山西省呂梁市鳳城中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省呂梁市鳳城中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}（n∈N+）的前n項和，且S2=S6，a4=1，則a5=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2參考答案：A【考點】等差數(shù)列的前n項和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)出等差數(shù)列的首項和公差，由已知列式求出首項和公差，代入等差數(shù)列的通項公式得答案．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，由S2=S6，a4=1，得，解得．∴a5=7+4×（﹣2）=﹣1．故選：A．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了等差數(shù)列的前n項和，是基礎(chǔ)題．2.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象

（

）A．向右平移個單位長度

B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度

D．向左平移個單位長度參考答案：B略3.已知，，則中的元素個數(shù)為（

）A.1 B.2 C.6 D.8參考答案：B【分析】先化簡集合B并求出其補集，然后和集合A進行交集計算.【詳解】解：，或，，，的元素個數(shù)為2個.故選:.【點睛】本題考查了的交集、補集的運算，屬于基礎(chǔ)題．4.恩格爾系數(shù)是食品支出總額占個人消費支出總額的比重，其數(shù)值越小說明生活富裕程度越高．統(tǒng)計改革開放40年來我國歷年城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)，繪制了下面的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（

）A.城鎮(zhèn)居民家庭生活富裕程度不低于農(nóng)村居民家庭B.隨著改革開放的不斷深入，城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭生活富裕程度越來越高C.1996年開始城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭恩格爾系數(shù)都低于50%D.隨著城鄉(xiāng)一體化進程的推進，城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭生活富裕程度差別越來越小參考答案：C【分析】根據(jù)圖象，結(jié)合選項，判斷正誤.【詳解】從圖中可知城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)不高于農(nóng)村居民家庭的恩格爾系數(shù)，所以A選項正確；從圖中可知城鎮(zhèn)居民家庭和農(nóng)村居民家庭的恩格爾系數(shù)都在降低，所以B選項正確；從圖中可知農(nóng)村居民家庭的恩格爾系數(shù)從2001年開始低于50%，所以C選項錯誤；從圖中可知隨著城鄉(xiāng)一體化進程的推進，城鎮(zhèn)和農(nóng)村居民家庭的恩格爾系數(shù)越來越接近，所以D選項正確.故選：C【點睛】本題主要考查了根據(jù)圖象提取信息的能力，屬于容易題.5.圖2是一個幾何體的三視圖，已知側(cè)視圖是一個等邊三角形，根據(jù)圖中尺寸（單位：cm），可知這個幾何體的表面積是（

）A． B．C． D．參考答案：C略6.已知命題若命題是真命題，則實數(shù)的取值范圍（）A．B．［1,4］C．D．參考答案：A7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的結(jié)果是7，則判斷框內(nèi)的取值范圍是（

）A. B.C. D.參考答案：A8.已知非零向量，的夾角為，且||=1，|﹣2|=1，則||=（）A． B．1 C． D．2參考答案：【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【分析】直接利用向量的數(shù)量積，化簡求解即可．【解答】解：非零向量，的夾角為，且||=1，|﹣2|=1，∴2+42﹣4?=1+4||2﹣4||?||cos=1+4||2﹣2||=1，解得||=，故選：A．【點評】本題考查向量的模的求法，數(shù)量積的應(yīng)用，考查計算能力．9.圓x2+y2－2x－8y+13=0的圓心到直線ax+y－1=0的距離為1，則a=（A）

（B）

（C）

（D）2參考答案：A圓x2+y2－2x－8y+13=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x－1)2+(y－4)2=4，故圓心為(1,4)，，解得，故選A．10.已知α是第二象限角，且sin（π﹣α）=，則sin2α的值為（）A．﹣ B． C．﹣ D．﹣參考答案：A【考點】二倍角的正弦．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；分析法；三角函數(shù)的求值．【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα，根據(jù)二倍角公式即可求得sin2α的值．【解答】解：∵α是第二象限角，且sin（π﹣α）=sinα=，∴cosα=﹣=﹣．∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）=﹣．故選：A．【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.為了調(diào)查城市PM2.5的值，按地域把36個城市分成甲、乙、丙三組，對應(yīng)的城市數(shù)分別為6，12，18．若用分層抽樣的方法抽取12個城市，則乙組中應(yīng)抽取的城市數(shù)為

