高二理科數(shù)學(xué)暑期講義第9講空間中的垂直關(guān)系教師版

第9講空間中的

-------垂直關(guān)系

滿分晉級(jí)

|9.1線面垂直

噩知識(shí)點(diǎn)睛

1.線線垂直：如果兩條直線相交于一點(diǎn)或經(jīng)過平移后相交于一點(diǎn)，并且交角為直角，則稱這兩條直線

互相垂直.由定義知，垂直有相交垂直和異面垂直.

2.直線與平面垂直：

①定義：如果一條直線和一個(gè)平面相交于點(diǎn)O,并且和這個(gè)平面內(nèi)過交點(diǎn)的任何直線都垂直，則稱

這條直線與這個(gè)平面互相垂直.

這條直線叫做平面的垂線，這個(gè)平面叫做直線的垂面，交點(diǎn)叫垂足.

如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直./

畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一邊垂/一7

直，如右圖.直線/與平面a互相垂直，記作/_La.--------------/

〈教師備案〉定義中的“任何直線”這一詞與“所有直線”是同義詞，定義的實(shí)質(zhì)是這條直線和平面內(nèi)

的所有直線垂直.這樣就用線線垂直關(guān)系規(guī)定了線面垂直.注意這里的“任何直線”不能

改成“無(wú)數(shù)條直線”.

由定義可以知道，如果我們需要說(shuō)明兩條異面直線垂直，則只需要說(shuō)明一條直線垂直于過

另一條直線的一個(gè)平面即可.

過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知平面垂直；過一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知直線垂直.

例：若直線。與平面a不垂直，則在平面a內(nèi)與直線。垂直的直線(B)

A.只有一條B.有無(wú)數(shù)條C.是平面a內(nèi)的所有直線D.不存在

②判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直.

推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.

〈教師備案〉線面垂直的判定定理把定義中的與任意一條直線垂直這個(gè)很強(qiáng)的命題，轉(zhuǎn)化為只需證明與

兩條相交直線垂直這個(gè)問題，從而大大簡(jiǎn)化了線面垂直的判斷.

要證明判定定理，只能用定義，

若/WJ-m,m\\n=B,m,n(z.a,

要證A4'_La,

在平面a內(nèi)任選一條直線/,去證A4'_L/,

結(jié)合下圖，通過全等三角形的證明可得到，從而得到判定定理，具體的證法略.

③性質(zhì)定理：如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.

〈教師備案〉線面垂直的性質(zhì)定理，可以用同一法證明，

如圖：直線m\_a,若直線/,加不平行，則過直線,”與平

面a的交點(diǎn)8作直線加〃/,從而有m'JLa.

又相交直線m,而可以確定一個(gè)平面)，記a/3=a,則因?yàn)?/p>

m,加都垂直于平面a,故加，加都垂直于交線a.這與在一個(gè)

平面內(nèi)，過直線上一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直相矛

盾.故777,加重合，〃?〃/,性質(zhì)定理得證.

由同一法還可以證明：過一點(diǎn)與已知平面垂直的直線只有一條.

一

0需?經(jīng)典精講

考點(diǎn)1:線面垂直的概念辨析

【例1】★下列命題正確的有.

⑴如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直；

⑵垂直于三角形兩邊的直線必垂直于第三邊；

⑶如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面；

⑷過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線.

⑸若一條直線平行于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面的直線必垂直于這條直線.

(6)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則垂直于這條直線的另一條直線必平行于這個(gè)平面.

⑺若一條直線平行于一個(gè)平面，則它和這個(gè)平面內(nèi)的任何直線都不垂直.

⑻平行于同一個(gè)平面的兩條直線可能垂直.

【解析】⑵⑶⑸⑻.

108

考點(diǎn)2：線面垂直的判定

【鋪墊】在底面為矩形的四棱錐中，ABL底面BCDE,

求證：(DC。_L平面ABC；(2)DELAE.

【解析】⑴；AB上底面BCDE,CDu平面ABCD,

AB±CD,

"：底面ABCD為矩形，；.CD工BC,

又4?BC=B,

，8_L平面ABC.

⑵同⑴可證明。El,平面ABE,

又AEu平面ABE,

，DELAE.

