高三數(shù)學第5講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)講義

第5講直線、平面垂直的判定及性質(zhì)

-------------------P基礎(chǔ)知識整合］------------------------

|。知識梳理

1.直線與平面垂直

(1)直線與平面垂直的定義

如果一條直線/與平面a內(nèi)的回1任意一條直線都垂直,就說直線/與平面a

互相垂直.

(2)直線與平面垂直的判定定理

文字語言圖形語言符號語言

[03|.Ua,bua

一條直線與一個平面內(nèi)的

判定7>

國兩條相交直線都垂直,畫山

定理

畫/I。J

則該直線與此平面垂直

(3)直線與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

畫ala

垂直于同一個平面的兩條/I\h,

性質(zhì)定理4#網(wǎng)la

直線畫平行

IIb

2.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

兩個平面相交，如果它們所成的二面角是同直二面角,就說這兩個平面互

相垂直.

(2)平面與平面垂直的判定定理

文字語言圖形語言符號語言

一個平面過另一個平回9

判定*

面的回垂線，則這兩b同la

定理￡1

個平面垂直0al4

(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

叵3、

兩個平面垂直，則

1=4

性質(zhì)一個平面內(nèi)垂直于>

回q

定理回交線的直線與M/

同/la,

另一個平面垂直

=>/±a

3.直線與平面所成的角

(1)定義：平面的一條直線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和

這個平面所成的角.

(2)線面角。的范圍：夕6[0。，90°].

4.二面角的有關(guān)概念

(1)二面角：從一條直線出發(fā)的回兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角:過二面角棱上的任一點,在兩個半平面內(nèi)分別作與棱畫

垂直的射線,則兩射線所成的角叫做二面角的平面角.

知識拓展

直線與平面垂直的五個結(jié)論

(1)若一條直線垂直于一個平面，則這條直線垂直于這個平面內(nèi)的任意一條直

線.

(2)若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.

⑶垂直于同一條直線的兩個平面平行.

(4)過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條.

（5）過一點有且只有一個平面與已知直線垂直.

必雙基自測

1.設(shè)a,4是兩個不同的平面，I,是兩條不同的直線，且/Ua,mU6,

下列結(jié)論正確的是（）

A.若/14，則al夕B.若al4,貝/1機

C.若///尸，則aII0D.若a//夕，則///〃？

答案A

解析根據(jù)線面垂直的判定定理知A正確；當al凡ZC?,機u4時，/與加

可能平行、相交或異面，故B錯誤；當1110,/Ua時，a與夕可能平行，也可能

相交，故C錯誤；當a//￡,/Ua,mU4時，/與機可能平行，也可能異面，故D

錯誤.故選A.

2.（多選）下列命題中正確的有（）

A.如果平面al平面人那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面夕

B.如果平面a不垂直于平面從那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面尸

C.如果平面a_|_平面平面夕平面y,aC/3=I,那么/J_平面y

D.如果平面al平面人那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面夕

答案ABC

解析若。，夕，則。內(nèi)至少有一條直線垂直于平面人而非所有直線都垂直

于平面夕.

3.若斜線段A3是它在平面a內(nèi)射影長的2倍，則AB與平面a所成的角的

大小為（）

A.60°B.45°

C.30°D.90°

答案A

解析斜線段、垂線段以及射影構(gòu)成直角三角形.如圖所示，NAB。即是斜

線段與平面a所成的角.又A3=2B。，所以COS/A8O=?|=T，所以NA80=

60°.

B

/a

4.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，布_L平面ABC,ABAC=90°,則二面

角的大小為()

A.90°B.60°

C.45°D.30°

答案A

解析平面ABC,BA,CAU平面ABC,：.BA]_PA,CAVPA,因此

/區(qū)4。即為二面角3-抬-。的平面角.又NBAC=90。，故選A.

5.在三棱錐P-ABC中，點尸在平面ABC中的射影為點。

(1)若必=PB=PC,則點。是△ABC的心；

(2)若用_LPB,PB1PC,PCIPA,則點。是△ABC的心.

