第十六講等差、等比數(shù)列原卷版

第十六講：等差、等比數(shù)列

【考點(diǎn)梳理】

1.數(shù)列｛??)的前〃項(xiàng)和為s“與通項(xiàng)公式為

Sn=\

｛,n>2,neN

注意：根據(jù)S“求a”時(shí)，不要忽視對(duì)〃=1的驗(yàn)證.

2.等差數(shù)列

(1)如果等差數(shù)列｛對(duì)｝的首項(xiàng)為4,公差為d,那么它的通項(xiàng)公式是q=4+(〃-l)d.

(2)通項(xiàng)公式的推廣：a?=am+(n-m)d(n,meN*).

(3)等差中項(xiàng)

若三個(gè)數(shù)a,A,8成等差數(shù)列，則A叫做a與人的等差中項(xiàng)，且有公士也.

2

(4)等差數(shù)列的性質(zhì)

在等差數(shù)列｛〃〃｝中，當(dāng)加+〃=〃+4時(shí)，〃印+〃〃=4+/(如〃，p,qwN*).

特別地,若加+九=2,貝!Ja.+a”=2q(/n,n,twN").

(5)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式

設(shè)等差數(shù)列｛a“｝的公差為d,其前〃項(xiàng)和S“=na］+若工d=〃("；"").

(6)在等差數(shù)列｛七｝中，若4>0,4<0,則滿足［冊(cè)的項(xiàng)數(shù)機(jī)使得S“取得最大值S,,,；

40

若4<0,d>0,則滿足［冊(cè)’°的項(xiàng)數(shù)m使得S,,取得最小值鼠.

3.等比數(shù)列

(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為4,公比為q(g*0),則它的通項(xiàng)公式

an=a、q"T=c-q"(c=—)(ax,qH0).

q

推廣形式：a?=a?,-q"-m

(2)等比中項(xiàng)：如果a,G,6成等比數(shù)列，那么G叫做a與匕的等比中項(xiàng).

即G是。與b的等比中項(xiàng)□“，G,b成等比數(shù)列口G2=ab.

(3)等比中項(xiàng)的推廣.

2

若加+〃=0+夕時(shí)，則?！?=%必，特別地，當(dāng)/H+九=2。時(shí),aman=ap.

(4)等比數(shù)列的前。項(xiàng)和公式

“4（q=1）

等比數(shù)列｛〃“｝的公比為＜?（qw0）,其前"項(xiàng)和為S"=,q（l-?"）a「a"q

-；=——（q寸1）

Ii-qi-q

【典型題型講解】

考點(diǎn)一：等差、等比數(shù)列基本量運(yùn)算

【典例例題】

例1.（2022?廣東汕頭?一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝的前4項(xiàng)和為15,他，24,

生成等差數(shù)列，則4=（）

A.50-5B.5收+5C.50D.5

例2.（2022?廣東茂名?一模）已知等比數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，公比為0,則下列選項(xiàng)

正確的是（）

A.若$3=4,56=12,則Sg=29B.若q=l,q=j,則S“=4-3”“

C.若見(jiàn)+%=2,%。6=-8,則4+4O=-6D.若q=1,4=4%,則見(jiàn)=2".

【方法技巧與總結(jié)】

等差、等比數(shù)列基本運(yùn)算的常見(jiàn)類型及解題策略：

（1）求公差”公比q或項(xiàng)數(shù)〃.在求解時(shí)，一般要運(yùn)用方程思想.

（2）求通項(xiàng).4和d或q是等差數(shù)列的兩個(gè)基本元素.

（3）求特定項(xiàng).利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式或等差數(shù)列的性質(zhì)求解.

（4）求前〃項(xiàng)和.利用等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式直接求解或利用等差中項(xiàng)間接求解.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?廣東深圳一模）已知等差數(shù)列｛叫的前。項(xiàng)和為5,,,且％=3,5,=25,則數(shù)列

｛4｝的公差〃=.

2.（2022?廣東中山?高三期末）已知｛4｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，且生如=4,設(shè)為該數(shù)列的前〃

項(xiàng)積，則4=（）

A.8B.16C.32D.64

3.（2022?廣東潮州?高三期末）等差數(shù)列｛。,,｝的前n項(xiàng)和"，若$=19,則為+的的值為（）

A.1B.2C.3D.4

4.（2022?廣東汕頭?高三期末）記S“為等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，已知怎=0,4=6,則（）

A.=12-nB.《。=16C.S,,=2〃2-1O”D.兀=50

5.（2022?廣東中山?高三期末）在數(shù)列｛4｝中，?,=2,北二=瘋+e，則數(shù)列｛%｝的通

項(xiàng)公式為.

6.（2022?廣東揭陽(yáng)?高三期末）在等差數(shù)列｛q｝中，卬,，⑼分別是方程/一16》+3=0的兩

個(gè)根，貝°'

7.（2022?廣東潮州?高三期末）設(shè)｛%｝是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，S.是其前。項(xiàng)和.若

%+%%=34,貝ljS5=.