【例2】*★如圖，已知P為△ABC外一點(diǎn)，PO_L平面ABC,垂足為O,

若R4_L3C,PBVAC,

求證：(1)3。_1平面4。尸；(2)PC±AB.

【解析】⑴：PO_L平面ABC,BCu平面ABC,

，POLBC;

又以_L8C,A4u平面AOP,POu平面AOP,PAPO=P,

BCJ.平面AOP;

⑵...AOu平面AOP,由⑴知，BC1AO-.

同理有ACJ■平面BOP,AC1.BO.

，O為八43。的垂心，仄而COLAB.

與⑴同理有PO_LAB,POu平面COP,COu平面COP,POco=o,

平面COP,PCu平面COP,

PCrAB.

【例3】★★如圖所示，S為A4BC所在平面外一點(diǎn)，且&4=SB=SC,AB±BC,。為AC的中點(diǎn),

連結(jié)SO,BD.

⑴求證：SD_L平面ABC；

⑵若直角邊84=8C,求證：5。_L平面SAC.

【解析】(1)在等腰△S4C中，。為AC中點(diǎn)，SDJ_AC.

法一:

又：八4BC為直角三角形，

,AD=DC=BD,

：.△S4￡>絲△S8D絲A5CD,

:.SDYBD.

又：8Ou平面ABC,ACu平面ABC,BDAC=D,

：.sr>_L平面ABC.

法二：

取AB中點(diǎn)E,連DE、SE.

'：AD=BD,：.DE±AB；

VSA=SB,：.SEJ.AB^

又：Z)Eu平面SE￡),SEu平面SEE>,DESE=E,

，AB_L平面SEP,SDu平面SED,：.ABJ.SD.

又：ABu平面ABC,ACu平面ABC,ABAC=A,

S￡>J_平面ABC.

(2)VBA=BC,：.BD±AC.

又；SO_L平面ABC,:.SDLBD.

"：SDAC=D,8￡>_L平面SAC.

9.2面面垂直

知識(shí)點(diǎn)睛

i.定義:

如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相

垂直，就稱這兩個(gè)平面互相垂直.

〈教師備案〉如右圖：s/3=CD,CO_Ly,ay=AB,/3\y=BE,ABA.BE,

則稱a_L?.

關(guān)于面面垂直的定義，人教A、B版的的定義是不一樣的，我們這里采

用的是B版的定義，A版的定義方式是引入二面角，進(jìn)而用直二面角來(lái)

定義兩個(gè)平面垂直.

2.判定定理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的一條垂線，則兩個(gè)平面互相垂直.

〈教師備案〉判定定理即：已知AB_L￡,AB\P=B,ABcza,則夕上夕.

證明如下：（我們的依據(jù)只有面面垂直的定義，所以應(yīng)作出與交線垂直的平面，進(jìn)而說(shuō)明形

成的交線垂直）

aP=a,則8wor,

VAB1/3,au4，AAB±a,

在平面/內(nèi)過點(diǎn)8做BC_La,則“_L平面ABC,

VAB1J3,BCu/3,則

:.a,。.

例：如圖，R4_L平面ABC,ZABC=90°,則圖中互相垂直的平面有—4—對(duì).

經(jīng)典精講二

考點(diǎn)3：面面垂直的判定

【鋪墊】在正方體ABC。—A4GA中，證明：平面A4,GC_L平面88QQ.

【解析】?..在正方體ABCO-AgG.中，

有AG1BR,BB,_L平面A4GA,

...BBl±AC，則AGJ■平面BBXDXD,

又AGu平面AA^QC,則平面A4IC|CJ■平面BBRD.

110

【例4】?★如圖，45為。的直徑，。所在平面為a,尸4_1_a于A，C為<0上異于力，3的

一點(diǎn)，求證：平面期C_L平面尸8c.

