“數(shù)的整除性”美在何處

“數(shù)的整除性”美在何處？

數(shù)學(xué)家揭示了美的數(shù)學(xué)概念和邏輯結(jié)構(gòu)，但是數(shù)學(xué)美卻不象藝術(shù)美那樣外顯，它是美的高級(jí)形式，是理論思維與審美意識(shí)交融的產(chǎn)物。對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，由于受年齡、知識(shí)水平、審美能力的限制，很難把數(shù)學(xué)中的美的真正意蘊(yùn)充分體味出來(lái)。為把數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程變?yōu)閿?shù)學(xué)的審美過(guò)程，這就對(duì)教師提出了一個(gè)非?，F(xiàn)實(shí)的問(wèn)題：必須深入發(fā)掘、精心提煉數(shù)學(xué)教材中的美育因素，要對(duì)教材進(jìn)行一番分析概括和生動(dòng)直觀的整體性認(rèn)識(shí)，使教材內(nèi)容成為教師腦海中非常直觀淺顯的東西，才能不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生去體會(huì)數(shù)學(xué)中內(nèi)蘊(yùn)的美的獨(dú)特品質(zhì)。為此，本文針對(duì)小學(xué)五年級(jí)教材“數(shù)的整除”一章，具體剖析數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)。

一、結(jié)構(gòu)美：法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊說(shuō)：“數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美是指一種內(nèi)在的美，它來(lái)自各部分的和諧有序，并能為純粹的理智所領(lǐng)會(huì)，可以說(shuō)正是這種內(nèi)在美給了滿足我們感官的五彩繽紛美景的骨架，……。”“數(shù)的整除”一章是《初等數(shù)論》中的一部分，為了照顧小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，在教材中進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理，但其整體結(jié)構(gòu)還是非常完美的，如下圖：

（附圖{圖}）

由圖看出：本章以倍數(shù)、約數(shù)為核心構(gòu)建了知識(shí)的結(jié)構(gòu)美。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)，善于退，退到最原始的而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅。教師在教學(xué)中應(yīng)把核心知識(shí)打牢，把用處最多的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)練熟，在學(xué)生的頭腦中形成完美的知識(shí)結(jié)構(gòu)，這樣就為學(xué)生學(xué)習(xí)后面的知識(shí)打了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

又如：將60分解質(zhì)因數(shù)

（附圖{圖}）

這種分解法，逐層展示60內(nèi)部的結(jié)構(gòu)美，層次清楚，操作方便，同時(shí)又顯現(xiàn)出簡(jiǎn)潔美。

二、語(yǔ)言美：本章漢語(yǔ)言的敘述極其概括嚴(yán)密、簡(jiǎn)潔、有序，給讀者以美的感受。如本章開(kāi)頭僅用108個(gè)字就把自然數(shù)、0、整數(shù)的概念及“數(shù)的整除”所研究的數(shù)交代清楚，深入體味，這108個(gè)字就給人們以簡(jiǎn)潔、有序的和諧美感。

我國(guó)古代常用形象的語(yǔ)言去描述概念，借助生動(dòng)的比喻去理解題意。明代程大位在《算法統(tǒng)宗》里用四句優(yōu)美的詩(shī)來(lái)表達(dá)“韓信點(diǎn)兵”問(wèn)題的解法，詩(shī)曰：

“三人同行七十稀，

五樹(shù)梅花廿一枝，

七子團(tuán)圓正半月，

除百零五便得知。”

這首優(yōu)美的詩(shī)，把枯燥的數(shù)字，賦在人和美麗的梅花上；又把70與成語(yǔ)，15與月半，巧妙地聯(lián)系在一起，語(yǔ)言通俗生動(dòng)，朗朗上口的韻律，既有音樂(lè)之美，又有記憶之效。反映了數(shù)學(xué)語(yǔ)言美的感染力。

數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)是一種世界公認(rèn)的特殊的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。本章11處用圈代表韋恩圖，借助韋恩圖滲透集合思想，并把運(yùn)算過(guò)程扼要地表現(xiàn)出來(lái)，是語(yǔ)言美的精彩之處。古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，把均衡與對(duì)稱作為美的主要標(biāo)準(zhǔn)，他們把圓或橢圓視為最完美的幾何圖形，因?yàn)樗鼈兊暮?jiǎn)單性、整齊性、對(duì)稱性，給人以美感。因此，本章用圈代表韋恩圖也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)形態(tài)美。