答案⑴外⑵垂

解析(1)如圖，?.JOI平面A3C,

連接。A,OB,OC,

在Rt/\POA中，0A2=鞏2—pQi,

同理OB1=PB1-PO2,OC2=PC2-PO2.

又弘=PB=PC,故QA=08=OC,

二。是△A8C的外心.

⑵由而1PB,PA1PC,可知朋1平面PBC,

：.PA1BC,又P018C,「.BCl平面站0,

：.AOLBC,同理BO1AC,CO1AB.

故。是△ABC的垂心.

6.（2019?全國卷I）已知NACB=90。，P為平面ABC外一點，PC=2,點P

到NACB兩邊AC,8C的距離均為小，那么P到平面ABC的距離為.

答案也

解析如圖，過點P作P。！平面ABC于0,則P0為P到平面ABC的距離.再

過。作。E1AC于瓦OFIBC^F,連接PC,PE,PF,貝PEIAC,PFIBC.

又PE=PF=事,所以。

所以CO為NACB的平分線，即NACO=45。.

在Rt^PEC中，PC=2,PE=事,所以CE=1,

所以。E=l,

所以P。=y)PE1-OE2=7詆2一三=3.

---------------P核心考向突破l---------------

考向一有關(guān)垂直關(guān)系的判斷

例1(1)已知平面a及a外的一條直線/,下列命題中不正確的是()

A.若/垂直于a內(nèi)的兩條平行線，貝

B.若/平行于a內(nèi)的一條直線，則///a

C.若/垂直于a內(nèi)的兩條相交直線，則/la

D.若/平行于a內(nèi)的無數(shù)條直線，則///a

答案A

解析由直線與平面平行的有關(guān)定理和結(jié)論可知選項B,D正確，選項C是

直線與平面垂直的判定定理，而A中，直線/可能與平面a垂直，也可能與平面

a相交但不垂直，還可能與平面a平行，故選A.

(2)三棱柱48。-4小。中，側(cè)棱垂直于底面43C,底面三角形

是正三角形，E是的中點，則下列敘述正確的是()

①CG與8正是異面直線；②AE與BCi是異面直線，且AE1SC；③AC

1平面ABBiAi；@A\C\II平面ABiE.

A.②B.①③

C.①④D.②④

答案A

解析對于①，CC\,HE都在平面83cle內(nèi)，故錯誤；對于②，AE,8cl

為在兩個平行平面中且不平行的兩條直線，底面三角形ABC是正三角形，E是

BC的中點，所以AE18C,又因為8G//BC,故AE1SC,故正確；對于③，

上底面A8C是一個正三角形，不可能存在AC1平面故錯誤；對于④，

AiG所在的平面41cle與平面ASE相交，且AiG與交線有公共點，故錯誤.故

選A.

I觸類旁通.判斷垂直關(guān)系需注意的問題

（1）作圖要熟練，借助幾何圖形來說明線面關(guān)系要做到作圖快、準.

（2）善于尋找反例，若存在反例，結(jié)論就被駁倒了.

（3）要思考完整，反復(fù)驗證所有可能的情況，必要時要運用判定或性質(zhì)定理進

行簡單說明.

即時訓練1.（多選）（2021.新高考八省聯(lián)考）如圖是一個正方體的平面展開

圖，則在該正方體中（）

A.AEIICDB.CHIIBE

C.DG1BHD.BG1DE

答案BCD

解析由正方體的平面展開圖還原正方體如圖.由圖形可知，AELCD,故A

錯誤；因為HE"BC,HE=BC,所以四邊形為平行四邊形，所以CHIIBE,

故B正確；因為。G1"C,DGLBC,HCHBC=C,所以。G1平面所以

DGLBH,故C正確；因為BGIIAH,而OE1AH,所以BG1OE,故D正確.故

選BCD.

