高考復(fù)習(xí)8-5奇偶性（精講）（基礎(chǔ)版）（解析版）

8.5奇偶性(精講)(基礎(chǔ)版)

恩儺男囹

偶函數(shù)_如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f(-x)=f(x)

廣］量R奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都有f(-x)=-f(x)

定(1)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(左右端點(diǎn)同時(shí)(不)取到且成相反數(shù))

義［否：三困非偶函故

法IA：f(x)=x)=f(x)ffi9Mf(x)Hf(x)wr(x徘奇指禺

判

圖

斷

像Q)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱］QIAO

方

法「同時(shí)滿足

法(2)奇函數(shù)：圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;偶函數(shù)：圖像關(guān)于、軸對(duì)稱〕

如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有

f(0)=0

奇函數(shù)在兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性

偶函數(shù)在兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性

奇偶的數(shù)+偶函數(shù)一信函數(shù)、奇的數(shù)+奇肉數(shù)=奇品數(shù)

偶偶的數(shù)X偶函數(shù)=供函數(shù)、奇的數(shù)X奇函數(shù)=偶的數(shù)同性加滋得同性,

性奇的數(shù)X偶函數(shù)=奇晶數(shù)、偶而數(shù)。偶函數(shù)=偶函數(shù)異性乘除為奇,

常同性秉除為偶

見(jiàn)專函數(shù)上奇函數(shù)=信函數(shù)、與函數(shù)。偶函數(shù)=奇函數(shù)

結(jié)

論常見(jiàn)奇.偶函數(shù)面提定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

a奇數(shù)r奇函數(shù)

奇函數(shù)(2)y=x"

a偶數(shù)>偶函數(shù)

(3)丫_/-b奇函數(shù)y-u*+「偶函數(shù)(4)y=log，'或y=bg二+,苛函數(shù)

1+X1-X

(5)y=log.(477±x)奇函數(shù)y=log,,—奇函數(shù)

Vl+x-±x

(1)求定義城(給出的區(qū)間)是否關(guān)于原點(diǎn)時(shí)稱,

奇偶性不對(duì)稱^奇非偶；對(duì)稱看(2)

的判斷(2)用定義法或圖像法判斷

利用奇偶求哪段設(shè)x為哪段范圍，r就是已知解

性求解析式析式范圍即將-x代入解析式化簡(jiǎn)

題(1)區(qū)間兩端點(diǎn)成相反數(shù)

型利用奇偶(2)借助上面常見(jiàn)形式□算參數(shù)

性求參數(shù)(3)定義法求參數(shù)_____________

奇偶性E贏性的綜合

存或呈宏

例題剖行

考點(diǎn)一奇偶性的判斷

【例1】（2022?廣東）判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)

(2)

(3)f(x)=y)\-X2+yjx2-\;

x2-2x+3,x>0

(4)/(x)=<0,x=0

—x~-2x—3,x<0

【答案】（1）奇函數(shù)

（2）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

（3）既是奇函數(shù)乂是偶函數(shù)

（4）奇函數(shù)

4—x220

【解析】（1）由，+313片0,得-2《》42,上Lx*0,

所以“X)的定義域?yàn)閇-2,o)u(o,2],關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

所以/(力備:耳=

|x4-3|—3x+3—3x

又〃-)=恒亙=_亞三1=_〃切，所以f(x)是奇函數(shù).

—XX

(2)因?yàn)?(x)的定義域?yàn)椴?,1),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以/(X)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

⑶對(duì)于函數(shù)“力口7+>/7%,仁其定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每個(gè)x，都有〃x)=0,所以/(r)=/(x),/(-x)=-/(x),

所以+二i既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

(4)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

①當(dāng)x=0時(shí)，-x=0,

所以〃r)=/(0)=0，/(x)=/(0)=0,所以f(-x)=-〃x)；

②當(dāng)x>0時(shí)，—x<0,所以/'(—X)=_(-x)—2(—x)—3=_(x?—2x+3)=_/(x)；

③當(dāng)x<0時(shí)，—x>0,所以/(-x)=(-X)—2(—x)+3=—^―x--2x—3)=—f(-v).

綜上，可知函數(shù)/(x)為奇函數(shù).