【解析】：叢_1￡于4,BCua,則E4_LBC,

?:AB為。的直徑，C為O上異于A,B的一點(diǎn)、,

：.ZACB=90°,即ACJ_8C,

8c，平面PAC,

又BCu平面PBC,

：.平面PAC_L平面PBC.4--------------------------

提高班學(xué)案1

【拓1】在三棱錐S-ABC中，SO_L平面ABC,O為△ABC的垂心，求證：5

平面SOC±平面SAB./K

【解析】?.?50_1平面48。，；.50,48,/：\\

。為ZVIBC的垂心，則COJLAfi,八/；\

則AB，平面SOC,

而A8u平面SAB,B

，平面SOC_L平面SAB.

尖子班學(xué)案1

【拓2】已知在正方體ABCD-ABCA中，E,尸分別是棱4烏，CD的中點(diǎn)，DF

求證：平面ABC；"_L平面A￡C1F.

【解析】連接砂，CB,,“侍jK

'：E,尸分別是正方體A8C￡>-A&GR棱AA，8的中點(diǎn)，\'、j

:.CF〃EB、,CF=EB，,則CFEB1為平行四邊形，

EF〃CB、,E

VCB,±C,B,:.EFLC、B,

又：ABJ_平面BCC,B},C4u平面BCC、B、,

：.ABJ_Cg,即EFJ_AB,

而A8CtB=B,，￡F_L平面ABC；.,

,/EFu平面AECF,

，平面A8CQ|_L平面AECtF.

目標(biāo)班學(xué)案1

【拓3】在正方體ABC。—A4GA中，E是棱DR的中點(diǎn)，求證：平面E4cl.平面A4c.

【解析】連接B￡）交AC于O,連接EO,B0,

■:處=近=叫■，且NEDO=NOBBi=90。,D.

DEBOJ---

???4EDOS^OBB、,AZ_±—±/

：.AEOD=/OB、B,即ZEOD+ZB]OB=90°,

???EOVOB,t

VAC±BD9AC±BB.9A1B

???AC上平面BBQQ,

而平面BBQQi平面AEC=EO,平面88QO平面48(=80,

平面E4CJL平面ABC.

知識(shí)點(diǎn)睛

3.性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.

〈教師備案〉性質(zhì)定理即：已知a_L?,a0=a,ABcza,A8_La于3,則A8_L￡.

在平面月內(nèi)過點(diǎn)3做8C_La,

由于A8_La,則a_L平面/WC,

,：aip,：.ZABC=90°,

即ABJ.BC,又AB_La,

二AB1J3.

經(jīng)典精講

考點(diǎn)4：面面垂直的性質(zhì)

【例5】*★在直角梯形ABCD中，AD//BC,ADVAB,ZBCD=45°,AD=AB,將△ABD沿對(duì)

角線9折起，折起后點(diǎn)A的位置記為尸，且使平面尸血)_L平面88.

證明：⑴PBLCD；(2)平面PBC_L平面PDC.

【解析】⑴依題意可知N8QC=90。，即a>_LBZ),

?平面PB￡)J_平面3c力，且交線為班>,

C￡)_L平面PBD,

'：PBu平面PBD,

：.PBLCD.

(2)'：PBLPD,PBLCD,CDPD=D

P5_L平面PCD,

PBu平面PBC,

二平面PBC_L平面尸DC.

112

?L實(shí)戰(zhàn)演練

【演練1】已知兩條直線機(jī)，n,兩個(gè)平面a,尸，給出下面四個(gè)命題：

@m//n,mLa=>nLa；?a//j3,mcza,n<^j3=>m//n；

③n、m”a=nJ/a：④a〃4，，”〃”,，〃_Lan〃_L力；

其中正確命題的序號(hào)是（）

A.①③B.②④C.①④D.②③

【解析】C；

【演練2］到四面體越CZ）四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面共有個(gè).

【解析】7

【演練3】點(diǎn)P是菱形A8a）所在平面外一點(diǎn)，且以=PC,求證：4（7_1平面尸比）.

【解析】為菱形，

AC±BD,

設(shè)A3CD=O,連接PO,

PA=PC,且AO=CO,

POLAC,

'：POBD=O,

/.ACJ_平面PBD.

【演練4】如圖，已知a_L尸，a/3=l,ABcia,ABVI,BCu/3,DEu。,BCA.DE,求證:

ACIDE.

【解析】a1.J3,a/3=1,ABcza>A8J_/,