湖南省婁底市梓門鎮(zhèn)大村中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

湖南省婁底市梓門鎮(zhèn)大村中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則“”是“是以為底角的等腰三角形”的（

）A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充要條件

D．既非充分也非必要條件參考答案：B2.重慶市乘坐出租車的收費(fèi)辦法如下：⑴不超過3千米的里程收費(fèi)10元;⑵超過3千米的里程按每千米2元收費(fèi)（對(duì)于其中不足千米的部分，若其小于0．5千米則不收費(fèi)，若其大于或等于0．5千米則按1千米收費(fèi)）；當(dāng)車程超過3千米時(shí)，另收燃油附加費(fèi)1元．

相應(yīng)系統(tǒng)收費(fèi)的程序框圖如圖所示，其中（單位：千米）為行駛里程，（單位：元）為所收費(fèi)用，用表示不大于的最大整數(shù)，則圖中①處應(yīng)填（

）

B.

C.

D.參考答案：考點(diǎn)：程序框圖；分段函數(shù)；函數(shù)模型的應(yīng)用.3.設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過,若,則橢圓的離心率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及運(yùn)用.【易錯(cuò)點(diǎn)晴】橢圓是圓錐曲線的重要代表曲線之一,也高考和各級(jí)各類考試的重要內(nèi)容和考點(diǎn).解答本題時(shí)要充分利用題設(shè)中提供的有關(guān)信息,運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)和題設(shè)中的條件將問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的值的問題.解答時(shí)充分運(yùn)用題設(shè)條件和勾股定理,通過解直角三角形求得,,然后運(yùn)用橢圓的定義建立方程求得離心率.借助橢圓的定義建立方程是解答好本題的關(guān)鍵.4.已知集合，則A. B. C. D.參考答案：B因?yàn)椋?，故選B.5.執(zhí)行右圖的程序框圖，為使輸出的值小于91，則輸入的正整數(shù)的最小值為（）A．5B．4 C．3D．2參考答案：D程序運(yùn)行過程如下表所示：

初始狀態(tài) 0 100 1第1次循環(huán)結(jié)束 100 2第2次循環(huán)結(jié)束 90 1 3此時(shí)首次滿足條件，程序需在時(shí)跳出循環(huán)，即為滿足條件的最小值，故選D.6.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足（3﹣4i）z=|4+3i|（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A．﹣4 B． C．4 D．參考答案：D考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：把已知等式兩邊同時(shí)乘以，然后利用復(fù)數(shù)模的公式及除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，則答案可求．解答：解：∵（3﹣4i）z=|4+3i|，∴=．∴z的虛部為．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．7.復(fù)數(shù)z滿足z(1??i)??1??2i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(

)A．第一象限

B．第二象限

C.第三象限

D．第四象限參考答案：C略8.已知實(shí)數(shù)x,y滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A、［，5］B、C、D、參考答案：B由題意，畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，又由，因?yàn)榭闯蓤D形上的點(diǎn)和定點(diǎn)產(chǎn)生的斜率，結(jié)合圖象知，當(dāng)取點(diǎn)A點(diǎn)時(shí)，此時(shí)取得最小值，當(dāng)取點(diǎn)B時(shí)，此時(shí)取得最大值，又由，解得，此時(shí)；由，解得，此時(shí)，所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為，最大值為，所以目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是，故選B.

