江蘇省常州市官林中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析

江蘇省常州市官林中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設x，y滿足約束條件，若目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為8，則ab的最大值為（）A．1 B．2 C． D．4參考答案：C考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應用．分析：由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得到3a+14b=20，然后利用基本不等式求得ab的最大值．解答：解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得B（）．化z=ax+by為，由圖可知，當直線過B時，直線在y軸上的截距最大，z最大．此時z=，即3a+14b=20．∵a＞0，b＞0，∴，即．∴ab的最大值為．故選：C．點評：本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓練了利用基本不等式求最值，是中檔題．2.函數(shù)的大致圖象是（

）參考答案：C3.在等差數(shù)列中，，則此數(shù)列前13項的和為……………（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.若函數(shù)=在[－2,+∞)上是減函數(shù)，則a的取值范圍為A．[4,+∞)

B．[4,5)

C.[4,8)

D．[8,+∞)參考答案：B5.程序框圖如圖所示，若輸入值t∈（0，3），則輸出值S的取值范圍是（）A．（0，4） B．（0，4] C．[0，9] D．（0，3）參考答案：B【考點】程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，可得程序框圖的功能是計算并輸出S=的值，分類討論即可得解．【解答】解：由程序框圖可知程序框圖的功能是計算并輸出S=的值，∴當t∈（0，1）時，0≤3t＜3；當t∈[1，3）時，4t﹣t2=4﹣（t﹣2）2∈[3，4]，∴綜上得：0≤S≤4．故選：B．6.已知函數(shù)滿足對恒成立，則函數(shù)

（

）

A．一定為奇函數(shù)

B．一定為偶函數(shù)

C．一定為奇函數(shù)

D．一定為偶函數(shù)參考答案：D7.若函數(shù)，則（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）

A．

B．

C．

D.參考答案：C8.若集合A＝{x|3-2x＜1}，B＝{x|4x-3x2≥0}，則A∩B＝A．(1，2]

B．

C．[0，1)

D．(1，+∞)參考答案：B9.（2016秋?天津期中）設Sn，Tn分別是等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和，若=（n∈N*），則=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式進行解答．【解答】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得：=====．故選：C．【點評】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，屬中檔題．10.已知雙曲線的左頂點為，右焦點為，為雙曲線右支上一點，則最小值為 （

） A．

B.

C.

D.參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則{an}的公比為．參考答案：【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)等差中項可知4S2=S1+3S3，利用等比數(shù)列的求和公式用a1和q分別表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，∴an=a1qn﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案為【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．屬基礎題．12.中，

參考答案：45°略13.已知拋物線的準線過雙曲線的一個焦點，且雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的方程為

．參考答案：

14.設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=，3sinA=sinB，cosC=，則邊c=．參考答案：2【考點】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理化簡3sinA=sinB，可得3a=b，結(jié)合a=，可求b，進而利用余弦定理可求c的值．【解答】解：∵3sinA=sinB，可得：3a=b，∴由a=，可得：b=3，∵cosC=，∴由余弦定理可得：c===2．故答案為：2．15.某學校高一某班的一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程序的破壞，但可見部分如下圖，據(jù)此可以了解分數(shù)在的頻率為

