

(1)、焦半徑

拋物線上的點P5,%)與焦點F的距離稱為焦半徑，若y2=2px(p>0),則焦半徑

\PF\=xo+j,\PF\nm=^.

(2)、焦點弦

若4?為拋物線V=2px(p>0)的焦點弦，4(%,%),8(%,%)，則有以下結(jié)論：

2

⑴為々=勺.(2)y,y2=-p.

(3)焦點弦長公式1:|AB|=x,+x2+p,xt+x2>2>/xjXj=p,當芭=當時，焦點弦取

最小值2p,即所有焦點弦中通徑最短，其長度為2P.

焦點弦長公式2：\AB\=-^-(c為直線AB與對稱軸的夾角).

sin-a

2

(4)A4O3的面積公式：SM°B=—匚(&為直線鉆與對稱軸的夾角).

2sina

(3)、拋物線的通徑

過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑.

對于拋物線丁=2px(p>0),由Ag，p),%，-p),可得|A8|=2p,故拋物線的

通徑長為2P.

(4)、弦的中點坐標與弦所在直線的斜率的關(guān)系：%="

k

(5)、焦點弦的?？夹再|(zhì)

已知&方,%)、8(孫必)是過拋物線V=2px(p>0)焦點廠的弦，又是反的中點，/是

拋物線的準線，MNL,N為垂足.

(1)以"為直徑的圓必與準線/相切，以4尸(或3尸)為直徑的圓與y軸相切；

(2)FNLAB,FC1FD

；2

(3)西工2=§yty2=-p

(4)設(shè)。為垂足，則A、O、。三點在一條直線上

【典型題型講解】

考點一：橢圓

【典例例題】

例1.(2022?廣東清遠?高三期末)若橢圓C：￡+￡=l的焦距為6,則實數(shù)，〃=()

4tn

A.13B.40C.5D.2x/13

例2.(2022?廣東珠海?高三期末)已知橢圓C：5+〉l(a>b>0)的長軸長為4,左頂點A

到上頂點B的距離為右，F(xiàn)為右焦點.

⑴求橢圓C的方程和離心率；

(2)設(shè)直線/與橢圓C交于不同的兩點M,N(不同于A,B兩點)，且直線8W_LBN時，求F

在/上的射影H的軌跡方程.

【方法技巧與總結(jié)】

22

標準方程/+方=13>匕>°)*十1(”〃>0)

T,

圖形L

1弋】。

■±____

焦點耳(一0,0),F2(C,0)6(0,—c),巴(0,c)

焦距2222

\FtF2\=2c(c=y]a-h)\FlF2\=2c(c=y/a-h)

范圍\x\<a,\y\<b\x\<b,\y\<a

關(guān)于軸、軸和原點對稱

性質(zhì)對稱性xy

頂點(±a,0),(0,±b)(0,±a),(±b,0)

軸長軸長=2"，短軸長=26

離心率e=￡（0<e<l）（注：離心率越小越圓，越大越扁）

a

【變式訓(xùn)練】

小\,2

1.（2022?廣東佛山?高三期末）（多選）已知橢圓C:j+人=1（。>人>0）的左、右焦點分別為

a"b~

0鳥，上頂點為且耳丹=/，點在上，線段與叫交于

B,tan/BPCQ,BQ=2QF2,

則（）

A.橢圓C的離心率為!B.橢圓C上存在點K,使得

4

C.直線PE的斜率為半D.平分

廣東?金山中學(xué)高三期末）已知橢圓丫右2?+v2方=與圓4b2

2.（2022G：l（^l>b>0）C2：x2+y2=?,

若在橢圓上不存在點使得由點所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心

Gp,pc2G

率的取值范圍是.

3.（2022?廣東汕尾?高三期末）己知乙分別是橢圓C：二+亡=1的左、右兩個焦點，若

6m

橢圓C上存在四個不同的點P,使得△P6E，的面積為石，則正實數(shù)m的取值范圍為.

