理論力學(xué)整合版

虛位移原理2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)1前言虛位移虛位移原理及其應(yīng)用廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理前言2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)2虛位移原理是分析靜力學(xué)的一個基本原理從力的功出發(fā)直接建立起系統(tǒng)處于平衡時主動力間的關(guān)系–矢量力學(xué)：主動力與約束力間的關(guān)系虛位移原理與達(dá)朗貝爾原理一起構(gòu)成了分析動力學(xué)的基礎(chǔ)分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/前言虛位移2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)3質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動學(xué)關(guān)系的描述實(shí)位移與虛位移獨(dú)立（廣義）坐標(biāo)虛位移分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動學(xué)關(guān)系的描述笛卡兒坐標(biāo)分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移zyxOrkkPnPPiP11

2

n(P

,

P

,,

P

)質(zhì)點(diǎn)Pk笛卡兒坐標(biāo)的矢徑kr質(zhì)點(diǎn)Pk)k

kyk

zkr

=

(xT()q

=

r12T

rTTT

rn質(zhì)點(diǎn)系慣性基O

-

e(k

=1,2,,

n)?

R3n·1外力運(yùn)動q(t)動力學(xué)方程質(zhì)點(diǎn)系笛卡兒坐標(biāo)陣自由質(zhì)點(diǎn)系處理動力學(xué)問題一般方法2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)4分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移zyxOrkkPnPiPP1質(zhì)點(diǎn)系(P1

,

P2

,,

Pn

)()q

=

r1T

rTTT

r2

n質(zhì)點(diǎn)系笛卡兒坐標(biāo)陣?

Rs·1非自由質(zhì)點(diǎn)系外力運(yùn)動q(t)不獨(dú)立Φ(q,t)

=

0約束方程)F

=

(F

1

F

2

FsT動力學(xué)方程約束方程2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)5處理動力學(xué)問題一般方法分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移zyxOkrPkPnPiP1質(zhì)點(diǎn)系(P1

,

P2

,,

Pn

)(

)q

=

rT

rTTT

r1

2

n質(zhì)點(diǎn)系笛卡兒坐標(biāo)陣?

Rs·1非自由質(zhì)點(diǎn)系的獨(dú)立坐標(biāo)不獨(dú)立Φ(q,t)

=

0約束方程TF

=

(F

1

F

2

F

s

)自由度

d

=

3n

-

sTTq

=

(uT

w

)w

?

Rd·1u

?

Rs·1廣義坐標(biāo)獨(dú)立坐標(biāo)非獨(dú)立坐標(biāo)外力運(yùn)動w(t)動力學(xué)方程處理動力學(xué)問題獨(dú)立坐標(biāo)方法約束方程2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)6運(yùn)動u(t)分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移zyxOkrPkPnPiP1質(zhì)點(diǎn)系(P1

,

P2

,,

Pn

)(

)q

=

rT

rTTT

r1

2

n質(zhì)點(diǎn)系笛卡兒坐標(biāo)陣非自由質(zhì)點(diǎn)系約束方程的另一形式不獨(dú)立自由度

d

=

3n

-

sq

=

q(w,

t

)另外定義獨(dú)立（廣義）坐標(biāo)約束方程w

?

Rd·1?

R3n·1外力運(yùn)動w(t)動力學(xué)方程處理動力學(xué)問題獨(dú)立坐標(biāo)方法約束方程2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)7運(yùn)動q(t)分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/例[例]質(zhì)量為m，擺長為l的單擺試描述擺的運(yùn)動OA2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)8EXIT分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/解yOAxy[解]方法1笛卡兒坐標(biāo)q

=

(x

y)T慣性基

O

-

e約束方程動力學(xué)方程FT2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)9EXITF

=

x2

+

y2

-

l2

=

0mx

=

-FT

siny

=

-FT

x

/

lmy

=

mg

-

FT

cosy

=

mg

-

FT

y

/

l方法2

自由度d

=1y約束方程動力學(xué)方程另外定義獨(dú)立（廣義）坐標(biāo)x

=

l

sinyy

=

l

cosyml

2y

=

-mgl

sinymgΦ(q,t)

=

0q

=

q(w,

t

)實(shí)位移與虛位移真實(shí)運(yùn)動分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移外力動力學(xué)方程約束方程實(shí)位移TT2T1nd

q

=

(d

r

d

r

T

d

r

)約束方程2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)10可能位移)T*T21*n*T

d

r

*T d

rd

q

=

(d

r可能運(yùn)動Φ(q,t)