8.（2022?廣東汕尾?高三期末）已知等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和是"，且佝=8，則用=.

9.（2022?廣東珠海?高三期末）等差數(shù)列｛叫前n項(xiàng)和為S“，且4+4=16,5,=81.

（1）求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

I2

（2）設(shè)數(shù)列------的前"項(xiàng)和為7,,若丁“＞三,求”的最小值.

10.（2022?廣東揭陽(yáng)?高三期末）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝中，4=18,%-4=48.

⑴求數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式；

（2）b?=log3^-,求數(shù)列的前“項(xiàng)和5”

2+2J

11.（2022?廣東潮州?高三期末）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前。項(xiàng)和為S“,%=6,%=14.

（1）求數(shù)列伍.I的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S,；

⑵若，求數(shù)歹U｛4｝的前〃項(xiàng)和T?.

22

在①"=25為;②。=氣％；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并求解.

3〃

（注意:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）

12.(2022?廣東東莞?高三期末)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前及項(xiàng)和為5“，且6=17,S4=2的+22.

⑴求數(shù)列應(yīng)｝的通項(xiàng)公式；

(2)在任意相鄰兩項(xiàng)出和為句(4=1,2,3,)之間插入于個(gè)1,使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新

的數(shù)列圾｝，求數(shù)列出｝的前200項(xiàng)的和T2Q0.

13.(2022?廣東汕尾?高三期末)已知等比數(shù)列&｝滿足4=1,4+1是%嗎的等差中項(xiàng).

(1)求數(shù)列僅“｝的通項(xiàng)公式；

(2)記b?=a?+1log2an+l,求數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和S?.

14.(2022?廣東汕頭?高三期末)已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛q｝的前。項(xiàng)和為5,,,且邑=4“%=81.

(1)求數(shù)列僅“｝的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列｛"｝滿足伉=1,當(dāng)〃22時(shí)，b,=-------------,求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和7；

log3a?xlog3??+,

15.(2022?廣東惠州?一模)已知數(shù)列｛%｝,｛2｝滿足勿=4,-(-1)"〃2嗎+4=1,生+4=8,

且數(shù)列低｝是等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式：

(2)設(shè)數(shù)列｛叫的前"項(xiàng)和為7；,若人=｛〃|“4II0且7；4110｝,求集合4中所有元素的和T.

考點(diǎn)二：等差、等比數(shù)列的判定或證明

【典例例題】

例1.(2022?廣東一模)已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝,其前。項(xiàng)和5,滿足可(25“-勺)=1(〃€1<).

(1)求證：數(shù)列｛氏｝是等差數(shù)列，并求出S”的表達(dá)式；

(2)數(shù)列｛。,,｝中是否存在連續(xù)三項(xiàng)4,%，限,使得已,，一，六構(gòu)成等差數(shù)列？請(qǐng)

說(shuō)明理由.

例2.（2022?廣東茂名一模）已知數(shù)列｛4｝,但｝滿足％=殳學(xué)，/,且

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q=2,4=1

（1）求生，4的值，并證明數(shù)列｛4-2｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛g｝,他｝的通項(xiàng)公式.

【方法技巧與總結(jié)】

1.等差、等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列；

2.等差、等比中項(xiàng)證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列。

【變式訓(xùn)練】

1.（多選）（2022?廣東?金山中學(xué)高三期末）已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，公比為4,前〃項(xiàng)

和為S“，下列判斷正確的有（）

為等比數(shù)列為等差數(shù)列

A.B.｛log2a,J

C.｛4+%t｝為等比數(shù)列D.若S“=3"T+「，則，=-：

2.（多選）（2022?廣東深圳?高三期末）已知d為等差數(shù)列｛4｝的公差，S“為其前。項(xiàng)和,

若｛5｝為遞減數(shù)列，則下列結(jié)論正確的為（）

A.數(shù)列｛S,,｝為遞減數(shù)列B.數(shù)列是等差數(shù)列

依次成等差數(shù)列若幾幾則

C.56,S1,D.>0,<0,ScS

3.（多選）（2022?廣東佛山?高三期末）數(shù)列｛%｝中，4=0,%=14+2=?%+2（〃€心.

則下列結(jié)論中正確的是（）

A.0<??<1B.｛|--叫是等比數(shù)列

C.〃8<〃10<〃9D.〃9<〃10<〃8

4.（2022?廣東汕頭一模）已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，3a“=2S,+2〃（"eN）

（1）證明：數(shù)歹U｛a,,+”為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為5.；

（2）設(shè)O=log3（%+1）,證明：原+原+…+屏<L

5.（2022?廣東深圳?一模）已知數(shù)列｛勺｝的首項(xiàng)4=2,且滿足“用+勺=4'3".

（1）證明：｛%-3"｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和S,,.

6.(2022?廣東深圳?高三期末)已知數(shù)列｛〃,,｝滿足q=1,生=2,且an+2=3??+|-2a?(neN").