【一隅三反】

1.(2022?黑龍江)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+8)上不單調(diào)的是()

A.y=^B.y=cosxC.y=-x2D.y=ln|x|

【答案】B

【解析】對(duì)于A,y=(定義域S嘰(0,+8),但±=T，為奇函數(shù)，且y=1在(0,+應(yīng)上單調(diào)遞減，故

A錯(cuò)誤；

對(duì)于C,y=cosx為偶函數(shù)，且在(0,”)上既有增區(qū)間，也有減區(qū)間，所以y=cosx在(0,+8)上不單調(diào)，故

B正確；

對(duì)于C,y=-V在(0,+a))單調(diào)遞減，不符合題意，故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,，=山忖在（0,+<?）單調(diào)遞增，不符合題意，故D錯(cuò)誤.

故選：B

2.（2022.湖南衡陽(yáng).高二期末）設(shè)函數(shù)4X）=3_1+3,則下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（)

A./(x+1)B./(x)+l

C./（x-1）D./（x）-l

【答案】A

【解析】?。?￡用=（「去2,則f（x+l）=V^，因?yàn)閥=±是偶函數(shù)，故〃x+l）為偶函數(shù).

故選：A

3.（2022南京）判斷下列函數(shù)的奇偶性.

⑴，(%)=4;

(2)/(x)=^H

x2+x,x>0,

⑶/(x)=,

x2-x,x<0.

【答案】（1）非奇非偶函數(shù)

（2）奇函數(shù)

（3）偶函數(shù)

【解析】⑴函數(shù)段）的定義域?yàn)椋邸?+8）,不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以，（x）=或是非奇非偶函數(shù).

（2次0的定義域?yàn)椋?1,0）50,1］,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱./（Y）=《上=-f（x）,所以f（x）為奇函數(shù).

-X

⑶“X）的定義域?yàn)椋?,0）1（0,*?）,且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

當(dāng)X>0時(shí)，-X<0,則/(_X)=(-X)2_(_》)=x2+x=/(x)；

當(dāng)X<0時(shí)，-X>0,則/（-力=（-》）2+（-》）=》2-工=/（》），故/（X）是偶函數(shù).

考點(diǎn)二利用奇偶性求解析式

【例2-1］（2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知〃x）是R上的偶函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，〃x）=x+ln（x+l）,

則x<0時(shí),/(x)=()

A.-x-ln(l-x)B.x-ln(l-x)

C.-x+ln(l-x)D.x+ln(l-x)

【答案】C

【解析】因?yàn)槭荝上的偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,則〃x)=/(T)=T+ln(l—x).

故選：C.

【例2-2](2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(力=10*+x+l,那么當(dāng)x<0

時(shí)，/(x)的解析式是()

A.---FX-1B.-----FX-1

10,10v

C.———x+\D.——-——x+1

10、10A

【答案】B

【解析】當(dāng)x<0時(shí)，則—x>0,所以/(-x)=l(T'-x+l,

又因?yàn)楹瘮?shù)/(X)是奇函數(shù)，所以-/(-￡)=/(力，

所以當(dāng)x<0時(shí)/(x)=-l(r+x-l=-47+x-L故選：B

10

【一隅三反】

1.(2022?湖南)若函數(shù)“X)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=x(l+x),則當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=

()

A.-x(l+x)B.-x(l-x)C.x(l+x)D.x(l-x)

【答案】D

【解析】當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,由奇函數(shù)的定義可得〃x)=—/(—x)=-(-力=

故選：D.

2.(2022.河南安陽(yáng))已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)，〃x)=f-2x,則當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=

【答案】-X2-2X

【解析】x<0時(shí)，r>0,“力是奇函數(shù)，

此時(shí)/(x)=-/(-x)=-(x2+2x)=-x2-2x

故答案為：-d—2x

考點(diǎn)三已知奇偶性求參數(shù)

【例3-1](2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí))若函數(shù)〃x)=(2.]；r+a)為奇函數(shù),則。=()

c

1B-t-i

A-2D.1

【答案】A

【解析】由函數(shù)/(x)j,2xT)(x+“)為商函數(shù),可得/(r)—一八X)，

X

所以/o1W1\一

(2x-l)(x+a)T

所以一x(2x—1)(X+Q)=--x(—2x—1)(—x+a),化簡(jiǎn)得2(2〃—I〉』=o恒成立，

所以2Q—1=0,即。=,

2

_2x

經(jīng)驗(yàn)證”"7一上l

%114.v'-1,定工域X「原點(diǎn)讓稱，IL'17.^./'(~.v)=一〃*.故“=1：

故選:A.

,若/(ln〃?)=l,/；ln2j=3,則〃=()

【例3-2].(2022?全國(guó)?長(zhǎng)垣市)已知函數(shù)〃x)=e'-eT+a

A.1B.2C.-1D.-2

【答案】B

【解析】/(x)=e'-e-x+a,

/(-%)+/(%)=-eY-"+aj+(ev-e~x+aj=2a,

/^ln^=/(-lnzn)=3,又/(ln〃z)=l,

/(ln；M)+/^ln—J=1+3=4=2tz.