9.從6種小麥品種中選出4種，分別種植在不同土質(zhì)的4塊土地上進(jìn)行試驗(yàn)，已知1號(hào)，2號(hào)小麥品種不能在試驗(yàn)田甲這塊地上種植，則不同的種植方法有（

）

A180

B220

C240

D260參考答案：C10.已知函數(shù)，則f(x)A.只有極大值

B.只有極小值

C.既有極大值也有極小值

D.既無極大值也無極小值參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)，則二項(xiàng)式的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為

參考答案：60略12.函數(shù).給出函數(shù)下列性質(zhì)：⑴函數(shù)的定義域和值域均為；⑵函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；⑶函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；⑷（其中為函數(shù)的定義域）；⑸、為函數(shù)圖象上任意不同兩點(diǎn)，則.請(qǐng)寫出所有關(guān)于函數(shù)性質(zhì)正確描述的序號(hào)

.參考答案：⑵⑷由，解得或。此時(shí)，如圖所示。則⑴錯(cuò)誤；⑵正確；⑶錯(cuò)誤；⑷正確（積分的幾何意義知）；⑸錯(cuò)誤（），故填⑵⑷。13.已知f(x)＝log(x2－ax＋3a)在區(qū)間[2，＋∞)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________.參考答案：a∈(－4,4]

14.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M滿足，則M點(diǎn)的軌跡曲線為

.參考答案：拋物線15.已知為常數(shù)），若對(duì)于任意都有，則方程在區(qū)間內(nèi)的解為__________參考答案：或16.如圖，一張A4紙的長(zhǎng)寬之比為，分別為,的中點(diǎn)．現(xiàn)分別將△,△沿,折起，且,在平面同側(cè)，下列命題正確的是__________．（寫出所有正確命題的序號(hào)）①,,,四點(diǎn)共面；②當(dāng)平面平面時(shí)，平面；③當(dāng),重合于點(diǎn)時(shí)，平面平面；④當(dāng),重合于點(diǎn)時(shí)，設(shè)平面平面，則平面．參考答案： 答案：①②③④【命題意圖】本小題主要考查空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想像能力、推理論證能力、創(chuàng)新意識(shí)等；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想等；考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等．【試題簡(jiǎn)析】①在中，，在中，，所以，所以，同理，則折疊后，平面，平面，又∥,平面與平面有公共點(diǎn)，則平面與平面重合，即四點(diǎn)共面；②由①可知，平面平面，平面平面，當(dāng)平面..//平面時(shí)，得到//，顯然=，所以四邊形是平行四邊形，所以∥；③設(shè)，則，所以，則，又，，所以平面，則平面平面；④由∥，平面，平面，所以∥平面，平面平面，則∥，平面，∥平面.【變式題源】（2017全國(guó)卷Ⅱ·理16）如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D、E、F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐.當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______.17.若指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)(－2,4)，則不等式的解集為

▲

．參考答案：(－1,1)

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.一個(gè)口袋中裝有大小相同的2個(gè)紅球,3個(gè)黑球和4個(gè)白球,從口袋中一次摸出一個(gè)球,摸出的球不再放回.（Ⅰ）連續(xù)摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率；（Ⅱ）如果摸出紅球,則停止摸球,求摸球次數(shù)不超過3次的概率．參考答案：（Ⅰ）從袋中依次摸出2個(gè)球共有種結(jié)果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有種結(jié)果，則所求概率．（Ⅱ）第一次摸出紅球的概率為，第二次摸出紅球的概率為，第三次摸出紅球的概率為，則摸球次數(shù)不超過3次的概率為．或P=

.

略19.（本小題滿分12分）某高校從參加今年自主招生考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取容量為50的學(xué)生成績(jī)樣本，得頻率分布表如下：組號(hào)分組頻數(shù)頻率第一組80.16第二組①0.24第三組15②第四組100.20第五組50.10合

計(jì)501.00(1)寫出表中①②位置的數(shù)據(jù)；(2)為了選拔出更優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在第三、四、五組中用分層抽樣法抽取6名學(xué)生進(jìn)行第二輪考核，分別求第三、四、五各組參加考核人數(shù)；(3)在(2)的前提下，高校決定在這6名學(xué)生中錄取2名學(xué)生，求2人中至少有1名是第四組的概率．參考答案：解：(1)①②位置的數(shù)據(jù)分別為12、0.3；