22

4.（2022?廣東肇慶?二模）己知點”，鳥分別是橢圓C*+方=l（a>6>0）的左、右焦點，

點A是橢圓上一點，點。為坐標原點，若|。4卜|0胃，直線鳥4的斜率為-3,則橢圓C的

離心率為（）

A.工B.@C.1D.叵

8434

5.（2022?廣東汕頭?二模）己知橢圓C的左、右焦點分別為F2,直線A8過6與該橢圓

交于48兩點，當F/B為正三角形時，該橢圓的離心率為（）

A.BB.2C.絲D.立

4332

22

6.（2022?廣東中山?高三期末）已知橢圓。：3+方=1（”>6>0）的右焦點為尸漓心率為，

直線/：y=x被橢圓截得的弦長為亞

7

⑴求橢圓C的標準方程

（2）若P是桶圓C上一點，。是坐標原點，過點F與直線/平行的直線與橢圓C的兩個交點為

A8,且OP=WA+/.（OB，求"的最大值

22

7.（2022?廣東?金山中學(xué)高三期末）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：]+馬=1（。>〃>0）

ab~

UUUUU

的左，右頂點分別為A、B,點F是橢圓的右焦點，AF=3FB，AFFB=3.

⑴求橢圓C的方程；

⑵不過點A的直線/交橢圓C于M、N兩點，記直線/、AM,AN的斜率分別為k、占、片.若

k&+Q=l,證明直線/過定點，并求出定點的坐標.

為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線2x-0)，+6=0相切.

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)已知點A,B為動直線片k(x-2)(kH0)與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在定點E,

使得E*+EAYB為定值？若存在，試求出點E的坐標和定值；若不存在，請說明理由.

9.(2022?廣東東莞?高三期末)已知點A為橢圓C：A+￡=l(a>6>0)的左頂點，點尸(L0)

為右焦點，直線/:x=4與*軸的交點為N,且|AF|=|FN|,點M為橢圓上異于點A的任意

一點，直線AM交/于點P.

⑴求橢圓C的標準方程；

⑵證明：ZMFN=24PFN.

10.（2022?廣東深圳?高三期末）在平面直角坐標系xQy中，點A（o,l）在橢圓

丫22

C:—4-^—=l（6f>/?>0）±,過點5（2,-1）的直線/與c交于M,N兩點（異于點A）,記直

ab

線AM,AN的斜率分別為尢，k2,當人=1時，|AM|=孚.

⑴求C的方程；

⑵證明：為定值.

11.（2021?廣東汕頭?高三期末）已知橢圓E:￡+/=l（a>6>0）的離心率為日，又點

［乎，：）在橢圓E上.

⑴求橢圓E的標準方程；

（2）若動直線/與橢圓E有且只有一個公共點，過點M（L°）作直線/的垂線，垂足為°,試探

究：是否為定值，如果是，請求出該值；如果不是，請說明理由.

12.（2022?廣東潮州?二模）設(shè)橢圓cJ+￡=l（a>%>0）/，E為左右焦點,8為短軸端點，長軸

長為4,焦距為2c,且6>c,48月用的面積為6.

（助求橢圓C的方程

（即設(shè)動直線/：y=丘+，〃橢圓C有且僅有一個公共點M，且與直線X=4相交于點N.試探究:

在坐標平面內(nèi)是否存在定點P,使得以MN為直徑的圓恒過點P?若存在求出點P的坐標，若

不存在.請說明理由.

考點二：雙曲線

【典例例題】

22

例1.（2022?廣東珠海?高三期末）雙曲線C:1-5=1的右支上一點M關(guān)于原點。的對稱

a"b~

點為點N,F為雙曲線的右焦點，若尸，則雙曲線C的離心率6為（）

A.y/2B.&C.72+1D.V3+1

例2.（2022?廣東佛山?高三期末）已知雙曲線C的漸近線方程為y=土*x,且過點P（3,0）.

⑴求C的方程；

⑵設(shè)Q（l,0）,直線x=r（reR）不經(jīng)過P點且與C相交于A,8兩點，若直線8Q與C交于另

一點D,求證：直線AO過定點.

【方法技巧與總結(jié)】

1.雙曲線的定義：焦點三角形

2.雙曲線的性質(zhì)：離心率、雙曲線的漸近線

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?廣東潮州?高三期末）石、號分別為雙曲線C:x2-5=1的左、右焦點，過￡的直

線/與C的左、右兩支曲線分別交于A、8兩點，若！工F/,則鳥兒68=（）

A.4-26B.4+GC.6-2后D.6+2逐

2.（2022?廣東汕尾?高三期末）已知雙曲線，■-看■=1（“>0乃>0）的漸近線方程為〉=±瓜，

則該雙曲線的離心率為（）

A.亞B.41C.73D.2

3

3.（2022?廣東清遠?高三期末）（多選）已知雙曲線C:=-2=1（〃>0,6>0）的左、右焦點分別

a-b

為耳，尸2,點P是雙曲線C上位于第一象限的點，過點鳥作2耳「月的角平分線的垂線，垂足

為A,若。為坐標原點，h=2\OA\,則（）

A.雙曲線C的漸近線方程為丫=±2犬B.雙曲線C的漸近線方程為y=±：x

C.雙曲線C的離心率為右D.雙曲線C的離心率為手

4.（2022?廣東東莞?高三期末）已知F為雙曲線C：三-片=1的一個焦點，則點F到雙曲

916

線C的一條漸近線的距離為.