，。=2.故選：B.

【一隅三反】

1.(2022.湖北.高三開(kāi)學(xué)考試)若函數(shù)/(x)=2'+a*(a>0,axl)是偶函數(shù)，則。=________.

【答案】|

【解析】由題意知：〃x）=/（—力=>2-'+，=2"+",同乘以2"得

2'+/=（2*+優(yōu)）2，優(yōu)，2'+優(yōu)片0,，2*/=1,故2a=lna=；,

故答案為：y

2.（2022福建）若函數(shù)f（x）=|^的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則常數(shù)。=.

【答案】-1

【解析】可知函數(shù)/（%）為偶函數(shù)，定義域?yàn)镽，則，（-1）=〃1），即擊=解得。=T，

則/（同=411=1,顯然滿足題意，則〃=-1.

故答案為：-1.

3.（2022?重慶巴蜀中學(xué)）若函數(shù)f（x）=lg（后幣-2x）為定義域上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為.

【答案】4

【解析】因?yàn)?（X）為定義域上的奇函數(shù)，

/（x）+/（-x）=1gyjax2+1-2xj+1g\lax2+1+2xj=1g（ax2-4x2+1）=0,

所以?2-4f+1=1恒成立解得a=4.

故答案為：4.

Y

4.（2022?云南）已知函數(shù)/（必二以十二三是偶函數(shù)，則常數(shù)。的值為

4+1

【答案】

【解析】易知函數(shù)定義域?yàn)镽

X

V函數(shù)/（x）=ar+右-是偶函數(shù)「?/（-K）=/（X）對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)X都成立

4+1

-xx.xxxxx4Axxx4x

:.-ax+--——=ax+———,?.-2cix=------+-----=----4---------=----+----=x,

4-'+14V+14V+14-r+l4A+14T（4*+D4A+11+4*

二.（l+2a）x=（）對(duì)定義域內(nèi)每一個(gè)x都成立「.1+勿=0,BPa=_；.

考點(diǎn)四利用奇偶性單調(diào)性解不等式

【例4-1］（2022?全國(guó)?高一課時(shí)練習(xí)）已知偶函數(shù)“X）的定義域?yàn)镽,當(dāng)x?0,4w）時(shí)，〃x）=言，則

的解集為（）

I，+00

c.D.-00,一

2

【答案】D

【解析】〃、）===上+1H2=-1+上，.■J（x）在［0,+巧上單調(diào)遞減，又“X）為偶函數(shù),

x+1x-1x-\

,（；卜’/（”一1）＜1'"（,一中卜「卜"一叫13

解得：xj或x＞5'

.?.y（x-i）＜i的解集為（7,g［《'+00

故選：D.

【例4-2］.（2022?全國(guó)?課時(shí)練習(xí)淀義在［-2,2］上的偶函數(shù)“X）在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減，若“1-間＜/（,〃）,

則實(shí)數(shù)，"的取值范圍是（)

1

A.m<一一B.m>—C.-\<m<—D.—<m<2

2222

【答案】C

【解析】是偶函數(shù),

“(x)=〃-x)=/(k|),

故fQ-m）＜f（m）可變形為/（|1一加＜f（帆），

/（x）在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減,

-2<\-m<2-1<m<3

故，-2<m<2=><-2<m<2=>-\<m<—,

2

1

m<—

2

故選：C.

【一隅三反】

1

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））設(shè)函數(shù)/。）=皿1+|劃）-177'則使得/?＞/（2A-1）成立的x的取值

范圍是（）

-00,^ju(1,4-00)

A.B.

U*8

C.D.-C°，-3

【答案】A

［解析1因?yàn)閒(x)=ln(l+1x|)-1二的定義域?yàn)镽,

乂/'(-X)=ln(l+1X|)-丁;=/(x),

1+x

所以函數(shù)“X)是偶函數(shù)，

乂函數(shù)y=ln(l+|x|),y=-/j在［0,+8)是增函數(shù)，

所以函數(shù)“X)在［0,+e)是增函數(shù)，

由“x)>/(2x-l),可得

所以|x|>|2x-1］=/>(2x-1)20；<x<1.

故選：A.

2.(2022?遼寧撫順)定義在R上的奇函數(shù)“X)在［0,+8)上單調(diào)遞增，則不等式/(x+2)+/(x)>0的解集

為()

A.B.(-8,0)C.(-l,+oo)D.(0,+(?)