2.如圖，在正方形ABC。中，E,尸分別是8C,C。的中點，G是EF的中

點，現(xiàn)沿AE,AF及EE把這個正方形折成一個空間圖形，使8,C,。三點重合,

重合后的點記為“，那么，在這個空間圖形中必有（）

H

I)

BE

A.A〃1平面E"/B.AGJ_平面EFH

C.H/l平面AEfD.”G1平面AEF

答案A

解析由平面圖形，得AHIHE,AHVHF,又HEHHF=H,「.A”1平面

EFH,故選A.

多角度探究突破

考向二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

角度1利用線線垂直證明線面垂直

例2⑴如圖，在中，AB=BC=4,AABC=90°,E,產(chǎn)分別為A8,

AC邊的中點，以“1為折痕把△4打折起，使點A到達點P的位置，且PB=BE.

①證明：BC1平面PBE；

②求點尸到平面PEC的距離.

解①證明：因為區(qū)尸分別為ASAC邊的中點，所以EFIIBC,因為/

ABC=90°,所以EF1PE,又因為所以EF_L平面P8E,

所以8C1平面P3E.

②取BE的中點。，連接PO,0C,

由①，知BC_L平面PBE,BCU平面8?？?

所以平面PBE1平面BCFE,

因為PB=BE=PE,所以P013E,又因為POU平面平面P8EA平面

BCFE=BE,所以PO_L平面BCM,在RtzXPOC中，PC=yjPO2+OC2=2^5,

在RtaEBC中，EC=y]EB2+BC2=2yj5,

在△PEC中，PC=EC=2y]5,PE=2,所以SAPEC=/E,又因為S?CF=2,

設(shè)點到平面的距離為由得即回

FPECd,VF_PEC=VP-ECF,S^PEc-d=S^ECF-PO,

Xd=2X小,所以d=得好.即點F到平面PEC的距離為嚼.

(2)在五面體ABCDEF中，四邊形CDEF為矩形，CD=2DE=2AD=2AB=4,

AC=2小，ZEAD=30°.

①求證：平面AOE；

②求該五面體的體積.

解①證明：因為在五面體ABCDEP中，四邊形CDE/為矩形，所以EF/I

CD,CO1OE.因為EFQ平面ABC。，COU平面ABC。，所以Eb//平面ABCD因

為EFU平面ABFE,平面AB/EC平面A8CO=AB,所以EFIIAB.又EFIICD,

所以CDIIAB.因為CD=4,AD=2,AC=2下,所以AD2+CD2=AG,所以

CO1AD又因為COIDE,ADHDE=D,AD,OEU平面AOE,所以CO1平面

ADE.又CDHAB,所以ABI平面AOE.

②因為NEAO=30。，AD=DE=2,所以/AOE=120。，貝ljS^ADE=\

X2X2又坐=小.

如圖，延長AB到G,使得45=BG,連接GF,GC,貝"S^GCF=S^ADE=小，

所以VGCF-ADE=x4=4小,VB_GCF=gx，§X2二43,所以V五面體ABCDEF=VGCF

一ADE—VB-GCF=4/一半二呼.

角度2利用線面垂直證明線線垂直

例3(1)(2020?全國卷III)如圖，在長方體中，點已廠分

別在棱。。1,BBi上,S.2DE=EDi,8/=2F8i.證明：

①當AB=8C時，EF1AC；

②點Ci在平面AEF內(nèi).

證明①連接8。,B。|,?.?在長方體ABC。-A閏GD|中，BB1_L平面ABC。,

ACU平面ABC。，：.AC]_BB\.

：AB=BC,.?.四邊形ABC。為正方形，.,.ACLBD

：BB\QBD=B,BB\,8￡>U平面」.AC，平面BBQiD

?.?EFU平面：.EF1AC.

②在CG上取點M使得CM=2MG,連接。M,MF,EC\,

：DiE=2ED,DD\IICCi,DD\=CC\,

：.ED=MC\,EDUMCi.

四邊形DMCiE為平行四邊形，??.OM//EC\.

???在長方體ABCD-AIIGOI中，

BF=2FBi,CM=2MCi,：.MFHCB,MF=CB,

又DAIICB,DA=CB,：.MFIIDA,MF=DA,

，四邊形MFAD為平行四邊形，

：.DMIIAF,：.EC\IIAF.

