高中數(shù)學課時作業(yè)18直線與平面垂直新人教B版必修第四冊

課時作業(yè)(十八)直線與平面垂直一、選擇題1．一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．不確定2．(多選)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，G是EF的中點．現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形，使B，C，D三點重合，重合后的點記為H，下列說法正確的是()A．AG⊥平面EFHB．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEHD．HG⊥平面AEF3．已知空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩條對角線AC、BD的關(guān)系是()A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交4.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D為A1B1的中點，AB＝BC＝4，BB1＝1，AC＝2eq\r(5)，則BD與AC所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°二、填空題5.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB1與平面ADD1A1所成的角等于________，AB1與平面DCC1D1所成的角等于________.6．如圖所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個數(shù)有________．7．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點，O是底面ABCD的中心，則EF與平面BB1O的位置關(guān)系是________.(填“平行”或“垂直”)三、解答題8．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點．證明：PC⊥平面BEF.9．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，分別取BC，CD的中點E，F(xiàn)，連接AE，EF，AF，以AE，EF，F(xiàn)A為折痕進行折疊，使點B，C，D重合于一點P.(1)求證：AP⊥EF；(2)求三棱錐P-AEF的體積．[尖子生題庫]10.如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，側(cè)面SBC為等邊三角形，SD＝2.(1)求證：SD⊥BC；(2)求點B到平面ASD的距離．課時作業(yè)(十八)直線與平面垂直1．解析：一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則其垂直于三角形所在平面，從而垂直第三邊．答案：B2．解析：由題意可得：AH⊥HE，AH⊥HF.所以AH⊥平面EFH，而AG與平面EFH不垂直，所以B正確，A不正確．又HF⊥HE，所以HF⊥平面AHE，C正確．HG與AG不垂直，因此HG⊥平面AEF不正確，D不正確．答案：BC3.解析：空間四邊形ABCD的四個頂點不共面，∴AC與BD必為異面直線．取BD的中點O，連接OA，OC，由AB＝AD＝BC＝CD得OA⊥BD，OC⊥BD，∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，故選C.答案：C4．解析：取B1C1的中點M，連接BM，DM，則DM∥A1C1∥AC，所以異面直線BD與AC所成角為∠BDM，因為DM＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(5)，BD＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，BM＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以∠BDM＝60°，即異面直線BD與AC所成的角為60°.答案：C5．解析：∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1與平面DCC1D1平行，即所成的角為0°.答案：45°0°6．解析：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC，,BC?平面ABC，))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC，,AC⊥BC，,PA∩AC＝A，))?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.答案：47．解析：∵ABCD為正方形，∴AC⊥BO.∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥BB1，又BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O.∵EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.答案：垂直8.證明：如圖，連接PE，EC，∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，∴PA⊥AD，PA⊥AB，CD⊥AD.在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，∴PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中點，∴EF⊥PC.又∵AP＝2，AB＝2，∴PB＝2eq\r(2)＝BC，△PBC為等腰三角形．又∵F為PC中點，∴PC⊥BF，又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.9．解析：(1)證明：∵∠APE＝∠APF＝90°，即AP⊥PE，AP⊥PF,PE∩PF＝P，PE，PF?平面PEF，∴PA⊥平面PEF，又EF?平面PEF，所以AP⊥EF.(2)由(1)知PA⊥平面PEF，∴VP-AEF＝VA-PEF＝eq\f(1,3)S△PEF·AP＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×2＝eq\f(1,3).10．解析：(1)證明：設BC邊中點是E，連接DE，SE.因為△SBC是等邊三角形，所以SE⊥BC，又由已知得△DBC是等邊三角形，所以DE⊥BC，又DE∩SE＝E，所以BC⊥平面SDE，所以BC⊥SD.(2)因為△SBC是邊長為2的等邊三角形，所以SE＝eq\r(3)，同理DE＝eq\r(3)，又SD＝2，所以S△SDE＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2)，又由(1)知BC⊥平面SDE，所以VS-BCD＝eq\f(1,3)S△SDE·BC＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×2＝eq\f(2\r(2),3)＝VS-ABD，所以VS-ABCD＝2VS－BCD＝eq\f(4\r(2),3).又易知三棱錐S-BCD是正四面體，所以S在底面BCD上的射影H為△BCD各邊中線的交點，且為△BCD的重心，所以H在AC上，由勾股定理，SA＝eq\r(SH2＋AH2)，又CH＝eq\f(2,3)OC＝eq\f(2,3)eq\r(3)(其中O為AC與BD的交點)，所以SH＝eq\f(2,3)eq\r(6)，AH＝eq\f(\r(3),3)＋eq\r(3)＝eq\f(4,3)eq\r(3)，所以SA＝2eq\r(2)，所以SD2＋AD2＝SA2，所以SD⊥A