，并且推算全班人數(shù)為

。參考答案：

25

略16.實數(shù)x，y滿足則不等式組所圍成的圖形的面積為

．參考答案：1考點：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．專題：不等式的解法及應用．分析：作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用三角形的面積公式進行求解即可．解答： 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：則不等式組圍成的圖形為三角形，其中A（0，1），B（1，0），C（2，1），則三角形ABC的面積S=，故答案為：1．點評：本題主要考查三角形面積的計算，以及二元一次不等式組表示平面區(qū)域，比較基礎．17.設集合A={（m1，m2，m3）|m2∈{﹣2，0，2}，mi=1，2，3}}，集合A中所有元素的個數(shù)為；集合A中滿足條件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素個數(shù)為．參考答案：27,18.【考點】集合的表示法；元素與集合關(guān)系的判斷．【專題】集合；排列組合．【分析】根據(jù)集合A知道m(xù)1，m2，m3各有3種取值方法，從而構(gòu)成集合A的元素個數(shù)為27個，而對于2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5可分為這樣幾種情況：|m1|+|m2|+|m3|=2，或|m1|+|m2|+|m3|=4，求出每種情況下構(gòu)成集合A的元素個數(shù)再相加即可．【解答】解：m1從集合{﹣2，0，2）中任選一個，有3種選法，m2，m3都有3種選法；∴構(gòu)成集合A的元素有3×3×3=27種情況；即集合A元素個數(shù)為27；對于2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5分以下幾種情況：①|(zhì)m1|+|m2|+|m3|=2，即此時集合A的元素含有一個2，或﹣2，兩個0，2或﹣2從三個位置選一個有3種選法，剩下的位置都填0，這種情況有3×2=6種；②|m1|+|m2|+|m3|=4，即此時集合A含有兩個2，或﹣2，一個0；或者一個2，一個﹣2，一個0；當是兩個2或﹣2，一個0時，從三個位置任選一個填0，剩下的兩個位置都填2或﹣2，這種情況有3×2=6種；當是一個2，一個﹣2，一個0時，對這三個數(shù)全排列即得到3×2×1=6種；∴集合A中滿足條件“2≤|m1|+|m2|+|m3|≤5”的元素個數(shù)為6+6+6=18．故答案為：27，18．【點評】考查描述法表示集合，分步計數(shù)原理及排列內(nèi)容的應用，以及分類討論思想的應用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足=2+2cos（A+B）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若a=1，c=，求△ABC的面積．參考答案：【考點】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根據(jù)正弦定理進行轉(zhuǎn)化即可求的值；（Ⅱ）若a=1，c=，根據(jù)三角形的面積公式即可求△ABC的面積．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴sin（2A+B）=2sinA+2sinAcos（A+B），∴sin[A+（A+B）]=2sinA+2sinAcos（A+B），∴sin（A+B）cosA﹣cosAsin（A+B）=2sinA，…∴sinB=2sinA，…∴b=2a，∴．…（Ⅱ）∵，，∴b=2，∴，∴．…∴，即△ABC的面積的．…19.（本小題滿分14分)已知數(shù)列是首項為，公比的等比數(shù)列。設，，數(shù)列滿足；（Ⅰ）求證：數(shù)列成等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和；（Ⅲ）若對一切正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍。參考答案：（Ⅰ）由已知可得，，為等差數(shù)列，其中.

……………5分

（Ⅱ）

①

②1

-②得

……………9分（Ⅲ）當時，，當時，，若對一切正整數(shù)恒成立，則即可，即或.

……………14分20.（本小題滿分13分）

如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1，ACC1A1均為正方形，，點D是棱BC的中點。

（Ⅰ）求證：平面BCC1B1；

（Ⅱ）求證：A1B//平面AC1D；

（Ⅲ）求平面AC1D與平面ACC1A1所成的銳二面角的余弦值。參考答案：解：（Ⅰ）證明：因為側(cè)面，均為正方形所以所以平面

……………1分因為平面，所以

………………2分又因為，為中點，所以

………3分因為,所以平面

………………4分（Ⅱ）證明：連結(jié)，交于點，連結(jié)因為為正方形，所以為中點又為中點，所以為中位線所以

…………6分因為平面，平面

所以平面………8分

(Ⅲ)解：因為側(cè)面，均為正方形，

所以兩兩互相垂直，如圖所示建立直角坐標系設，則

………………9分設平面的法向量為，則有，，所以取，得

………………10分又因為平面所以平面的法向量為………11分

………12分所以，平面與平面所成的銳二面角的余弦值………………13分略21.

（12分）在五棱錐P-ABCDE中，PA=AB=AE=4a，PB=PE=a，BC=DE=2a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．（1）若為中點，求證：平面.（2）求二面角A-PD-E的正弦值；（3）求點C到平面PDE的距離.

參考答案：解析：（1）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG。，為中點，所以AG⊥PE，DE∩PE＝E，∴AG⊥平面PDE

……………（4分）（2）∵∠AED＝90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE．過A作AG⊥PE于G，過DE⊥AG，∴AG⊥平面PDE．過G作GH⊥PD于H，連AH，由三垂線定理得AH⊥PD．∴∠AHG為二面角A-PD-E的平面角．在直角△PAE中，AG＝2a．在直角△PAD中，AH＝a∴在直角△AHG中，sin∠AHG＝＝．∴二面角A-PD-E的正弦值為．

…………..(8分)（3）∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°,

BC=DE=2a,AB=AE=4a,取AE中點F，連CF，∵AF∥=BC,∴四邊形ABCF為平行四邊形．∴CF∥AB，而AB∥DE，∴CF∥DE，而DE平面PDE，CF平面PDE，∴CF∥平面PDE．∴點C到平面PD