:.點Ci在平面AE一內(nèi).

(2)如圖，在四棱錐S-ABC。中，底面是正方形，SA1底面ABCQ,

SA=AD=1,點M是S。的中點，AN1SC,交SC于點N.

①求證：SC1AM；

②求△AMN的面積.

解①證明：.「SAI底面ABC。，CDU底面ABC。,

「.SAICO,XCDLAD,ADHSA=A,

」.COl平面SAD

?「AMU平面SAO,：.CD1AM.

又SA=AO=1,點M是S。的中點，」.AMISD

：SDnCD=D,「.AMI平面SCD

???SCU平面SC。，：.SC1AM.

②'「M是SD的中點，,VS_ACM=VD-ACM=VM-ADC,

111111

VS.ACM=^S^ADC-2SA=^X-X^=—,

■：ANA.SC,SC1AM,ANDAM=A,

.,.SC_L平面AMN,Vs-ACM=^S^AMN-SC.

,:SC=?

—一3Vs_ACMS

△AMN的面積S&AMN=-近~=右.

觸奏旁通」(1)證明線線垂直的常用方法

①利用特殊圖形中的垂直關(guān)系;

②利用直線與平面垂直的性質(zhì).

(2)證明線面垂直的常用方法

①利用線面垂直的判定定理，它是最常用的思路;

②利用線面垂直的性質(zhì)：若兩條平行線之一垂直于某平面，則另一條線必垂

直于該平面;

③利用面面垂直的性質(zhì)：a.兩個平面互相垂直，在一個平面內(nèi)垂直于交線的

直線垂直于另一個平面.b.若兩個相交平面都垂直于第三個平面，則它們的交線

垂直于第三個平面.

即時訓練3.如圖，在四棱錐P-ABC。中，抬1底面ABC。，AB1AD,

ACLCD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中點.證明：

B

(1)CD1AE；

(2)PD1平面ABE.

證明⑴在四棱錐P-ABC。中，

,:/Ml底面ABC。，CDU平面ABC。，：.PA1CD,

XACLCD,且=

.,?。。1平面玄。.又AEU平面RIC,「.COIAE.

(2)由%==ABC=6Q°,可得AC=%.

??,E是PC的中點，

由(1)知AE1CD,PCDCD=C,

」.AE1平面PCD又POU平面PC。，:.AE1PD.

,//Ml底面ABC。，ABU平面ABC。，：.PA1AB.

又ABIA。，且出CAO=A,「.ABI平面出。，

又POU平面必。，.\AB1PD.

又ABCAE=A,「.POl平面ABE.

4.如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A8CO是菱形，ABAD=60°,PA=

PO=AO=2,點M在線段PC上，且PM=2MC,N為A。的中點.

(1)求證：AO_L平面PN8；

⑵若平面附。1平面ABCD,求三棱錐P-NBM的體積.

解(1)證明：連接?.?%=&),N為AO的中點，

：.PN1AD.

又底面ABC。是菱形，ABAD=60°,

」.△AB。為等邊三角形，

：.BNIAD.又PNCBN=N,.?乂。1平面/＞可反

(2)-：PA=PD=AD=2,:.PN=NB=?

又平面雨。1平面ABC。，平面%DA平面ABC。=AO,PN1AD,

.?.PN1平面ABC。，：.PN1NB,

.'.SAPNB=3又小乂小=1-

■：AD1^PNB,ADIIBC,「.BC1平面PNB.

2

又PM=2MC,Vp_NBM=VM-PNB=^Vc-PNB

=-2X-1X-3X2=^2.

考向三面面垂直的判定與性質(zhì)

例4⑴在四棱柱ABCD-AIBGDI中，底面ABCD為平行四邊形，A4.1

平面ABCD.AB=2AD=4,ZDAB=60°.

①證明：平面DiBCl平面。18。；

②若直線。出與底面ABC。所成的角為30。，M,N,。分別為80,CD,

d。的中點，求三棱錐C-MNQ的體積.

解①證明：,「OiO_L平面ABC。，8CU平面ABC。，

：.D\DVBC.

