2022-2023學(xué)年上海市楊浦區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年上海市楊浦區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共4小題，共18.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.在長方體ABCD?A1A.CD B.BA C.DC2.如圖，已知球O的半徑為5，球心O到平面α的距離為3，則平面α截球O所得的小圓O1的半徑長是(

)A.2

B.3

C.32

3.下列命題：

①底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；

②各側(cè)棱的長都相等的棱錐是正棱錐；

③各側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐．

其中真命題的個數(shù)是(

)A.0 B.1 C.2 D.34.小李購買了一盒點心，點心盒是長方體，長、寬、高分別為30厘米、20厘米和10厘米，商家提供絲帶捆扎服務(wù)，有如圖所示兩種捆扎方案(粗線表示絲帶)可供選擇，免去手工費，但絲帶需要按使用長度進(jìn)行收費.假設(shè)絲帶緊貼點心盒表面，且不計算絲帶寬度以及重疊粘合打結(jié)的部分.為了節(jié)約成本，小李打算選擇盡可能使用絲帶較短的方案，則小李需要購買的絲帶長度至少是(

)

A.80厘米 B.100厘米 C.120厘米 D.140厘米二、填空題（本大題共12小題，共54.0分）5.拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)是6.拋擲一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，得點數(shù)6的概率是______．7.半徑為1厘米的球的表面積為______平方厘米．8.正方體ABCD?A1B1C1

9.雙曲線x22?y210.以C(1,1)為圓心，且經(jīng)過M11.如圖所示，靶子由一個中心圓面Ⅰ和兩個同心圓環(huán)Ⅱ，Ⅲ構(gòu)成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別為0.35，0.30，0.25，則不命中靶的概率是______．

12.“若直線a||平面α，直線b在平面α上，則直線a||直線b”是______命題(填“真”或“假”13.已知一個圓錐的體積為3π，高為3，則該圓錐的母線與底面所成角的大小是______．14.已知A與B是獨立事件，P(A)=0.4，P(B)=0.3，給出下列式子：①P(A15.如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的各條棱長都相等，線段A1B、B1C和

16.已知數(shù)列a1，a2，a3，…，a101的各項均為正整數(shù)，其中a1=a101=4999，對于每個正整數(shù)三、解答題（本大題共5小題，共78.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題14.0分)

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3=4，a6=?32．

18.(本小題14.0分)

已知m∈R，直線l1：2x+y?1=0，直線l2：mx+y+1=0．

(1)19.(本小題14.0分)

某校高二年級共有學(xué)生200人，其中男生120人，女生80人.為了了解全年級學(xué)生上學(xué)花費時間(分)的信息，按照分層抽樣的原則抽取了樣本，樣本容量為20，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)信息繪制了莖葉圖和頻率分布直方圖.由于保存不當(dāng)，莖葉圖中有一個數(shù)據(jù)不小心被污染看不清了(如圖)，頻率分布直方圖縱軸上的數(shù)據(jù)也遺失了．

(1)根據(jù)莖葉圖提供的有限信息，求頻率分布直方圖中x和y的值，指出樣本的“中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、方差、極差”中，哪些已經(jīng)能確定，并計算它們的值；

(2)通過對樣本原始數(shù)據(jù)的計算，得到男生上學(xué)花費時間的樣本均值為30(分)，女生的樣本均值為27.75(20.(本小題18.0分)

如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面邊長為1，高為2，點M是棱CC1上一個動點(點M與C，C1均不重合)．

(1)當(dāng)點M是棱CC1的中點時，求證：直線AM⊥平面B1MD121.(本小題18.0分)

如圖，已知點A(2,1)是橢圓Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一點，頂點C(?2,0)．

(1)求橢圓Γ的離心率；

(2)直線BD交橢圓Γ于B、D兩點(B、D與A不重合)，若直線AB

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：與AB相等的向量有3個，

分別是A1B1，DC，D1C1．

2.【答案】D

【解析】解：如圖所示，C為球面上一點，則OC=5，

球心O到平面α的距離為3，即OO1=3，且OO1⊥O1C，

則小圓O1的半徑長即為O1C，

3.【答案】A

【解析】解：正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐．正棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形．

是正棱錐必須滿足兩個條件：(1)底面是正多邊形(2)過頂點作底面垂線，垂足為底面正多邊形中心．

①底面是正多邊形的棱錐是正棱錐；頂點在底面是射影，不一定是底面正多邊形的中心；

②各側(cè)棱的長都相等的棱錐是正棱錐；底面不一定是正多邊形；

③各側(cè)面是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐．反例：如圖所示的三棱錐，不滿足正棱錐的定義；

故選：A．

利用正棱錐的定義，判斷正誤即可．4.【答案】B

【解析】解：在捆扎方案一中，設(shè)點心盒是長方體ABCD?A1B1C1D1，如圖：

絲帶從棱AD上的點G出發(fā)，沿著長方體的各個表面繞行一圈回到G點進(jìn)行捆扎，

現(xiàn)把長方體ABCD?A1B1C1D1從ABCD開始，按照絲帶繞行的順序把長方體的各個面展開，如圖所示：

則線段GG1即為最短路徑，即為所需絲帶的最短長度，

易知HG1=80，HG=60，所以GG5.【答案】(1【解析】【分析】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意分析拋物線的開口方向．

根據(jù)題意，由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得拋物線的焦點在x軸正半軸上，且p=【解答】解：根據(jù)題意，拋物線y2=4x的開口向右，其焦點在x軸正半軸上，

且p=2，p2=1

6.【答案】16【解析】解：拋擲一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子，得到的點數(shù)有：1，2，3，4，5，6，共6種情況，