三、方法美：美的數(shù)學(xué)方法是指在解決復(fù)雜問(wèn)題中，體現(xiàn)出來(lái)的美妙之處使心靈感到一種愉快的驚奇。本章為了照顧小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，均采用了由例子引出定義、由例子引出方法、由例子引出定理的觀察法。在邏輯方法上，叫不完全歸納法。這樣符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，使學(xué)生在具體、形象、生動(dòng)的審美感受中，愉快地接受了數(shù)學(xué)理論。教師要首先體味教材中的方法美，再適當(dāng)補(bǔ)充些類似的例子，幫助、引導(dǎo)學(xué)生自己去歸納、總結(jié)、發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使枯燥無(wú)味的數(shù)學(xué)教學(xué)變成生動(dòng)活潑的審美過(guò)程。

例如：整除的定義、質(zhì)數(shù)與合數(shù)、質(zhì)因數(shù)、公約數(shù)、公倍數(shù)的定義，都是在充分觀察例子的基礎(chǔ)上，然后給出定義。

在分析例子的基礎(chǔ)上，歸納得出分解質(zhì)因數(shù)的方法，求最大公約數(shù)的方法，求最小公倍數(shù)的方法。

尤其精彩的是：本章借助韋恩圖，將自然數(shù)乘以2、5、3得到一個(gè)新的集合，滲透了集合、逆推、映射思想，設(shè)置了觀察能被2、5、3整除的環(huán)境。這樣既避免了繁瑣的邏輯推理，又便于學(xué)生觀察、歸納、總結(jié)出能被2、5、3整除的數(shù)的特征，是一種很美妙的方法。請(qǐng)看：右邊圈里的數(shù)，個(gè)位數(shù)有什么特征。

（附圖{圖}）

圖中的省略號(hào)，開(kāi)啟學(xué)生的想象力，體現(xiàn)有限與無(wú)限的統(tǒng)一美。

為了形象、直觀地表示最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)，本章借助韋恩圖，用交集深刻地揭示了“公”的本質(zhì)。如：

（附圖{圖}）

這既是一種方法美，又是一種形態(tài)美。

在數(shù)學(xué)史上，無(wú)論是一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生，還是具體給出一個(gè)概念的定義，都經(jīng)歷過(guò)一個(gè)積累經(jīng)驗(yàn)材料的時(shí)期。從大量觀察、實(shí)驗(yàn)得來(lái)的材料發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，總結(jié)出數(shù)學(xué)定理或新概念，這是數(shù)學(xué)研究工作中最初步的然而又是最基本的工作?！皵?shù)學(xué)王子”高斯說(shuō)過(guò)，他的許多發(fā)現(xiàn)都是靠歸納法取得的。不完全歸納法雖然不能作為嚴(yán)密的論證方法，但是它能使我們迅速發(fā)現(xiàn)一些數(shù)量關(guān)系的規(guī)律，為我們提供研究方向。素?cái)?shù)分布論中許多著名定理，如素?cái)?shù)定理、貝特朗定理、狄里克雷定理等，都是先用不完全歸納法從經(jīng)驗(yàn)概括出來(lái)成為猜想，然后再經(jīng)過(guò)嚴(yán)格數(shù)學(xué)推導(dǎo)，設(shè)法給予證明的。當(dāng)然還有的猜想至今未得到證明，如：

6=3+3，8=3+5，10=5+5，12=5+7，

14=7+7，16=3+13，18=5+13，20=7+13，

22=3+19，24=5+19，26=3+23，28=5+23，

……

由此歸納出可能有：凡是大于4的偶數(shù)都是二個(gè)奇素?cái)?shù)之和，這就是著名的哥德巴赫猜想。這個(gè)猜想直到現(xiàn)在還沒(méi)有肯定的或否定的答案，我們認(rèn)為肯定的可能性很大。這個(gè)問(wèn)題現(xiàn)在