冪級數(shù)及其收斂性

關(guān)于冪級數(shù)及其收斂性1第1頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三21.定義如下形式的函數(shù)項級數(shù)稱為的冪級數(shù),的冪級數(shù).定義稱為冪級數(shù)第2頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三32.收斂半徑和收斂域級數(shù)冪級數(shù)級數(shù)的收斂域第3頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三4證阿貝爾(Abel)(挪威)1802–1829定理1（阿貝爾第一定理）則它在滿足不等式絕對收斂;發(fā)散.收斂,發(fā)散,如果級數(shù)則它在滿足不等式的一切x處如果級數(shù)的一切x處從而數(shù)列有界,即有常數(shù)M>0,使得第4頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三5冪級數(shù)由(1)結(jié)論,這與所設(shè)矛盾.使級數(shù)收斂,則級數(shù)時應(yīng)收斂,但有一點x1適合第5頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三6推論也不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確冪級數(shù)絕對收斂;冪級數(shù)發(fā)散.冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.冪級數(shù)幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域如果冪級數(shù)不是僅在

x=0一點收斂,定的正數(shù)R存在,它具有下列性質(zhì):第6頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三7正數(shù)R稱為冪級數(shù)的規(guī)定問:如何求冪級數(shù)的收斂半徑?定義收斂半徑.收斂區(qū)間.冪級數(shù)(1)冪級數(shù)只在

x=0處收斂,收斂區(qū)間(2)冪級數(shù)對一切x都收斂,收斂區(qū)間收斂區(qū)間連同收斂端點稱為冪級數(shù)的收斂域.第7頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三8證且定理2設(shè)冪級數(shù)的所有系數(shù)冪級數(shù)由正項級數(shù)的比值判別法,第8頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三9收斂半徑冪級數(shù)絕對收斂;發(fā)散,從而發(fā)散.

比值判別法則第9頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三10冪級數(shù)收斂,從而級數(shù)絕對收斂.收斂半徑發(fā)散.收斂半徑則第10頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三11例求下列冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域:解冪級數(shù)第11頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三12收斂.

調(diào)和級數(shù),發(fā)散.收斂域為解冪級數(shù)收斂域收斂半徑第12頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三13解冪級數(shù)第13頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三14級數(shù)為正項級數(shù)因為所以對應(yīng)的數(shù)項級數(shù)也發(fā)散.當x=4時,故收斂域為冪級數(shù)第14頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三15發(fā)散;收斂.故收斂域為解還有別的方法嗎?(0,1].即亦即時原級數(shù)收斂.冪級數(shù)第15頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三16解是缺偶次冪的冪級數(shù).例求函數(shù)項級數(shù)的收斂域.去掉第一項,所以,去掉第一項,級數(shù)處處收斂.定義域為因為第一項lnx的所以,原級數(shù)的收斂域是冪級數(shù)比值判別法第16頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三17例設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑分別為則冪級數(shù)的收斂半徑為()分析冪級數(shù)第17頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三18討論冪級數(shù)的收斂域.解此級數(shù)是缺項的冪級數(shù),作變換,令級數(shù)變?yōu)樗氖諗堪霃疆攜=3時,級數(shù)為發(fā)散.不滿足定理2的條件.冪級數(shù)第18頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三19故y(≥0)的冪級數(shù)收斂域為因此,原冪級數(shù)收斂域為收斂半徑即冪級數(shù)第19頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三20思考確定函數(shù)項級數(shù)的收斂域.解對任意固定的x,即用比較審斂法的極限形式:而級數(shù)是p=x的p–級數(shù),所以,當n充分大時,有發(fā)散.故級數(shù)的收斂域為冪級數(shù)收斂.第20頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三21

解冪級數(shù)練習第21頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三22冪級數(shù)處處收斂.收斂發(fā)散第22頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三231.代數(shù)運算性質(zhì)(1)加減法冪級數(shù)冪級數(shù)的性質(zhì)的收斂半徑各為R1和R2,第23頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三24(2)乘法(其中(3)除法(相除后的收斂區(qū)間可能比原來兩級數(shù)的收斂區(qū)間小得多)冪級數(shù)第24頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三252.和函數(shù)的分析運算性質(zhì)冪級數(shù)定理3（阿貝爾第二定理）內(nèi)閉一致收斂證第25頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三26則其和函數(shù)的端點處收斂,則其和函數(shù)在該端點單側(cè)連續(xù).冪級數(shù)如果冪級數(shù)在收斂區(qū)間證第26頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三27則其和函數(shù)冪級數(shù)第27頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三28冪級數(shù)則其和函數(shù)第28頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三29解(1)求收斂域發(fā)散;收斂.故級數(shù)的求收斂域為例冪級數(shù)收斂半徑第29頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三30(2)求和函數(shù)冪級數(shù)第30頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三31或者冪級數(shù)第31頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三32例求冪級數(shù)的和函數(shù).解容易知道級數(shù)的收斂域冪級數(shù)設(shè)和函數(shù)為s(x),即則有第32頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三33因此,此外,顯然有綜上,冪級數(shù)第33頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三34解例冪級數(shù)第34頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三35逐項求導(dǎo)積分得冪級數(shù)第35頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三36冪級數(shù)第36頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三37解容易知道,例冪級數(shù)第37頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三38練習求的收斂域與和函數(shù).提示解令收斂域為當時,收斂,當時,收斂,冪級數(shù)第38頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三39又設(shè)(逐項求導(dǎo)即可得)和函數(shù)為(逐項求導(dǎo)即可得)設(shè)設(shè)冪級數(shù)第39頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三40

小結(jié)再對和函數(shù)積分(求導(dǎo)),求出原級數(shù)的和函數(shù).求和函數(shù)的一般過程是:首先找收斂半徑,再利用在收斂區(qū)間上冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)可逐項求導(dǎo)(積分),求得新的冪級數(shù)和函數(shù);最后冪級數(shù)第40頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三41冪級數(shù)常用已知和函數(shù)的冪級數(shù)第41頁，講稿共44頁，2023年5月2日，星期三42冪級數(shù)及其收斂性收斂半徑R冪級數(shù)的運算代數(shù)、分析運算性質(zhì)

函數(shù)項級數(shù)的概念冪級數(shù)四、小結(jié)收斂點、收斂域、和函數(shù)