任意角和弧度制

任意角和弧度制

問題：在實際問題中還會遇到其他角．角的定義

角是由平面內一條射線繞其端點從一個位置旋轉到另一個位置所組成的圖形.始邊終邊AOBα頂點

角是平面幾何中的一個基本圖形，角是可以度量其大小的.在平面幾何中，角的取值范圍如何？

1.體操是力與美的結合，也充滿了角的概念．2002年11月22日，在匈牙利德布勒森舉行的第36屆世界體操錦標賽中，“李小鵬跳”——“踺子后手翻轉體180度接直體前空翻轉體900度”，震驚四座，這里的轉體180度、轉體900度就是一個角的概念.

角的形成結果2.

在實際問題中還會遇到其他角．①體操、花樣滑冰、跳臺跳水等比賽中，常常聽到“轉體10800”、“轉體12600”這樣的解說．②鐘表的指針、擰動螺絲的扳手、機器上的輪盤等，它們按照不同方向旋轉所成的角不全是0o～360o范圍內的角.因此，僅有0°～360°范圍內的角是不夠的.我們必須將角的概念進行推廣.

任意角在齒輪傳動中，被動輪與主動輪是按相反方向旋轉的.一般地，一條射線繞其端點旋轉，既可以按逆時針方向旋轉，也可以按順時針方向旋轉.思考1：你認為將一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉60度所形成的角，與按順時針方向旋轉60度所形成的角是否相等？知識探究（一）：角的概念的推廣

思考2：為了區(qū)分形成角的兩種不同的旋轉方向，可以作怎樣的規(guī)定？如果一條射線沒有作任何旋轉，它還形成一個角嗎？

規(guī)定：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角．如果一條射線沒有作任何旋轉，則稱它形成了一個零角.度量一個角的大小，既要考慮旋轉方向，又要考慮旋轉量，通過上述規(guī)定，角的范圍就擴展到任意大小.βB2γAB1αO思考3：對于你能用圖形表示這些角嗎？你能總結一下作圖的要點嗎？

畫圖表示一個大小一定的角:(1)先畫一條射線作為角的始邊，(2)再由角的正負確定角的旋轉方向，(3)再由角的絕對值大小確定角的旋轉量，(4)畫出角的終邊，并用帶箭頭的螺旋線加以標注.思考4：鐘表經(jīng)過4小時，時針與分針各轉

(填度).

思考5：如果你的手表慢了20分鐘，或快了1.25小時，你應該將分鐘分別旋轉多少度才能將時間校準？

－120°，450°.

－120°，-1440°.知識探究（二）：象限角

思考1：為了進一步研究角的需要，我們常在直角坐標系內討論角，并使角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么對一個任意角，角的終邊可能落在哪些位置？

xoy如果角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于如何象限，或稱這個角為軸線角.－50°xyoxyo210°－450°xyo405°xyo－200°xyo

那么下列各角：-50°，405°，210°,-200°，－450°分別是第幾象限的角？思考3：第二象限的角一定比第一象限的角大嗎？象限角只能反映角的終邊所在象限(位置)，不能反映角的大小.思考2：銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90°的角是銳角嗎？

思考4：在直角坐標系中，135°角的終邊在什么位置？終邊在該位置的角一定是135°嗎？xyo探究三：終邊相同的角

思考1：－32°，328°，－392°是第幾象限的角？這些角有什么內在聯(lián)系？－32°－392°xyo328°思考2：與－32°角終邊相同的角有多少個？這些角與－32°角在數(shù)量上相差多少？思考3：終邊在x軸正半軸、負半軸，y軸正半軸、負半軸上的角分別如何表示？

x軸正半軸：α=k·360°，k∈Z；x軸負半軸：α=180°＋k·360°，k∈Z；y軸正半軸：α=90°＋k·360°，k∈Z；y軸負半軸：α=270°＋k·360°，k∈Z.例1判別下列各角是第幾象限的角。(1)4050(2)4880(3)8400(4)-1200

(1)4050=3600+450

而450是第一象限角，所以4050是第一象限角解：(2)4880=3600+1280

而1280是第二象限角，所以4880是第一象限角(3)8400=2×3600+1200

而1200是第二象限角，所以8400是第二象限角(4)-1200=-3600+2400

而2400是第三象限角，所以-1200是第三象限角例2在0°～360°內找出與下列各角終邊相同的角(1)9000(2)-500(3)4250(4)-6700

(1)9000=2×3600+1800

所以9000的角與1800角終邊相同解：(2)-500=-3600+3100

所以-500的角與3100角終邊相同(3)4250=3600+650

所以4250的角與650角終邊相同(4)-6700=-2×3600+500

所以-6700的角與500角終邊相同練習：判別下列各角是第幾象限的角。(1)4180(2)-1150(3)10220(4)-6000

探究四：弧度制一）問題的提出

1、度量角的方法——度分秒制把圓周角分為360等份——1度的角——60等份——1分的角——60等份——1秒的角.2、在同一個圓中，圓心角的大小與它所對的弧長一一對應.

當半徑不同時，同樣大的圓心角所對的弧長不相等.半徑rr1=1r2=2r3=3r4=4弧長L弧長與半徑的比值當n=300時練習:當n=600時呢?可以計算弧長L=3、實驗結果表明：當半徑不同時，同樣的圓心角所對的弧長與半徑的比是常數(shù).稱這個常數(shù)為該角的弧度數(shù).能否用弧長來定義角的大小呢?二)1弧度角的定義我們把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角。單位符號是rad,讀作弧度弧度把角度單位與長度單位統(tǒng)一起來.三）弧度數(shù)1、在單位圓中，當圓心角為周角時，它所對的弧長為2π，所以周角的弧度數(shù)為2π，周角是2πrad的角.2、任意一個00~3600的角的弧度數(shù)必然適合不等式0≤x<2π.3、任一正角的弧度數(shù)都是一個正實數(shù)；任一負角的弧度數(shù)都是一個負實數(shù)；零角的弧度數(shù)是0.

弧度制下的角與實數(shù)之間的關系是怎樣的呢?角的集合正角零角負角4、用弧度來度量角，實際上角的集合與實數(shù)集R之間建立一一對應的關系：實數(shù)集R正角零角負角正實數(shù)零負實數(shù)對應角的弧度數(shù)四）角度制與弧度制的換算

用“弧度”與“度”去度量每一個角時，除了零角以外，所得到的量數(shù)都是不同的，但它們既然是度量同一個角的結果，二者就可以相互換算．

若弧是一個整圓，它的圓心角是周角，其弧度數(shù)是，而在角度制里它是，

因此

1度角等于多少弧度？1弧度角等于多少度？度因為

解：例1用弧度制表示下列各角。(1)800(2)-15030′

角度制與弧度制互化時要抓住弧度這個關鍵．把化成度．例2解：角度

弧度

練習：寫出一些特殊角的弧度數(shù)

弧長公式和扇形面積公式(角用弧度).解：例3已知扇形的圓心角為72°，半徑等于20cm，求扇形的弧長和面積；小結1.用度為單位來度量角的單位制叫做角度制，用弧度為單位來度量角的單位制叫做弧度制.

2.度與弧度的換算