5.（2022?廣東深圳?高三期末）在平面直角坐標系X。），中，F(xiàn)為雙曲線C:1=1（匕>a>0）

ab

的一個焦點，以尸為圓心的圓與C的兩條漸近線交于。、A、8三點，若四邊形O1FB的面

積為*|o殲，則C的離心率為.

6.（2022?廣東中山?高三期末）已知點M為雙曲線C：W-1=1（a>0,b>0）在第一象限上一

點，點F為雙曲線C的右焦點，。為坐標原點，4\MO\=4\MF\=1\OF\,則雙曲線C的離心

率為;若ME"。分別交雙曲線C于P、Q兩點，記直線QM與PQ的斜率分別

為k\&,則占?&=.

o2

29.（2022?廣東深圳,一模）已知雙曲線C：'—方=1（“>0,/,>0）經(jīng)過點A（2,0）,且點A到

C的漸近線的距離為過區(qū).

（1）求雙曲線C的方程;

（2）過點（4,0）作斜率不為0的直線/與雙曲線C交于M,N兩點，直線x=4分別交直線AM,

AN于點、E,F.試判斷以EF為直徑的圓是否經(jīng)過定點，若經(jīng)過定點，請求出定點坐標；反

之，請說明理由.

考點三：拋物線

【典例例題】

例1.（2022?廣東惠州?一模）若拋物線V=2px（p>0）上一點P（2,%）到其焦點的距

離為4,則拋物線的標準方程為（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x

例2.（2022?廣東韶關(guān)?一模）已知在平面直角坐標系中，有兩定點F（0,-3）,G（0,3）,動點T

倆足陽2,

⑴求動點T的軌跡”的方程：

（2）若拋物線M:X2=2py（p>0）與軌跡H按順時針方向依次交于四點AB,C,D（點、4,。在第

一象限）.

①求證：直線AC與直線8。相交于G點；

②設(shè)△ADG的面積為S,求S取最大值時的拋物線方程.

【方法技巧與總結(jié)】

1.拋物線的定義：到準線與到定點距離相等.

2.拋物線的性質(zhì)：焦點弦長

【變式訓(xùn)練】

L（2022?廣東廣州?一模）設(shè)拋物線E:V=8x的焦點為F,過點M（4,0）的直線與E相交于4

B兩點，與E的準線相交于點C,點8在線段AC上，IB用=3,則△BCF與△ACF的面積

之比*=（）

ACF

1111

A.-B.—C.-D.一

4567

2.（2022,廣東廣東?一模）已知。為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：V=4x的焦點，P為C上一點，