【答案】C

【解析】因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)椤▁+2)+/(x)>0,所以/(x+2)>—/(x)=/(—x),

所以x+2>-x,解得x>-l.

故選：C.

3.(2022?云南)已知函數(shù)/(A是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)XN0時(shí),f(x)=2x+x-1,則不等式〃尤-1)>2

的解集為()

A.(0,2)B.(-?>,())

C.(2,+8)D,(-<0,0)C2,+oo)

【答案】D

【解析】當(dāng)xNO時(shí),f(x)=2、+x—1,則/(幻在［0,—)上單調(diào)遞增,

又函數(shù)“X)是R上的偶函數(shù),且/(1)=2,

所以，不等式,

解得x<0或x>2

所以不等式/(x-D>2的解集為(Y,0)(2,+8),

故選：D

4.(2022?河南商丘?高二期末(文))已知偶函數(shù)的定義域?yàn)镽,且當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=^1,則使不

等式f(/_2a)<g成立的實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-1,3)B.(-3,3)C.(T，l)D.(-oo,3)

【答案】A

【解析】當(dāng)xNO時(shí)，/(x)=—=^+1^~2=1--,所以f(x)在［。,+8)上單調(diào)遞增，

X+lX+lX+1

且〃3)=；,不等式/(片-2a)<|即為/(/一24</(3).

又因?yàn)椤癤)是偶函數(shù)，所以不等式/(/-2a)<〃3)等價(jià)于川〃一2聞<〃3),

〃22〃<3

則M-24<3,所以，,解得—1<。<3.

11^2-2a>-3

綜上可知，實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(-1,3),

故選：A.

5.(2022?全國(guó)?課時(shí)練習(xí))定義在R上的奇函數(shù)Ax)在(7,0］上單調(diào)遞增，且/(-2)=-2,則不等式

/(Igx)-/1g￡|>4的解集為()

A.(。喘)B.(焉收)C.(0,100)D.(l(X),+oo)

【答案】D

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)Ax)為奇函數(shù)，

所以〃T)=-/(x),又〃-2)=-2,"2)=2,

所以不等式/dgx)-/(1g，>4,可化為2/(lgx)>4=2/(2),

即/(lgx)>/(2),

又因?yàn)?(x)在(-8,0］上單調(diào)遞增，

所以f(x)在R上單調(diào)遞增，

所以lgx>2,

解得x>100.

故選：D.

6.(2022?山西運(yùn)城)已知函數(shù)/(x)=-x2+4x+a+16(aeR),則關(guān)于x的不等式/(log/)>/⑴的解集為

A.(2,+00)B.(-?),2)C.(2,6)D.(2,8)

【答案】D

【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x+2)=-(x+2)?+4(x+2)+a+16=-x2+tz+20,

g(-x)=-x2+a+20=g(x),則函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，且該函數(shù)在［0,+8)上為減函數(shù),

由/(現(xiàn)2%)>/⑴可得g(log2X-2)>g(-l),BPg(|log2x-2|)>g(l),

所以，|隆2了-2|<1,可得-l<log2X-2<l,up1<log2X<3,解得2cx<8.

因此，不等式"log?"〉/。)的解集為(2,8).

故選：D.

考點(diǎn)五利用奇偶性單調(diào)性比較大小

【例5】(2022?北京亦莊實(shí)驗(yàn)中學(xué))設(shè)偶函數(shù)/(%)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則()

A./(-|)</(-1)</(2)B.

C./(2)</(-1)</(-|^|D./(-?)<

【答案】B

【解析】根據(jù)題意/(x)為偶函數(shù)，則/(2)=/(-2),

又由函數(shù),f(x)在區(qū)間(3，-1］上單調(diào)遞增，且-

所以/(一2)</(-|)<〃一1),

所以

故選：B.

【一隅三反】

1.(2022?福建省福州第二中學(xué))設(shè)/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0,+?))上單調(diào)遞減，則()

02

A./(log50.5)>/(log0.50.2)>/(O.5)

2

B./(log50.5)>/(0.5°)>/(log050.2)

C."I。、0.2)>/(O.502)>"log,0.5)

02

D./(O.5)>/(log0,0.2)>/(log50.5)

【答案】B

【解析】由|log050.2|=|logr,51=log25>log24=2,即|log050.2|>2,注意到(logs2)x(log25)=^|x^|=l,

由0=10&1〈|10&0.5］=108521=地52,故0<log、2<0.5,即0<|logs0.5|<0.5,乂根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，