=

0可能位移滿足的方程Φq

d

q

+

Φt

d

t

=

0真實(shí)運(yùn)動q(t)唯一性（初始條件）可能運(yùn)動q*(t)無窮多可能分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)11虛位移可能位移T*T*1

2

n*T

d

r

*T d

r

)d

q

=

(d

r1d

q*

Φ

d

q*

+

Φ

d

t

=

0q

1

tΦ

d

q*

+

Φ

d

t

=

0q

2

t2d

q*2

1dq

=

d

q*

-

d

q*虛位移虛位移滿足的方程Φq

δ

q

=

0虛位移理解為約束方程的等時變分定常約束：虛位移即為可能位移，實(shí)位移為無數(shù)虛位移之一非定常約束：虛位移一般不是可能位移無窮多可能微分Φ(q,t)=0d

Φ

=

Φq

d

q

+

Φt

d

t獨(dú)立坐標(biāo)虛位移2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)12描述1分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移自由度

d

=

3n

-

sq

=

(uTw

T

)Tu

?

Rs·1獨(dú)立（廣義）坐標(biāo)δ

u

=

-Φ-1Φ

δ

wu

wΦq

d

q

+

Φt

d

t

=

0?

Rs·1Φ(q,t)

=

0約束方程()q

=

r1T

rTTT

r2

n?

R3n·1非獨(dú)立坐標(biāo)qΦ

δ

q

=

0=

0

w(Φu

Φ

)δ

w

δ

u

非獨(dú)立坐標(biāo)與獨(dú)立坐標(biāo)虛位移間關(guān)系w

?

Rd·1約束方程微分分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移描述22021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)13另外定義獨(dú)立（廣義）坐標(biāo)q

=

q(w,

t

)

?

R3n·1d

q

=

qw

d

w

+

qt

d

tδ

q

=

qw

δ

ww

?

Rd·13n·sqw

?

R約束方程約束方程微分分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/例[例]質(zhì)量為m，擺長為l的單擺求擺笛卡兒坐標(biāo)與獨(dú)立坐標(biāo)虛位移的關(guān)系OA2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)14EXIT分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/解yOyAx[解]

方法1

慣性基

O

-

e2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)15EXIT約束方程自由度d

=1另外定義獨(dú)立（廣義）坐標(biāo)y方法2約束方程q

=

(x

y)Tδ

y)T笛卡兒坐標(biāo)δ

q

=

(δ

x笛卡兒坐標(biāo)虛位移等時變分F

=

x2

+

y2

-

l2

=

0δF

=

2x

δ

x

+

2

y

δ

y

=

0定義獨(dú)立（廣義）坐標(biāo)w

=

(y)u

=

(x)非獨(dú)立坐標(biāo)dq

=

=

dxdy

-y

/x

dy1等時變分δy

-

l

siny

l

cosy

δ

x

δ

q

=

=

δ

yx

=

l

sinyy

=

l

cosyδ

x

=

l

cosy

δyδ

y

=

-l

siny

δy笛卡兒坐標(biāo)與獨(dú)立坐標(biāo)虛位移的關(guān)系笛卡兒坐標(biāo)與獨(dú)立坐標(biāo)虛位移的關(guān)系分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/例[例]r曲柄滑塊機(jī)構(gòu)，曲柄長r，連桿長l該機(jī)構(gòu)只有一個獨(dú)立變量令曲柄的轉(zhuǎn)角j為廣義坐標(biāo)l求點(diǎn)A與B的虛位移與廣義坐標(biāo)虛位移的關(guān)系2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)16jAB分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/解[解]O2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)17xy參考基：O

-e方法1（坐標(biāo)法）寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)的關(guān)系jyA

=

r

sin

jdx

=

-r

sin

jdjAxA

=

r

cosj等時變分dyA

=

r

cosjdj寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)的關(guān)系yB

=

0qxB

=

r

cosj

+

l

cosq等時變分δ

yB

=

0附加幾何關(guān)系r

sin

j

-

l

sinq

=

0等時變分δq

=

(r

cosj

/

l

cosq)

δfδ

xB

=

-r

sin

j

δj

-

l

sinqδqδ

xB

=

-

r

sin(j

+q)

