高考復(fù)習(xí)-三角函數(shù)的定義（精講）（基礎(chǔ)版）（解析版）

3.1三角函數(shù)的定義(精講)(基礎(chǔ)版)

恩儺男囹

角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一

定義個位置所成的圖形

角彳一，轉(zhuǎn)方向―正角一逆時針旋轉(zhuǎn)、負(fù)角一順時時旋轉(zhuǎn)、零角

-終邊位置象限角、軸線角

設(shè)〃是Tff意角，a€R,它的終邊OP與圓相交于點(diǎn).￡),

JUsina=—,cosa=—,tana=^(x^0)

定乂卜-----------r-r---------x---------------------------------

所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合

--------------S={B|B=a+2k兀，k€z}.終邊相同的角不一定相等，

終邊相一但相等的角其終邊一定相同

同的笛

口訣一全正、二正弦、三正切、四余弦

三三角函數(shù)值正負(fù)判斷第一象限全部正，第二象限正弦正

解析第三象限正切正，第四象限余弦正

角

函

數(shù)

定

義

三

角

，^角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點(diǎn)都在X軸上,

函

數(shù)1余弦線的起點(diǎn)若是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0).

線

定義把長度等于生徑長的圖弘所對的圓心角叫做1瓠度的角，弧度記作rad.

國=4弧長用/表示)

角a的瓠度數(shù)公式

r

孤角度與弧度的換算01°=—rad；②lrad=l“

度180

制

弧長公式弧長/=|如

扇形面積公式

公式

角

考點(diǎn)一扇形的弘長與面積三考點(diǎn)三象限的判斷

數(shù)

函

義

定

考點(diǎn)二三角函數(shù)的定義考點(diǎn)四三角函數(shù)線

例題到析

考點(diǎn)一扇形的弧長與面積

【例1-1］（2021?安徽黃山市）若一扇形的圓心角為144°,半徑為10cm,則扇形的面積為cm2.

【答案】40〃.

【解析】扇形的圓心角為144°,半徑為10cm,所以扇形的面積為5=史?萬-102=40乃（CH?）.

36017

故答案為：40〃.

【例1-2】（2022?全國?貴陽一中二模）已知圓錐的母線長為3,其側(cè)面展開圖是一個圓心角為2年4的扇形，則

該圓錐的底面半徑為.

【答案】1

【解析】因?yàn)閳A錐的母線長為3,所以側(cè)面展開圖扇形的半徑為3,設(shè)該圓錐的底面半徑為，

所以有用-3=2夕=田，故答案為：1

【例1-3］（2022?全國?高三專題練習(xí)）中國傳統(tǒng)扇文化有著深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折扇可以看做是從一

個圓形中前下的扇形制作而成的，當(dāng)折扇所在扇形的弧長與折扇所在扇形的周長的比值為叵1時，折扇的

2

外觀看上去是比較美觀的，則此時折扇所在扇形的圓心角的弧度數(shù)為（）

75+1

D.V5-1

2

【答案】A

由題意得七二與1,變形可得

【解析】設(shè)扇形的弧長為/，半徑為"，圓心角的弧度數(shù)為

2（1）

-=^7=^+1,因?yàn)?=ar,所以折扇所在扇形的圓心角的弧度數(shù)為石+1.故選：A.

/-3-V5

【一隅三反】

1.（2022.浙江浙江.二模）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一個問題：“今有

宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？”其意思為：”有一塊扇形的田，弧長為30步，其所在圓的直徑

為16步，問這塊田的面積是多少平方步？”該問題的答案為平方步.

【答案】120

【解析】由題意得：扇形的弧長為30,半徑為8,所以扇形的面積為：S==jx30x8=120,

故答案為：120

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知扇形的周長是6,面積是2,則扇形的圓心角的弧度數(shù)。是（）

A.1B.4C.1或4D.2或4

【答案】C

2r+/=6

[r=1

【解析】設(shè)扇形所在圓的半徑為人由扇形的周長是6,面積是2,可得1,。解得/=4或

-lr=2

[2

又由弧長公式，可得/=ar,即。=,，當(dāng)廠=1,/=4時，可得a=4；當(dāng)r=2,/=2時，可得a=l,

r

故選：C.

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖所示，扇環(huán)的兩條弧長分別是4和10,兩條直邊4D與BC的長

都是3,則此扇環(huán)的面積為（）

A.84B.63C.42D.21

【答案】D

【解析】設(shè)扇環(huán)的圓心角為a,小圓弧的半徑為，由題可得劭=4且a（r+3）=10,解得c=2,r=2,從

而扇環(huán)面積S=：x2x（52-22）=21.故選：D.

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實(shí)生活中的體育競技活動，刻畫的是一名強(qiáng)健

的男子在擲鐵餅過程中最具有表現(xiàn)力的瞬間.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵

餅者的手臂長約為JTT米，肩寬約為7gT米，"弓”所在圓的半徑約為1.25米，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為

48

()

A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.945米

【答案】B

【解析】由題得：弓所在的弧長為：f++茨濟(jì)

二兩手之間的距離金麗吟='31.768.故選：B.