又A8=4,AD=2,ZDAB=60°,

BD=-^22+42-2X2X4XCOS60°=2小,

-：AD2+BD2=AB2,：.AD]_BD.

XADIIBC,：.BC1BD.

又DiDCBD=D,BOU平面。iBO,OQU平面。出。，

.,.BC_L平面。山。，而BCU平面。山C,

平面Oi3C_L平面DiBD.

②平面ABC。，由。即為直線。方與底面ABC。所成的角,

即/。歸。=30。，而BD=2小,

1

4-

.'.DD\=2,又Vc_“NQ=VQ_CMN=-BDC,

,Vc-MNQ=(xgxTx2Sx2><1=:.

(2)如圖，在三棱柱ABC-C中，底面為正三角形，A41底面ABC,A4,

=3AB,點E在線段CG上，平面AEB」平面44百瓦

①請指出點E的位置，并給出證明;

②若AB=1,求點Bi到平面ABE的距離.

解①點E為線段CG的中點.

證明如下：取A3的中點為￡A8的中點為G,

連接CF,FG,EG.

則FGIICE,FG=CE,

所以四邊形EGEC為平行四邊形.所以CF"EG.

因為CA=CB,AF=BF,所以C/IAB.

又因為A411底面ABC,CPU底面ABC,

所以A411CF

又因為A41nA8=A,所以bl平面AAIiB.

所以EG1平面A4山iB,

而EGU平面所以平面AEBil平面A4出a

②由48=1,得A4i=3.

由①可知，點E到平面ABBI的距離為EG=CT=￥.

13

而△ABB的面積SAABB]=2X1><3=2,

AE=BE=^,等腰△ABE底邊A3上的高為小.記點口到平面

ABE的距離為"由VB1—ABE=VE-A551,^|x]/iX^]X1X^3=1[3x|x^1-3,

33

解得/?='即點囪到平面ABE的距離為，

觸類旁通]

證明兩平面垂直常轉(zhuǎn)化為線面垂直，利用線面垂直的判定定理來證明.也可

作出二面角的平面角，證明平面角為直角，利用定義來證明.

(2)面面垂直的性質(zhì)

已知兩個平面垂直時，過其中一個平面內(nèi)的一點作交線的垂線，則由面面垂

直的性質(zhì)定理可得此直線垂直于另一個平面，于是面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，由

此得出結(jié)論：兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三

個平面.

即時訓練5.（2020?全國卷I）如圖，D為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓

心，/XABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為。。上一點，ZAPC=90°.

⑴證明：平面%81平面以C;

（2）設(shè)。。=啦，圓錐的側(cè)面積為小兀，求三棱錐P-ABC的體積.

解（1）證明：連接04,OB,OC.

為圓錐頂點，O為底面圓心，平面ABC.

，；P在DO上,OA=OB=OC,.\PA=PB=PC.

???△ABC是圓內(nèi)接正三角形，

：.AC=BC,

：./_APC=ABPC=9Q°,PBLPC,PAVPC.

又處CPB=P,「.PC，平面附8.

?.?PCU平面鞏C,.?.平面%31平面%C.

⑵設(shè)圓錐的母線為I,底面半徑為r,

則圓錐的側(cè)面積為兀兀，r/=V3.

。。2=Z2-r2=（色/，

解得r=1,/=小，AC=2rsin60°=V3,

在等腰直角三角形APC中，AP*AC*,

在Rt△雨。中，PO=、AP2_OA2=1=乎,

二?三棱錐P-ABC的體積為VP_^C=1/>O-SMBC=|X^X1XV3XV3X^

=8-

-----------------P課時作業(yè)]-------------------------

一、單項選擇題

1.若凡乩c是三條不同的直線，%夕是兩個不同的平面，則的一個

充分不必要條件是（）

A.a_Lc,hA_cB.aA_[i,aU*bu°

C.aJLa,bIIaD.al.a,b]_a

答案C

解析對于A,B,直線a,。可能是平行直線，相交直線，也可能是異面直

線；對于C,在平面a內(nèi)存在c//b,因為ala,所以ale,故。_1匕；對于D,

一定能推出a//b.故選C.