/

cosq]δjAB分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/解Oxy參考基：

O

-

ejd

xA=

-r

sin

j

djd

y

A

=

r

cosj

dj方向設(shè)定BA

AvvA

vA

=

rj方法2（速度法）寫出點(diǎn)A的速度與廣義速度的關(guān)系A(chǔ)

Ax

A=

v

=

-v

sinjxy

A

=

vAy

=

vA

cosjx

A

=

-rj

sinjy

A

=

rj

cosjdxA

=

-r

sin

jdjdyA

=

r

cosjdj2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)182021年6月29日分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移/解Oxy參考基：

O

-

e寫出點(diǎn)B的速度與廣義速度的關(guān)系jBA

AvvB

q219理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)A

Bv

cos(p

-j

-q)

=

v

cosq連桿的長度不可改變，點(diǎn)A與點(diǎn)B的速度矢量在桿上的投影相等q

jBAv

sin(j

+q)

=

v

cosq=

-vA

sin(j

+q)

/

cosqxB

=

vBx

=

-vBd

yB

=

0xB

=

-rj

sin(j

+q)

/

cosqyB

=

0d

xB

=

-

r

sin(j

+q)

/

cosq]djδ

xB

=

-

r

sin(j

+q)

/

cosq]δjδ

yB

=

0虛位移原理與應(yīng)用2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)20分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用原理描述具有雙面理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡的充分必要條件為：系統(tǒng)內(nèi)所有主動力對于質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移所作的元功之和為零，即ndrk

=

0dW

=

Fkak

=1元功dW稱為虛功，故虛位移原理也稱為虛功原理分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)21應(yīng)用討論質(zhì)點(diǎn)系平衡優(yōu)點(diǎn)：直接給出了主動力之間的關(guān)系而無需顧及理想約束力置，系統(tǒng)受到力偶、鉛垂力與水平力，該機(jī)構(gòu)處于

r平衡l求這些主動力(偶)之間的關(guān)系jAB分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用/例[例]FA曲柄滑塊機(jī)構(gòu)。在圖示位FBM2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)22[解]參考基：O

-e以系統(tǒng)為對象qδ

yB

=

0虛功原理M

δj

-

FA

δ

yA

-

FB

δ

xB

=

0rljBFAA分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用/解M2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)23OxFBydx

=

-r

sin

jdjAdy

A

=

r

cosjdjδ

xB

=

-

r

sin(j

+q)

/

cosq]δjM

-

FAr

cosj

+

FB

r

sin(j

+q)

/

cosq]δj

=

0獨(dú)立坐標(biāo)的變分δjM

-

FAr

cosj

+

FBr

sin(j

+q)

/

cosq

=

0分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用/例[例]圖示機(jī)構(gòu)是由8根連桿鉸接成3個相同的菱形。菱形的邊長為b，鉸O固定，鉸A、B與C限定在鉛垂線上運(yùn)動。不計各桿的重量求機(jī)構(gòu)在如圖所示位置處于平衡時，力FA與FC的比BBCFAAOFCj2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)24y分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用/解[解]jBBCxFAAOFC參考基：O

-e一個自由度定義角j為廣義坐標(biāo)(2FAb

cosj

+

6FC

b

cosj

)dj

=

0虛功原理-FAdyA

+

FCdyC

=

0點(diǎn)A與C的坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)虛位移的關(guān)系yA

=

2b

sin

jyC

=

6b

sin

jdy

A

=

2b

cosjdjdyC

=

6b

cosjdj獨(dú)立坐標(biāo)的變分δj2F b

cosj

+

6F b

cosj

=

0CFA

:

FC

=

3

:1A2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)25分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用應(yīng)用：平衡態(tài)理想約束力的計算將待求約束力相關(guān)的約束解除，把該約束力作為主動力處理，從而可得到它與主動力的關(guān)系OOO每次解除一個自由度2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)26BKA2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)27CDIGJFG分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用/例FK[例]Ebb

2b

2bbb圖示一三孔拱橋，不計橋自重，橋上有兩集中載荷求支座C的理想約束力ACDFGFCyy分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用/解[解