考點(diǎn)二三角函數(shù)的定義

【例2-1](2022?江西?蘆溪中學(xué))已知點(diǎn)網(wǎng)4,-3)是角a終邊上的一點(diǎn)，則sina=()

43

B.C.--D.

55

【答案】D

【解析】因點(diǎn)尸(4,一3)是角a終邊上的一點(diǎn)，則/=4+(-3)2=5,所以sina=-^=-].故選：D

【例2-2](2022?安徽)在平面直角坐標(biāo)系中，若角夕的終邊經(jīng)過點(diǎn)"-si吟,cos。＞貝"夕=(

)

A.1B.--C,顯D.一立

2222

【答案】D

_1廠

.7C7Tn2v2

【解析】由角，的終邊經(jīng)過點(diǎn)P-sm—,cos—所以COS8=-『F=鼠.故選：D.

63

V4+4

3

【例2-3】（2022?湖南?長沙-中高三階段練習(xí)）若角。的終邊過點(diǎn)尸即，-3）,且tana="則機(jī)的值為

()

A.--B.[C.--D.3

2222

【答案】A

一331

【解析】***tana--=-,m=一一,故選：A.

8m42

【例2-4](2022?北京四中高三階段練習(xí))角。的終邊過點(diǎn)。(2,4),則tanR+?卜()

A.—B.—3C.-D.3

33

【答案】B

八冗

tan夕+tan

=^^=-3.故選:

【解析】角8的終邊過點(diǎn)*2,4),...tan9=2,tan6+?4B.

1一tan，八tan—萬1—2

4

【一隅三反】

1.（2022?四川成都）如圖，角。以3為始邊，它的終邊與圓。相交于點(diǎn)P,點(diǎn)夕的坐標(biāo)為（1,-2）,則tana=

()

【答案】A

【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義，lana=2===-2.故選：A

X1

2.（2022?安徽）已知角a的終邊上有一點(diǎn)尸（力則cos2e=（）

A.--B.1C.--D.也

2222

【答案】B

【解析】依題意cosa=-^=3,cos2a=2cos2a-l=』.故選：B

V3+122

4

3.（2022.河南新鄉(xiāng).二模（理））已知點(diǎn)A是。的終邊與單位圓的交點(diǎn)，若A的橫坐標(biāo)為-二，則cos2a=（)

A.-B.--C.—D.--

552525

【答案】C

4-7

【解析】由題意知，cosa=--，所以cos2a=28520-1=^.故選：C

525

4.（2022?重慶巴蜀中學(xué)）己知角a的終邊過點(diǎn)尸（3,〃?）（〃?*0）,且sina=1，貝ijcosa的值為（）

A.±-B.-C.±-D.-

5555

【答案】B

mmm

【解析】因?yàn)榻恰５慕K邊過點(diǎn)「（3,m）（機(jī)工0）,且sina=?,故可得W=解得病=16,則

5〉，9+〃/

5.（2022.河南洛陽）已知角。的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)

P(cos150+sin15°,cos150-sin15°),則tana=().

A.2-后B.2+6C.@D.73

3

【答案】C

?&力上一▼皿AA,'，、，，目cos15-sinl51-tan15tan45-tan15

【解析】由ih切函數(shù)的定乂得tana=--------------------=-------------=---------------------

cos15+sinl51+tan151+tan15tan45

=tan(45—15j.故選：C

考點(diǎn)三象限的判斷

【例3-1］（2022?重慶?高三開學(xué)考試）若tan6>0,則下列三角函數(shù)值為正值的是（）

A.sin。B.cos。C.sin20D.cos20

【答案】C

qinf)

【解析】tan0=----->0=>sin0cos^>0=>sin20=2sin0cos0>0,所以C選項(xiàng)正確.

cos。

當(dāng)6=2時，tan>0,sin0<0,cos^<0,cos20=cos—=cos—=0,所以ABD選項(xiàng)錯誤.故選：C

422

【例3-2](2022?全國?高三專題練習(xí))若a是第四象限角，則江一。是第()象限角.

A.-B.二C.三D.四

【答案】c

IT7T

【解析】.「a是第四象限角，二?——卜2k7r<a<2k7r,kQZ,/.-2%乃<-a<—2kn-\—,kQZ,

22

3

7t—2kn<7i—a<—2k7i-\—乃，k^Z,故兀一a是第三象限角.故選：C

2

【例3-3]（2022.浙江?高三專題練習(xí)）已知6是第三象限角，滿足|sin*=-sing,則|?是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】。是第三象限角，.,.萬+2&花<6?〈當(dāng)+2SkwZ,則>&乃<2c今+&T，keZ,即|■為第二或

第四象限角，又Ising|=_sing,.?.?為第四象限角.故選：D.

【一隅三反】

1.（2022?山東棗莊?高三期末）6為第三或第四象限角的充要條件是（）.