2.（2020?煙臺摸底）已知直線加，I,平面a,小且mla,/（=夕，給出下列命

題：

①若。//尸，貝【J"?!/；②若al￡,則m//1；③若能1/,貝al尸；④若加///,

則a±A

其中是真命題的是（）

A.①④B.③④

C.①②D.①③

答案A

解析對于①，若a//Q,mla,/c^,則機1/,故①是真命題，排除B;對

于④，若mill,mla,則/la,又因為/U』，所以al/T故④是真命題.故選A.

3.如圖，在四面體ABC。中，已知AB1AC,BDLAC,那么。在平面A8C

內(nèi)的射影”必在（）

A.直線AB上

B.直線8c上

C.直線AC上

D.△ABC內(nèi)部

答案A

解析由AB_LAC,BDVAC,ABCBD=B,貝"AC_L平面AB。，而ACU平

面ABC,則平面ABC1平面ABD,因此。在平面ABC內(nèi)的射影“必在平面ABC

與平面A3。的交線AB上，故選A.

4.（2020?福建質(zhì)量檢查）如圖，A8是圓。的直徑，區(qū)垂直圓。所在的平面，

C是圓周上不同于A,3的任意一點，M,N分別為例,VC的中點，則下列結(jié)論

正確的是（）

A.MNIIAB

B.MN與所成的角為45°

C.OCL平面VAC

D.平面區(qū)Cl平面

答案D

解析依題意，得MNMAC,又因為直線AC與AB相交，因此MN與不

平行，A錯誤；因為A3是圓。的直徑，所以AC13C,因此MN與8C所成的角

是90。，B錯誤；因為直線OC與AC不垂直，因此。。與平面山。不垂直，C錯

誤；由于3clAC,BCLVA,因此BC1平面3c又BCU平面V3C,所以平面

以C1平面VBC,D正確.故選D.

5.在如圖所示的四個正方體中，能得出AB_LC。的是（)

C

答案A

解析A中，CO_LAB;B中，A3與CO成60。角；C中，與CO成45。

角；D中，A8與夾角的正切值為啦.故選A.

6.如圖，在四邊形A8CO中，ADIIBC,AD=AB,ZBCD=45°,NBAD=

90。.將△ADB沿8。折起，使平面A8D1平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD,則在

三棱錐A-BCD中，下列命題正確的是（）

A.平面ABO_L平面ABC

B.平面AOC1平面

C.平面ABC1平面

D.平面AOC1平面ABC

答案D

解析因為在四邊形A8CO中，ADIIBC,AD=AB,/BCD=45。,/BAD

=90°,所以3O1CD,又因為平面4?。1平面8C。，且平面ABDA平面BC。=

BD,所以CO1平面A8O,所以C0145,又因為AO1AB,ADQCD=D,所以

AB1平面AOC,即平面A8CL平面AOC,故選D.

7.（2020.山東高考）日號是中國古代用來測定時間的儀器，利用與唇面垂直

的暑針投射到暑面的影子來測定時間.把地球看成一個球（球心記為。），地球上

一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A

且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日辱，若暑面與赤道所在平面平行，點

A處的緯度為北緯40。，則號針與點A處的水平面所成角為（）

A.20°B.40°

C.50°D.90°

答案B

解析畫出截面圖如圖所示，其中是赤道所在平面的截線，/是點A處

的水平面的截線，依題意可知OA1/,A3是唇針所在直線，加是辱面的截線，依

題意，暑面和赤道平面平行，號針與唇面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得機

IICD,根據(jù)線面垂直的定義可得A31〃z.由于NAOC=40。，milCD,所以/OAG

=ZA<9C=40°,由于NOAG+NGAE=N8AE+NGAE=90。，所以

OAG=40°,也即號針與點A處的水平面所成角為Z8AE=40。.故選B.