▲

．參考答案：112.已知整數(shù)對的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…，則第60個數(shù)對是．參考答案：（5，7）【考點】數(shù)列的應(yīng)用．【專題】規(guī)律型．【分析】把握數(shù)對的規(guī)律如下：①兩個數(shù)之和為n的整數(shù)對共有n﹣1個，②在兩個數(shù)之和為n的n﹣1個整數(shù)對中，排列順序為，第1個數(shù)由1起越來越大，第2個數(shù)由n﹣1起越來越?。窘獯稹拷猓阂?guī)律是：①兩個數(shù)之和為n的整數(shù)對共有n﹣1個，②在兩個數(shù)之和為n的n﹣1個整數(shù)對中，排列順序為，第1個數(shù)由1起越來越大，第2個數(shù)由n﹣1起越來越?。O(shè)兩個數(shù)之和為2的數(shù)對為第1組，數(shù)對個數(shù)為1；兩個數(shù)之和為3的數(shù)對為第二組，數(shù)對個數(shù)2；…，兩個數(shù)之和為n+1的數(shù)對為第n組，數(shù)對個數(shù)為n．又∵1+2+…+10=55，1+2+…+11=66∴第60個數(shù)對在第11組之中的第5個數(shù)，從而兩數(shù)之和為12，應(yīng)為（5，7）；故答案為（5，7）．【點評】本題主要考查數(shù)列知識的拓展及應(yīng)用．13.對于數(shù)列，定義為的“優(yōu)值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列的“優(yōu)值”，記數(shù)列的前n項和為，若對任意的n恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是_________．參考答案：[,]由題意，則，則則，對也成立故則數(shù)列為等差數(shù)列，故對任意的恒成立化為，，即，解得則實數(shù)的取值范圍是故答案為

14.（不等式選做題）若不等式對一切非零實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：15.若，則下列不等式對一切滿足條件的恒成立的是

．（寫出所有正確命題的編號）．①；

②；

③；④；

⑤參考答案：①，③，⑤．對于命題①由，得，命題①正確；對于命題②令時，不成立，所以命題②錯誤；對于命題③，命題③正確；對于命題④令時，不成立，所以命題④錯誤；對于命題⑤，命題⑤正確．所以正確的結(jié)論為①，③，⑤．16.在區(qū)間上隨機取一實數(shù)，則該實數(shù)滿足不等式的概率為．參考答案：由不等式，可得，所以所求概率為。17.在區(qū)間上任意取一個數(shù)x，則的概率為

。參考答案：１／３略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數(shù)

（1）若函數(shù)的取值范圍；

（2）若對任意的時恒成立，求實數(shù)b的取值范圍。參考答案：解：（1），

（2分）依題意知恒成立。

（3分）因此

（4分）故實數(shù)a的取值范圍是[—4，4]。

（5分）

（2）因為當(dāng)，

（6分）于是當(dāng)

（7分）為減函數(shù)，在[0，1]上為增函數(shù)。

（8分）要使上恒成立，只需滿足

（10分）即

（12分）因為故實數(shù)b的取值范圍是

（14分）略19.（滿分14分）設(shè)函數(shù).（1）若對于定義域內(nèi)的任意，都有成立，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在定義域是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：.參考答案：解：（1）的定義域為.對都有，又在定義域上連續(xù).，故.，解得.經(jīng)檢驗，符合題意，故

…（3分）（2），又在定義域上是單調(diào)函數(shù)，或在上恒成立.……………（5分）若在上恒成立.即在上恒成立，………（6分）若即在上恒成立.在上沒有最小值，不存在實數(shù)使恒成立.…………（7分）綜上所知，實數(shù)取值范圍是…………（8分）（2）法一……（9分）……（10分）令，令……（11分）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減.又當(dāng)時，恒有，即恒成立……（12分）取，則有……………………（13分），即…………（14分）法二：又故不等式成立。略20.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左焦點分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），過F2作垂直于x軸的直線l交橢圓C于A、B兩點，滿足|AF2|=c．（1）橢圓C的離心率；（2）M、N是橢圓C短軸的兩個端點，設(shè)點P是橢圓C上一點（異于橢圓C的頂點），直線MP、NP分別和x軸相交于R、Q兩點，O為坐標(biāo)原點，若|OR|?|OQ|=4，求橢圓C的方程．參考答案：（1）；（2）．試題分析：（1）法一：把點橫坐標(biāo)代入橢圓求得，從而得到的關(guān)系式，進而求得離心率；法二：直角中，由勾股定理得到的關(guān)系式，從而求得離心率；（2）設(shè)，則由、的方程中分別令得到與點橫坐標(biāo)，從而由求得的值，進而求出值，得到橢圓方程．試題解析：（1）法一：點橫坐標(biāo)為，代入橢圓得，解得，∴．即，設(shè)，∴，解得．法二：直角中，，∴由勾股定理得，即，∴，∴，即（2）設(shè)，則方程為，令得到點橫坐標(biāo)為；方程為，令得到點橫坐標(biāo)為；∴,∴橢圓的方程為．21.已知函數(shù)（其中）.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點，且，求證：.參考答案：解：（1）定義域為當(dāng)時，；當(dāng)時，令，解或；，解當(dāng)時，令，得；，得；所以當(dāng)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由（1）可知，有兩個極值點，且，則時，且；要證，即證，即證，即證，又，即證；令，則，設(shè)，而，即在單調(diào)遞增；，即成立；所以.

22.“綠水青山就是金山銀山”，為推廣生態(tài)環(huán)境保護意識，高二一班組織了環(huán)境保護興趣小組，分為兩組，討論學(xué)習(xí)。甲組一共有4人，其中男生3人，女生1人，乙組一共有5人，其中男生2人，女生3人，現(xiàn)要從這9人的兩個興趣小組中抽出4人參加學(xué)校的環(huán)保知識競賽.（1）設(shè)事件A為“選出的這4個人中要求兩個男生兩個女生，