每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相同，

所以得點數(shù)6的概率是16．

故答案為：16．

利用古典概型的概率公式求解．

7.【答案】4π【解析】解：將半徑為r=1代入球的表面積公式可得S=4πr2=4π8.【答案】45°【解析】解：如圖，連接A1C1，

∵A1B1//AB，

∴∠B1A1C1為異面直線AB與A1C1所成的角，且∠B1A1C1=459.【答案】y=【解析】解：∵雙曲線x22?y24=1，

∴由x22?y24=0，可得雙曲線x10.【答案】(x【解析】解：以C(1,1)為圓心，且經(jīng)過M(2,3)的圓的半徑為：(2?111.【答案】0.10

【解析】解：由題意得，中靶的概率是0.35+0.30+0.25=0.90，

又由射手命中靶與不命中靶為對立事件，

則不命中靶的概率是1?0.90=0.1012.【答案】假

【解析】解：若直線a||平面α，直線b在平面α上，則直線a||直線b或直線a與直線b異面，故命題為假命題．

故答案為：假．

13.【答案】π3【解析】解：如圖為圓錐的軸截面，

因為圓錐的體積為3π，高為3，

所以V=13πOB2?AO=13πOB2?3=3π，

所以O(shè)B=3，

14.【答案】①②【解析】解：∵A與B是獨立事件，P(A)=0.4，P(B)=0.3，

∴P(A?)=1?P(A)=0.6，P(B?)=1?P(B)=15.【答案】π4或arccos【解析】解：以B為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正三棱柱ABC?A1B1C1的各條棱長都為2，

則B(0,0,0),A(0,2,0),C(3,1,0),B1(0,0,2),A1(0,2,2),C1(3,1,2)，

BA1=(0,2,2),B1C=(3,1,?2),C1A=(?3,1,?2)，

設(shè)直線l的方向向量為l=(x,y,z)，直線l與直線A1B，B1C和C1A所成的角為θ，

則有cosθ=|l?BA1||l16.【答案】4900

【解析】解：設(shè)ai?1+ai+12?ai=c.則c∈Z+，

所以ai+1?ai=ai?ai?1+2c．

令di=ai+1?ai(i=1,217.【答案】解：(1)根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

由于a3=4，a6=?32，則a6a3=q【解析】(1)根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a6a3=q318.【答案】解(1)因為l1||l2，所以m2=11≠1?1，求得m=2，

故l1與l2之間的距二d=|1?(?1)|22+12=255．

(2)設(shè)直線l1【解析】(1)由題意，根據(jù)兩直線平行的性質(zhì)，求得m值，再根據(jù)兩平行直線間的距離公式，計算求得結(jié)果．

(2)由題意，根據(jù)直線的法向量的定義、兩直線的夾角公式，先求出m值，可得直線l19.【答案】解(1)由莖葉圖可知，[50,60)的頻數(shù)為1，頻率為120=0.05，∴x=0.0510=0.005，

[20,30)的頻數(shù)為9，頻率為920=0.45，∴y=0.4510=0.045，

根據(jù)莖葉圖信息，樣本的中位數(shù)、眾數(shù)和極差可以確定，

分別為：中位數(shù)為26+272=26.5(分)，眾數(shù)為25(分)，極差為51?15=36(分)

(2)由題意，樣本容量為20的樣本中，男生有12人，女生有8人．

【解析】(1)根據(jù)莖葉圖的分布及頻率分布直方圖的性質(zhì)，可求出相應(yīng)的特質(zhì)中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、方差和極差；

(2)20.【答案】解：(1)證法一：∵AM=3，B1M=2，B1A=5，

∵B1A2=B1M2+AM2，∴AM⊥B1M，

同理可得，AM⊥D1M，

∴直線AM⊥平面B1MD1；

證法二：如圖，以A為原點，AB，AD，AA1的方向為x，y，z軸的正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系．得A(0,0,0)，M(1,1,1)，B1(1,0,2)，D1(0,1,2)，

∵AM=(1,1,1),B1M=(0,1,?1),D1M=(1,0,?1)，

∴AM?B1M=0，AM?D1M=0，

∴AM⊥B1M，AM⊥D1M，

∴直線AM⊥平面BMD，

(2)設(shè)點M=(1,1,t)，(0<t<2)，DM=(1,0,t?2)，

由DM?AB1=0，即1+2(t?2)=【解析】(1)證法一：由B1A2=B1M2+AM2，利用勾股定理的逆定理可得AM⊥B1M，同理可得，AM⊥D1M，利用線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論．

證法二：如圖，以A為原點，AB，AD，AA1的方向為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．利用數(shù)量積運算性質(zhì)可得AM⊥B1M，AM⊥D1M，利用線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論．

(2)設(shè)點M=(1,1,t)，(0<t<2)，DM=(1,0,t?2)，利用DM?AB1=0，解得t，設(shè)AMB1的法向量為n=(x,y,z)21.【答案】解：(1)根據(jù)題意可得a=2(2)2a2+1b2=1c2=a2?b2，解得a=2，b=2，c=2，

所以橢圓的離心率ca=22．

(2)①當(dāng)直線BD不垂直于x軸時，設(shè)直線BD的方程為y=mx+n，直線AB的方程為y?1=k(x?2)，

聯(lián)立y=mx+ny?1=k(x?2)，得(m?k)x=1?2k?n，

由A，B，D不重合，可知m≠k，得xB(D)=1?2k?nm?k，

聯(lián)立y?1=k(x?2)x24+y22=1，得(2k2+1)x2?(42k2?4k)x+(4k2?42k?2)=0，