]E解除約束C，加上約束反力FCy廣義坐標(biāo)j系統(tǒng)有一個自由度虛功原理FCy

dyC

-

FG

dyG

+

FK

dxK

=

0B

參考基：E

-eGK

FKxj2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)282021年6月29日29分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用/解BACDFGOFCyvGJvIvCvyEFCy

dyC

-

FG

dyG

+

FK

dxK

=

0參考基：E

-e點(diǎn)G、K與C的坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)j

虛位移的關(guān)系（速度法）IGJB11BvI

方向vB

vBvGB2B2瞬時平動vC方向FK3

vK

xjB

瞬心OB3

vJ方向2j

vK

=

xk

=

bjvC

=

vI

=

vJ

=

b=

b

2jvG

=

vIyC=

vC

cos(p

/

4)

=

bjyG

=

-vG

cos(p

/

4)

=

-bj理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用/解BAvBDIvvGJvFGOFCyCvyEFCy

dyC

-

FG

dyG

+

FK

dxK

=

02021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)30參考基：E

-eIGJB1B2FK3

vK

xjB

vK

=

xk

=

bjyC=

vC

cos(p

/

4)

=

bj=

-bdjCdxK

=

bdj

dyC

=

bdj

dyGyG

=

-vG

cos(p

/

4)

=

-bj(FCy

+

FG

+

FK

)dj

=

0FCy

+

FG

+

FK

=

0FCy=

-(FG

+

FK

)小結(jié)2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)31寫出主動力的虛功的表達(dá)式通過運(yùn)動學(xué)的關(guān)系作等時變分，得到各點(diǎn)的虛位移與獨(dú)立坐標(biāo)變分的關(guān)系式坐標(biāo)法速度法代入虛功的表達(dá)式，得到只含獨(dú)立坐標(biāo)變分的等式得到了主動力的關(guān)系分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/虛位移原理與應(yīng)用廣義力

質(zhì)點(diǎn)系平衡條件2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)32廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件計算廣義力的方法勢力場中質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件廣義力分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件質(zhì)點(diǎn)系(P1

,

P2

,,

Pn

)()q

=

r1

2T

rTTT

rn質(zhì)點(diǎn)系笛卡兒坐標(biāo)陣不獨(dú)立自由度

d

=

3n

-

sq

=

q(w,

t

)w

?

Rd·1定義獨(dú)立（廣義）坐標(biāo)約束方程zyxOrkkPnPPiP1rk

=

rk

(w,

t)2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)33T1dw2

w

)w

=

(w(k

=1,,

n)分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件()q

=

r12T

rTTTn廣義坐標(biāo)約束方程zyxOkrkPnPPiP1kr

=

r

(w,

t)kdj

k

k

δ

wj

=1

?w

j?rδ

r

=nndrk

=aTk

=1F

drkaT1

2d

rw

=

(w

w

w

)nj

kQ

=k

=1aTk?wj?r

FQj

dwjdW

=j=1d(j

=1,,d

)(k

=1,,

n)njdw

j

k

=1j

=1aTd?w

kk

=1?rk=

Fkjn

k

kdwj

=

d?w

j

=1

k

=1aT?rF笛卡兒坐標(biāo)陣等時變分kF

a主動力的虛功dW

=

Fk2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)34令分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件()q

=

r12T

rTTTn廣義坐標(biāo)約束方程zyxOkrkPnPPiP1rk

=

rk

(w,

t)T1

2d

rw

=

(w

w

w

)njQ

=j

kk

=1aT?w?rkFdW

=

Qj

dwjdj=1(j

=1,,d

)(k

=1,,

n)笛卡兒坐標(biāo)陣kF

a主動力的虛功2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)35作用于系統(tǒng)所有主動力關(guān)于廣義坐標(biāo)wj

的廣義力廣義力的量綱取決于廣義坐標(biāo)的量綱當(dāng)wj為長度時，Qj為力量綱當(dāng)wj為角度時，Qj為力偶量綱2021年6月29日xyjBBCFAAOFCδW

=

(2FAb

cosj

+

6FC

b

cosj

)djQjqljBFAA分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件/例FBMOx[例]yrδW

=

M

-

FAr

cosj

+

FB

r

sin(j

+q)

/

cosq]δjjQ36理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)2021年6月29日37理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)質(zhì)點(diǎn)系平衡條件分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件虛位移原理dW

=

Qj

dwj

=

0j=1dQj

=

0(j

=1,,d

)具有雙面理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，其平衡的充分必要條件為所有關(guān)于廣義坐標(biāo)的廣義力均為零2021年6月29日xyjBBCFAAOFCδW