若|）|=4,則點F到直線PO的距離為（）

A.6B.26C.—D.亞

77

3.（2022?廣東茂名?一模）（多選）已知拋物線C：r=4），的焦點為產(chǎn)，準線為/,P是拋物線

C上第一象限的點，歸尸|=5,直線PF與拋物線C的另一個交點為Q,則下列選項正確的是

（）

|eri=-S0P（?=—

A.點P的坐標為（4,4）B.4C.3

D.過點作拋物線C的兩條切線其中A,B為切點，則直線A8的方程為：

xQx-2y+2=0

4.（2022?廣東?一模）（多選）已知拋物線Uy、?的焦點為F,拋物線C上存在"個點片，

P,,L,P,（“22且〃eN"）滿足=AP_FP=APFP,=—,則下列

nxnnn

結(jié)論中正確的是（）

11C

A."=2時，而門面一

B.〃=3時，出產(chǎn)|+舊尸|+月產(chǎn)|的最小值為9

u〃=4時，麻麗f府麗F[=Z

D.〃=4時，丑尸|+出川+怛川+比》的最小值為8

5.（2022?廣東湛江?一模）（多選）已知F是拋物線C：V=8x的焦點，過點F作兩條互相垂

直的直線4，4，4與C相交于A,B兩點，4與C相交于E,D兩點，M為48中點，N

為E,。中點，直線/為拋物線C的準線，則（）

A.點M到直線/的距離為定值B.以|A4為直徑的圓與/相切

C.|A用+。目的最小值為32D.當最小時，MN//1

6.（2022?廣東深圳?一模）（多選）已知定圓A的半徑為1,圓心A到定直線/的距離為d,

動圓C與圓A和直線/都相切，圓心C的軌跡為如圖所示的兩條拋物線，記這兩拋物線的焦

點到對應(yīng)準線的距離分別為Pi，P2,則（）

A.d>\B.P|+P=2dC.PR=d°D.---->~

PtPid

【鞏固練習(xí)】

一、單選題

1.橢圓C：￡+金=1（。>石）的左、右焦點分別為月，尸2,經(jīng)過點”的直線與橢圓C相

a~3

交于A,8兩點，若S8乙的周長為16,則橢圓C的離心率為（）

A.姮B.—C.yD.迫

4424

2.已知橢圓*■+/=l（a>b>0）的左右焦點分別"，左頂點為A,上頂點為B,點尸為

橢圓上一點，且若ABHPF、,則橢圓的離心率為（）

A.@B.；C.且D.—

5232

3.已知0鳥分別為橢圓工+二=1的左右焦點，點P為橢圓上一點，以尼為圓心的圓與直

42

線尸匕恰好相切于點P，則NP6K是（）

A.45°B.30°C.60°D.75°

4.明朝的一個葡萄紋橢圓盤如圖（1）所示，清朝的一個青花山水樓閣紋飾橢圓盤如圖（2）

所示，北宋的一個汝窯橢圓盤如圖（3）所示，這三個橢圓盤的外輪廊均為橢圓.已知圖（1）

、⑵、⑶中橢圓的長軸長與短軸長的比值分別*去爭設(shè)圖（1）、⑵、（3）中橢

圓的離心率分別為爾02、03，則（）

⑶

ee

A.e}<e3<e2B.。2<3<i

C.e3<e2<exD.e2<el<e3

22

5.設(shè)廠為橢圓C:±+±=1的右焦點，點42,0）,點3在。上，若|3尸|二2|AF|,則|AB|二

43

（）

A.75B.2>/5C.V7D.25/7

22

6.設(shè)橢圓二+工?=1（。>〃>0）長軸的兩個頂點分別為A、B,點C為橢圓上不同于A、3的

crb“

任一點，若將AA8c的三個內(nèi)角記作A、B、C,且滿足3tanA+3tan8+tanC=0,則橢圓的

離心率為（）

A.立B.-C.在D.-

3333

7.已知直線/過拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點，且與該拋物線交于M,N兩點.若線段MN

的長為16,MN的中點到y(tǒng)軸距離為6,則△"ON（。為坐標原點）的面積是（）

A.B.8夜C.6應(yīng)D.6

8.過拋物線V=2px（p>0）的焦點F作直線/,交拋物線于A,B兩點，若|陽=3|尸8],則直

線/的傾斜角等于（）

A.30°或150°B.45?；?35。C.60°或120°D.與p值有關(guān)

二、多選題

9.已知尸為橢圓的焦點，A,B分別為橢圓的兩個頂點（且A不是離F最近的那個頂點），

若|AF|=3,|AB|=5,則橢圓的離心率可以為（）

A.1B.姮C.2D.25-3.

56334

2.設(shè)圓錐曲線C的兩個焦點分別為片,用，若曲線C上存在點尸滿足|拶|(zhì)：忻用：歸用=4:3:2,

則曲線C的離心率可以是（）

I23

A.-B.—C.—D.2

232

3.雙曲線C:工-￡=1的左，右焦點分別為耳，鳥，點尸在C上.若△尸耳心是直角三角形，

124

則斗鳥的面積為（）

A.巫B.逋C.4D.2

33

22

4.己知橢圓C：L+±=1的左、右焦點分別為斗鳥，尸為C上一點，則（）

43

A.C的離心率為①B.耳工的周長為5

2

C.N百尸工<90D.14|尸耳區(qū)3

5.己知拋物線C：x2=20，S>O),過其準線上的點7(1,-1)作C的兩條切線，切點分別為4

8,下列說法正確的是()

A.p=lB.拋物線的焦點為F(0,1)

C.TAVTBD.直線A8的斜率為3

三、填空題

I.與雙曲線V-工=1有相同的焦點，且短半軸長為2石的橢圓方程是.

4

22

2.已知橢圓C