A.sinOcOB.cos6<0C.sinaandcOD.cos^tan^<0

【答案】D

【解析】對于A：第三或第四象限角，以及終邊在y軸負(fù)半軸，故A錯誤；

對于B：第二或第三象限角，以及終邊在x軸負(fù)半軸，故B錯誤；

對于C：第二或第三象限角，故C錯誤；

對于D：第三或第四象限角，故D正確.故選：D

2.（2022?甘肅酒泉?高三期中）若角。滿足tan6>0,sin6<0,則角6所在的象限是（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】由tan?！?。知，。是?、三象限角，由sin（9<0知，。是三、四象限角或終邊在y軸負(fù)半軸上，

故夕是第三象限角.故選：C

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））角a的終邊屬于第一象限，那么!■的終邊不可能屬于的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】；角a的終邊在第一象限，

2%乃<a<g+2k萬，keZ,則當(dāng)<[<[+當(dāng)，k&Z,

23363

當(dāng)％=3n（neZ）時，此時年Ci的終邊落在第一象限，

當(dāng)氏=3〃+1（〃eZ）時，此時與的終邊落在第二象限，

當(dāng)％=3〃+2（〃eZ）時，此時氣的終邊落在第三象限，

綜上，角a的終邊不可能落在第四象限，

故選：D.

-sin28<0

4.（2022?昆明市）若〈八八，則。是（）

cos夕<0

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【解析】因?yàn)閟in26>=2sin6?cos8<0,又cos6?<0,所以sin6>0,所以。是第二象限角.故選：B

5.（2021?湖南高三月考）已知sin6>（）,cos（e-〃）〉0,貝是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】B

【解析】由cos（8—乃）>（）得cos（（9-%）=cos（%-e）=-cose>0,則cos6<0,

又sin6>>0,所以6是第二象限角.故選：B.

考點(diǎn)四三角函數(shù)線

【例4-1]（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知0<x<2萬，且sinxvcosx,則x的取值范圍是（）.

s4、3TT■,_.TC3/r、,5zr7乃、一，八、__4、5TT_、

A.[0,一）u（Z—，乃]B.（一,—）=（—，—）C.（乃,2%）D.r[/0,—）。（Z—,2加

44444444

【答案】D

【解析】畫出單位圓以及sinx=MP,cosx=OMr

從圖中可知X的取值范圍是［0，￡）5苧，2加

44

故選：D.

【例4-2］（2022?全國?高三專題練習(xí)）若一個<a<一￡,從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sina,cosa,tana

42

的大小是（）

A.sina<tana<cosaB.cosa<sina<tana

C.sina<cosa<tanaD.tana<sina<cosa

【答案】C

【解析】如圖所示

作出角a的正弦線MP,余弦線OM,正切線4T,因?yàn)橐粂<a<一y，所以均為負(fù)值，且皿>|明,

AT為正值，|。叫>明”，故有sinaVcosaVtana.

故選：C

【例4-3］（2022?河南?南陽市第二完全學(xué)校高級中學(xué)高一階段練習(xí)）已知a=g,b=sing,c=cosg,"=tan；,

則a,A,c,d的大小關(guān)系是（)

A.b<a<c<dB.a<b<c<d

C.b<a<d<cD.a<b<d<c

【答案】c

【解析】先證明：當(dāng)0<x<三時，sinx<x<tanx

2

如圖，角x終邊為OP,其中點(diǎn)尸為角x的終邊與單位圓的交點(diǎn)，PMLx軸，交x軸與點(diǎn)

A點(diǎn)為單位圓與x軸的正半軸的交點(diǎn)，軸，交角x終邊于點(diǎn)T,

則有向線段為角x的正弦線，有向線段AT為角x的正切線，設(shè)弧以=/=xXl=x,

由圖形可知：SZXOAPVS扇形OAP<SZ\OA7,

H\\-xOAxMP<-xOAxl<-xOAxAT

222

所以,xOAxsinxV'xOAxx<'xOAxtanx,[!|Jsinx<x<tanx

222

.111

所以sin—<-<tan—

333

又由函數(shù)丫=1311%在上單調(diào)遞增，所以tan，<tan，

I2；32

1萬G

tan—vtan—=—

263

又由函數(shù)y=cosx在上單調(diào)遞減，則cos1>cos&=3>立

I2；2623

1731

所以cos—>——>tan—

232

所以sin!<1<tan工<cos-,^b<a<d<c

3322

故選：C.

【一隅三反】

1.（2020?安徽?合肥市廬陽高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)0WxW2乃，使sinxN：且cosx<正同時成立

22

的X取值范圍是（）

A.信金B(yǎng).C.

L66」|_64J|_64_

【答案】D

IJr57r

【解析】因?yàn)?WxW2%,由正弦曲線得：sinx±彳時，xe

2166.

由余弦曲線得:

所以sinx411.cosx<也同時成立的x的取值范圍是x苧

22（46

故選：D

JJT

2.（2022?全國偎三專題練習(xí)）已知a=sin：,Z?=sin—,c=tan2,貝!]

26

A.a<