=

(2FAb

cosj

+

6FC

b

cosj

)djQj

=

0qljBFAA分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件/例FBMOx[例]yrδW

=

M

-

FAr

cosj

+

FB

r

sin(j

+q)

/

cosq]δjQj

=

038理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)2021

6

29計算廣義力的方法方法1列出所有主動力的虛功根據(jù)約束方程推導(dǎo)虛位移與廣義坐標(biāo)虛位移的關(guān)系進(jìn)行廣義坐標(biāo)虛位移的同類項(xiàng)合并，即得到關(guān)于各廣義坐標(biāo)的廣義力方法2取某廣義坐標(biāo)的變分dwj，令其他廣義坐標(biāo)的變分為零計算由于該變分引起的各主動力所作的元虛功dWj分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件j年月日j39理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)jdWdwQ

=分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件/例[例]圖示一雙擺，擺長分別為l1與l2，質(zhì)量分別為m1與m2在擺端B上受到一水平力求系統(tǒng)平衡時，雙擺的位形OABF2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)40EXIT分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件/解[解]1質(zhì)心C

坐標(biāo)OFxy1j2jm2

g

Bm1

gC2C1參考基：O

-

eT1r1

=

(x1

y

)r1rB

r2A2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)41EXITT2TBr2

=

(x2

y

)rΒ

=

(xB

y

)主動力的虛功dW

=

m1gdy1

+

m2

gdy2

+

FdxB系統(tǒng)有兩個自由度取廣義坐標(biāo)j1

j22質(zhì)心C

坐標(biāo)點(diǎn)B坐標(biāo)分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件/解求廣義力OABxyj1j22CC1參考基：O

-

e令j1Qδj1

?

0

δj2

=

0δ

r1δ

r2δ

rBδ

rA

δ

r2

=

δ

rB

=

δ

rA主動力的虛功1δj11

2

1

1

11

121jj1

sin

j

-

m

gl

sin

j

+

Fl

cosj

dm

gldW

=

-Q

=

-

m1

gl1

sin

j

-

m

gl

sin

j

+

Fl

cosj2ldr1

=

1

dj1=

dr

=

l1dj1Adr2

=

drB1

1112sin

jdjldy

=

-dy2

=

-l1

sin

j1dj1dxB

=

l1

cosj1dj1dW

=

m1gdy1

+

m2

gdy2

+

FdxB121111j122021年6月29日42EXIT理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件/解求廣義力OABxyj1j2C2C1參考基：O

-

e令j2Qδj1

=

0δj2

?

0δ

r12δ

rδ

rBδ

rA主動力的虛功2δj

222j22

2+

Fl

cosj

djm

gldW

=

-

2 2

sin

j+

Fl

cosjQ

=

-

m2

gl2

sin

j1dr

=

02drB

=

l2dj2222djldr

=1dy

=

02122sin

j2

djldy

=

-dxB

=

l2

cosj2dj2dW

=

m1gdy1

+

m2

gdy2

+

FdxB222j22021年6月29日243EXIT理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/廣義力質(zhì)點(diǎn)系平衡條件/解2m2

gl2sin

j2

+

Fl2

cosj2Qj

=

-2平衡條件OFxyj12jm2

g

Bm1

gC2C1r1rB

r2A1111

12m

gl+

Fl

cosjsin

j1

-

m2

gl1

sin

jQj

=

-1j2Qj

=

0

Q

=

01212

1

1

111

1-sin

j

-

m

gl

sin

j

+

Fl

cosj

=

0m

gl222-

m2

gl2

sin

j

+

Fl

cosj

=

02Fj1

=

arctan

m

g

+

2m

g2F1222021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)44EXITj2

=

arctan

m

g2平衡位形勢力場中質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)45勢力場質(zhì)點(diǎn)系平衡條件平衡穩(wěn)定性分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性勢力場質(zhì)點(diǎn)系平衡條件廣義力TTkkk=

k

k

k

k=

k

k=

(U

)T

?x

?y

?z

?U

?U

?U

?U

?rF

ak

rk

njkjQ

=k

=1

?U

k

?rk?r

?wUk

=

Uk

(rk

)zyxOkrkPnPPi1分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性PkF

a質(zhì)點(diǎn)系有勢力勢函數(shù)kF

a(P1

,

P2

,,

Pn

)主動力njkjQ

=k

=1aT?w?rkF(k

=1,,

n)(j

=1,,d

)=2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)46njk

=1?w

?U

k分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性jnQ

=

k

=1?U

kknU

(q)