(1)證明：數(shù)列｛%M-Q｝是等比數(shù)列；

(2)記｛%｝的前。項(xiàng)和為5“，若v〃eN”,均有5,,＜而,，求實(shí)數(shù)4的最小值.

7.(2022?廣東佛山?高三期末)設(shè)S“為等比數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和，邑、S。、S6成等差數(shù)列.

(1)求證：a八%、6成等差數(shù)列；

⑵若4=2,7.是數(shù)列和：；｝的前〃項(xiàng)積，求。的最大值及相應(yīng)n的值.

；生也+g，〃為正奇數(shù)，

8.已知數(shù)列｛an｝滿足2

2(+3”為正偶數(shù).

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(D問(wèn)數(shù)列是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列？說(shuō)明理由；

(2)求證：數(shù)列|是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛4,｝的通項(xiàng)公式.

考點(diǎn)三：等差、等比綜合應(yīng)用

【典例例題】

例1.在口么=4+/+%，口邑=13這兩個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答.

己知正項(xiàng)等差數(shù)列｛4｝滿足出=3,且a2M3+1，%+3成等比數(shù)列.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛￡｝的前n項(xiàng)和為S,,〃=4,，求S,.

注：如果選擇兩個(gè)條件并分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【方法技巧與總結(jié)】

(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列的相互轉(zhuǎn)化：等差數(shù)列通過(guò)指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為正項(xiàng)等比數(shù)列,

正項(xiàng)等比數(shù)列通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列.

(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列的交匯，若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則該數(shù)列

為非零常數(shù)數(shù)列.

【變式訓(xùn)練】

1.已知等差數(shù)列｛4｝公差不為0,正項(xiàng)等比數(shù)列｛〃｝,a2=b2,%=%，則以下命題中正確

的是()

A.B.a5>b5C.D.>,

2.已知數(shù)列｛〃〃｝是公差不為零的等差數(shù)列，｛2｝是正項(xiàng)等比數(shù)歹U，若6=4,%=b7,則()

A.。4=dB.a5<b5C.。8>瓦D.為<優(yōu)

3.已知｛4｝為等差數(shù)列,｛〃｝是公比為2的等比數(shù)列，且電一為=。3-3=包一4.

(1)證明：4=4；

(2)求集合｛%|4=4+4』4^4500｝中元素個(gè)數(shù).

4.已知數(shù)列｛%｝是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列他,｝是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且

r2K

G+〃2=4也+3=。3.設(shè)數(shù)列｛%｝滿足："'〃'太，其中ZcN*,其前"項(xiàng)和為S〃.

也"=2

⑴求為的值.

,11]

(2)若,求證：d+d+dy++d<—.

%一3[218

5.已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列｛叫，的與4的等差中項(xiàng)為8,且4%=28.

⑴求應(yīng)｝的通項(xiàng)公式;

(2)從｛a,,｝中依次取出第1項(xiàng)、第3項(xiàng)、第9項(xiàng)、…、第3"一項(xiàng)，按照原來(lái)的順序組成一個(gè)新數(shù)

歹|」也｝，求數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和

【鞏固練習(xí)】

一、選擇題：

1.若a,b,c,"成等比數(shù)列，則下列三個(gè)數(shù)列：口。+他+*+4；Gab,be,cd；□

必成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

2.已知數(shù)列｛4｝（〃€N"）是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)等差數(shù)列，公差不為0,若4、數(shù)列｛%■｝的第2

項(xiàng)、數(shù)列｛“J的第5項(xiàng)恰好構(gòu)成等比數(shù)列，則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為（）

A.4=2〃-1B.?！?2〃+1C.an=n-\D.an=n+l

3.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“.若6=2,。向=S“，則?=（）

A.297B.298C.2"D.2'00

4.數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，6=1,%=4,命題p：%=2,命題q：為是q、%的等比中項(xiàng),

則。是9的（）條件

A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要

5.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））已知數(shù)列｛4｝滿足4=-2,%=2,a2-2an=1-（-1）",

則下列選項(xiàng)不正確的是（）

A.他,1｝是等比數(shù)列B.Z（%T+2）=70

1=1

1（）

C.他“｝是等比數(shù)列D.Zq=52

/=1

二、選擇題：

6.若數(shù)列｛q｝是等比數(shù)列，則（）

A.數(shù)列是等比數(shù)列B.數(shù)列｛%“｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛%+%｝是等比數(shù)列D.數(shù)列｛珊是等比數(shù)列

7.已知等差數(shù)列｛4｝的公差和首項(xiàng)都不等于0,且％，%，%成等比數(shù)列，則下列說(shuō)法正

確的是（）

%+%+6。=L見(jiàn)+%+4。=3

RC.d=2ci\D.a=2d

%+%3%+/7｝

〃則有（）

8.數(shù)列｛a/?｝的前n項(xiàng)和為Sn,4=tan+i=S2：.（€N*）,

A.Sn=3n1B.｛Sr｝｝為等比數(shù)列