常系數(shù)高階齊次線性微分方程

關(guān)于常系數(shù)高階齊次線性微分方程第1頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式第2頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式n階常系數(shù)齊次線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式(2)的特征方程第3頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根第4頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三1.有兩個不相等的實根兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為特征根為第5頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三2.有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為第6頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三3.有一對共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為特征根為第7頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三第8頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1第9頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三解特征方程為解得故所求通解為例2第10頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為特征根對應(yīng)的特解注1、n次代數(shù)方程恰有n個根。2、屬于不同特征根的解線性無關(guān)。第11頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三注意n次代數(shù)方程有n個根,而特征方程的每一個根都對應(yīng)著通解中的一項,且每一項各一個任意常數(shù).第12頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三特征根為故所求通解為解特征方程為例3第13頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

(見下表)第14頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三第15頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三思考題求微分方程的通解.第16頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三思考題解答令則特征根通解第17頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三練習(xí)題第18頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三練習(xí)題答案第19頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三微分方程的應(yīng)用題第20頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三

例1.

某種飛機(jī)在機(jī)場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機(jī)尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機(jī)迅速減速并停下.

現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī)，著陸時的水平速度為700km/h.經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比（比例系數(shù)為問從著陸點算起，飛機(jī)滑行的最長距離是多？注:kg表示千克，km/h表示千米/小時.第21頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三【分析】本題是標(biāo)準(zhǔn)的牛頓第二定理的應(yīng)用，列出關(guān)系式后再解微分方程即可。【解1】由題設(shè)，飛機(jī)的質(zhì)量m=9000kg，著陸時的水平速度從飛機(jī)接觸跑道開始記時，設(shè)t時刻飛機(jī)的滑行距離為x(t)，速度為v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得又第22頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三由以上兩式得積分得由于故得從而當(dāng)時所以，飛機(jī)滑行的最長距離為1.05km.第23頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三例2

如圖所示，平行與軸的動直線被曲線與截下的線段PQ之長數(shù)值上等于陰影部分的面積,求曲線.兩邊求導(dǎo)得解解此微分方程第24頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三所求曲線為第25頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三答:第26頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三例4

拋物線的光學(xué)性質(zhì)實例:車燈的反射鏡面------旋轉(zhuǎn)拋物面解如圖第27頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三得微分方程由夾角正切公式得