=

U

(q)k

=1jj?wUk

=

Uk

(q)zyxOkrkPnPPiP1kF

a(P1

,

P2

,,

Pn

)Uk

=

Uk

(rk

)2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)47質(zhì)點(diǎn)系勢函數(shù)j

jUn

kk

=1?w

?w=

?j?wjQ

=

-

?V

或()q

=

r1

2T

rTTT

rnU

(q)

=

-V

(q)Q

=

?U

(j

=1,,d

)廣義力平衡條件2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)48分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性?V

=

0?wj在勢力場中，質(zhì)點(diǎn)系在平衡位形處的勢能取極值?U

=

0?w

jQj

=

0(j

=1,,d

)(j

=1,,d

)或平衡穩(wěn)定性分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性定義當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系在某平衡位形處受到微小擾動時，其位形只在平衡位置附近運(yùn)動而不產(chǎn)生明顯的偏離，則稱為該平衡位形是穩(wěn)定的，否則稱為不穩(wěn)定在實(shí)際問題中只有穩(wěn)定的平衡位形才可能存在穩(wěn)定不穩(wěn)定2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)49分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性拉格朗日-狄利克雷(P.

G.

L. Dirichlet)定理若質(zhì)點(diǎn)系在平衡位形上的勢能具有極小值，則該平衡位形是穩(wěn)定的李亞普諾夫(A.

M.

Lyapunov)定理若質(zhì)點(diǎn)系在平衡位形上的勢能取極大，則平衡位置不穩(wěn)定穩(wěn)定2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)50不穩(wěn)定分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性多元函數(shù)極值判斷的一些結(jié)論單自由度系統(tǒng)=

02021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)51?w

w=w*?VV

=

V

(w)w

=

w*平衡位形若勢能V(w)的不等于零的最低階導(dǎo)數(shù)是偶數(shù)階V(w*)取極小平衡位位形w=w*為穩(wěn)定在w=w*為正在w=w*為負(fù)V(w*)取極大平衡位位形w=w*為不穩(wěn)定1=

0w

=w*?V

?w分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性兩自由度系統(tǒng)V

=

V

(w1，w2

)T2*

*1*ww

=

w

=

(w

)平衡位形V(w*)取極小平衡位位形w=w*為穩(wěn)定如果2=

0w

=w*?V

?w1>

0w=w*?w2?

2V2w

=w*?w2?

2V12021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)522>

0>

0

1

2-2

w=w*?w

?w?w

?w2

?

2V

?

2V

?

2V分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性/例[例]一質(zhì)量為m的小球A套在一半徑為r的圓環(huán)上，圓環(huán)平面在鉛垂平面內(nèi)。小球可在環(huán)上滑動，不計摩擦小球通過一線彈簧與環(huán)上的B相連。彈簧剛度為k

(令kr

>mg)，原長為l0求小球的平衡位置，且討論其穩(wěn)定性AB2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)53EXIT分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性/解[解]dV

=

4r(kr

-

mg)

sinj(b

-

cosj

)=

0012k

(2r

cosj

-

l

)2V

=

-2mgr

cos2

j

+求平衡位置sin

j

=

0參考基：一個自由度j兩個勢力場O

-

e重力場線彈性力場2V

=

1

ks2V

=

-mgz系統(tǒng)勢能cosj

=

bj1

=

02j

=

cos-1

b3j

=

-cos-1

bkl02(kr

-

mg)b

=1dj平衡位置b

?

10

<

b

<1

j

=

0xyAB2j3jj1j2021年6月29日理論力學(xué)CAI

分析力學(xué)基礎(chǔ)54EXIT分析動力學(xué)基礎(chǔ)/虛位移原理/勢力場質(zhì)點(diǎn)系平衡條件與穩(wěn)定性/解穩(wěn)定性討論j

=

j1

=

0djdV

=

4r(kr

-

mg)

sin

j(b

-

cosj

)=

02dj

2=

4r(kr

-

mg)(b

cosj

+1

-

2

cos

j

)d2

Vd2

Vj

=0dj

2平