二、多項選擇題

8.如圖，在正方體ABC。-AIiGA中，M,N分別是8G,C。的中點,

則下列說法正確的是（）

A.MN與CG垂直

B.MN與AC垂直

C.MN與8。平行

D.MN與AiBi平行

答案ABC

解析如圖所示，連接G。，因為M,N分別是BG,cn的中點，所以MN

IIBD,而GC13。，故GC1MN,故A,C正確；又因為AC18D,所以MN

1AC,B正確；又因為A1B//AB,A3與8。相交，所以MN與AB不平行，故

D錯誤.

9.（2020.青島模擬）如圖，正方體ABCD-Ai&CDi的棱長為1,則下列四個

命題正確的是（）

.71

A.直線與平面A3G。所成的角等于a

B.點C到平面ABCQ的距離為為-

7T

C.兩條異面直線。C和BG所成的角為a

D.三棱柱AAQi-BBiC的外接球半徑為與

答案ABD

解析正方體ABCD-AIiGA的棱長為1.對于A,直線8c與平面ABCiA

7C

所成的角為NCBCi=a，故A正確；對于B,因為BC1平面ABG。，點C到平

面ABGDi的距離為BC長度的一半，即為為故B正確；對于C,因為BG//

ADi,所以異面直線0c和所成的角為/AOC,而△ADC為等邊三角形，

7T

故兩條異面直線DC和所成的角為不故C錯誤；對于D,因為4A,45,

A\Dy兩兩垂直，所以三棱柱A401-BB\C\的外接球也是正方體ABCD-A\B\C\D\

A/12+I2+I2A/3

的外接球，故—5-------=21故D正確.故選ABD.

10.（202。平頂山摸底）如圖，梯形ABC。中，ADIIBC,AABC=90°,AD:

BC：AB=2：3：4,E,尸分別是AB,CO的中點，將四邊形A。/法沿直線所進

行翻折，則下列結(jié)論可能正確的有（）

A.DF1BC

B.BD1FC

C.平面8。尸1平面3c/

D.平面。CE1平面3CF

答案BC

解析對于A,因為BC"AD,A。與OF相交但不垂直，所以8C與。尸不

垂直，則A不成立；對于B,設(shè)點。在平面BCF上的射影為點P,當BP1CF

時就有BD1FC,而AO：BC：AB=2：3：4可使條件滿足，所以B正確；對于

C,當點。在平面8CF上的射影P落在上時，DPU平面BDF,從而平面30F

1平面8CF,所以C正確；對于D,因為點。在平面BCE上的射影不可能在EC

上，所以D不成立.

三、填空題

11.（2019?北京高考）已知/,機是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個論

斷：

①/_!_/“；②機//a；③/J_a.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命

題：.

答案②③二①（或①③今②）

解析②③今①.證明如下：???，%//%.?.根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，知存在

nUa,使得a//〃.又/_La,「?/L”.①③今②.證明如下：Z±a,

m是平面a外的直線，,mIIa.

12.在四棱錐P-A8CO中，出1平面ABC。，底面各邊都相等，M是PC

上的一動點，當點M滿足時，平面平面PCD

答案BM1PC（或0MlpC）

解析?.?△必3四△必。，：.PB=PD,:.4PDC出LPBC,當BM1PC時，

有。MlPC,此時PC_L平面MBD,.,.平面M8D1平面PCD故填BM1PC（或

DMVPQ.

13.點P在正方體48。。-4出1。。的面對角線8G上運動，給出下列命題：

①三棱錐A-D\PC的體積不變；

②4尸//平面ACOi；

③。P_LBC;

④平面平面ACS.

其中正確的命題序號是_______.

答案①②④

解析^-。網(wǎng)=/一,箕點2到平面人^的距離即為臺^與平面人^^的

距離，為定值，故①正確；因為平面AiGB//平面AC。，所以4P//平面ACOi,

故②正確；由于當點尸在B點時，。3不垂直于BG,即。P不垂直于BG,故③

錯誤；由于8。1平面ACU,所以平面平面AC。，故④正確.

四、解答題

14.（2018.全國卷H）如圖，在三棱錐P—A3。中，AB=BC=2吸,PA=PB=

PC=A