…4分(2)第三、四、五組參加考核人數(shù)分別為3、2、1；……8分(3)設(shè)上述6人為abcdef(其中第四組的兩人分別為d，e)，則從6人中任取2人的所有情形為：{ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef}共有15種．…………9分記“2人中至少有一名是第四組”為事件A，則事件A所含的基本事件的種數(shù)有9種．……………10分所以，故2人中至少有一名是第四組的概率為．……………12分略20.已知?jiǎng)狱c(diǎn)是圓：上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)的連線段的垂直平分線和相交于點(diǎn).（I）求點(diǎn)的軌跡方程；（II）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交軌跡于點(diǎn)，兩點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸不重合.是軌跡上的一點(diǎn)，若的面積是4，試問直線，的斜率之積是否為定值，若是，求出此定值，否則，說明理由.參考答案：（I）由題意，，又∵∴，∴點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，其中，∴橢圓的方程為.（II）設(shè)直線的方程為,聯(lián)立，得∴設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立橢圓方程得或，點(diǎn)到直線的距離.∴，即，解得，∴直線，的斜率之積是定值21.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的最小值；（2）若存在，，使成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（1）（2）【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出導(dǎo)函數(shù)的最大值，從而求出的范圍即可；（2）問題等價(jià)于當(dāng)時(shí)，有，通過討論的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出a的具體范圍即可．【詳解】解：已知函數(shù)的定義域?yàn)?(1)因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故在上恒成立，即當(dāng)時(shí)，.又，故當(dāng)，即時(shí)，.所以，于是，故的最小值為.(2)命題“若存在，使成立”等價(jià)于“當(dāng)時(shí)，有”.由(1)知，當(dāng)時(shí)，，所以.故問題等價(jià)于：“當(dāng)時(shí)，有”①當(dāng)時(shí)，由(2)知，在上為減函數(shù)，則，故.②當(dāng)，時(shí)，，由(1)知，函數(shù)在上是減函數(shù)，，所以，與矛盾，不合題意.綜上，得實(shí)數(shù)a的取值范圍.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．22.如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面的圓周上，BF⊥AE，F(xiàn)是垂足．（1）求證：BF⊥AC；（2）如果圓柱與三棱錐A﹣BCE的體積比等于3π，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．參考答案：考點(diǎn)：二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間向量及應(yīng)用．分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)可得：AB⊥CE，利用圓的性質(zhì)可得BE⊥CE，于是CE⊥平面ABE，可得CE⊥BF，利用線面垂直的判定定理即可證明．（2）設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的高為2r；利用圓柱與三棱錐A﹣BCE的體積比等于3π，可得BE?EC=2r2，BE2+CE2=4r2，解得：BE=EC=r．分別以EB、EC所在直線為x軸、y軸，E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系；利用線面垂直的性質(zhì)分別求出平面BAC的法向量，平面CAE的法向量為，利用向量夾角公式即可得出．解答： （1）證明：∵AB⊥平面BEC，CE?平面BEC，∴AB⊥CE，∵BC為圓的直徑，∴BE⊥CE，∵BE?平面ABE，AB?平面ABE，BE∩AB=B．

∴CE⊥平面ABE，∵BF?平面ABE，∴CE⊥BF，又BF⊥AE，且CE∩AE=E，∴BF⊥平面AEC，又AC?平面AEC，∴BF⊥AC．（2）設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的高為2r；V圓柱=πr2?2r=2πr3．VA﹣BEC=BE?EC?2r=?BE?EC?r由題意：圓柱與三棱錐A﹣BCE的體積比等于3π，∴BE?EC=2r2，BE2+CE2=4r2，解得：BE=EC=r．分別以EB、EC所在直線為x軸、y軸，E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系；則E（0，0，0），B（r，0，0），C（0，r，0），A（r，0，2r），=（0，0，2r），=（﹣r，r，﹣2r），=（0，r，0），=（r，0，2r），設(shè)平面BAC的法向量為=（x1，y1，z1），則由⊥