第5講二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用

1.

為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤(岸堤足夠長)為一邊，用總長為80m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設(shè)BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；(2)x為何值時，y有最大值？最大值是多少？3.

某大學(xué)生利用暑假40天社會實(shí)踐參與了一家網(wǎng)店的經(jīng)營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關(guān)信息如下表所示.2.

某廠今年一月份新產(chǎn)品的研發(fā)資金為a元，以后每月新產(chǎn)品的研發(fā)資金與上月比增長率都是x，則該廠今年三月份的研發(fā)資金y(元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝

a(1＋x)2

．請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件；求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？4. 如圖，排球運(yùn)動員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度y(m)與運(yùn)行的水平距離x(m)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝a(x－6)2＋h.已知球網(wǎng)與O點(diǎn)的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18m.(1)當(dāng)h＝2.6時，求y與x的關(guān)系式；(不要求寫出自變量x的取值范圍)

(2)當(dāng)h＝2.6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由；

(3)若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍．【解答過程】解：∵點(diǎn)(0，2)在y＝a(x－6)2＋h的圖象上，∴2＝a(0－6)2＋h，a＝ ，函數(shù)可寫成y＝

(x－6)2＋h.(1)當(dāng)h＝2.6時，y與x的關(guān)系式是y＝－

(x－6)2＋2.6；(2)球能越過球網(wǎng)，球會出界．理由：當(dāng)x＝9時，y＝－

×(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，所以球能過球網(wǎng)；當(dāng)y＝0時，－

(x－6)2＋2.6＝0，解得：x1＝6＋2

＞18，x2＝6－2(舍去)，故球會出界．另解：當(dāng)x＝18時，y＝－

×(18－6)2＋2.6＝0.2＞0，所以球會出界．(3)由球能越過球網(wǎng)可知，當(dāng)x＝9時，y＝

＞2.43，①由球不出邊界可知，當(dāng)x＝18時，y＝8－3h≤0，②由①、②知h≥

，所以h的取值范圍是h≥

.名師點(diǎn)評二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是中考熱門題目，考查的方式也多種多樣，屬于難度較大的題目．安徽中考對該內(nèi)容的考查一般在解答題中出現(xiàn)．二次函數(shù)的應(yīng)用題大多數(shù)與生活情境或從體現(xiàn)新課標(biāo)的理念角度命題，解答此類試題，應(yīng)在弄懂題意的前提下，建立二次函數(shù)模型，然后用配方法或公式法求出二次函數(shù)的最值，從而求得實(shí)際問題的最值．名師預(yù)測蕪湖方特歡樂世界投資150萬元引進(jìn)一項大型游樂設(shè)施．若不計維修保養(yǎng)費(fèi)用，預(yù)計開放后每月可創(chuàng)收33萬元．而該游樂設(shè)施開放后，從第1個月到第x個月的維修保養(yǎng)費(fèi)用累計為y(萬元)，且y＝ax2＋bx；若將創(chuàng)收扣除投資和維修保養(yǎng)費(fèi)用稱為游樂場的純收益g(萬元)，g也是關(guān)于x的解析式；(1)若維修保養(yǎng)費(fèi)用第1個月為2萬元，第2個月為4萬元．求y關(guān)于x的解析式；

(2)求純收益g關(guān)于x的解析式；

(3)問設(shè)施開放幾個月后，游樂場的純收益達(dá)到最大，幾個月后，能收回投資？【解答過程】解：(1)由題意，得當(dāng)x＝1時，y＝2，當(dāng)x＝2時，y＝2＋4＝6，代入得，由題意，得g＝33x-150-(x2＋x)＝-x2＋32

x－150；g＝-x2＋32

x－150＝－(x－16)2＋106，∴當(dāng)x＝16時，g最大值＝106，即設(shè)施開放16個月后，游樂場的純收益達(dá)到最大，又∵當(dāng)0＜x≤16時，g隨x的增大而增大，當(dāng)x≤5時，g＜0；而當(dāng)x＞6時，g＞0，∴6個月后能收回投資.1．應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟：(1)設(shè)：設(shè)定題目中的兩個變量，一般是設(shè)x是自變量，y是x的函數(shù)；

(2)列：根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出函數(shù)解析式；(3)定：根據(jù)數(shù)學(xué)意義和實(shí)際意義確定自變量的取值范圍；

(4)解：利用相關(guān)性質(zhì)解決問題；(5)答：檢驗(yàn)后寫出合適的答案．(2)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題中的最優(yōu)化問題，其實(shí)質(zhì)就是求函數(shù)的最大值或最小值．①列出二次函數(shù)的解析式，并根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍；②配方或利用公式求頂點(diǎn)；③檢查頂點(diǎn)在不在自變量的取值范圍內(nèi)．若在，則函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值或最小值；若不在，則在自變量的取值范圍內(nèi)，根據(jù)增減性確定．【溫馨提醒】

解決最值應(yīng)用題要注意兩點(diǎn)：(1)設(shè)未知數(shù)，在“當(dāng)某某為何值時，什么最大(或最小)”的設(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；(2)最值的求解，依靠配方法或者最值公式，而不是解方程.2．應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的常見題型：

(1)用二次函數(shù)表示實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系；如圖，一拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂?shù)剿娴木嚯x為2米時，水面寬度為4米；那么當(dāng)水位下降1米后，水面的寬度為米．【方法指導(dǎo)】在解決呈拋物線形狀的實(shí)際問題時，通常的步驟是：(1)建立合適的平面直角坐標(biāo)系；(2)將實(shí)際問題中的數(shù)量轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)出拋物線的解析式，并將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)解析式；(4)利用函數(shù)關(guān)系式解決實(shí)際問題．2某農(nóng)場擬建三間長方形種牛飼養(yǎng)室，飼養(yǎng)室的一面靠墻(墻長50m)，中間用兩面墻隔開(如圖)，已知計劃中的建筑材料可建墻的長度為48m，則這三間長方形種牛飼養(yǎng)室的總占地面積的最大值為

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m2.【方法指導(dǎo)】求二次函數(shù)的最值問題有兩種方法：一種是根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式計算；二是把多項式配方求二次函數(shù)的最值．東坡商貿(mào)公司購進(jìn)某種水果的成本為20元/kg,

經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在未來48天的銷售單價P(元/kg)與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式為且日銷售量y(kg)與銷售時間t(天)的關(guān)系如下表：(1)已知y與t的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關(guān)系，試求在第30天的日銷售量是多少？

(2)問哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少？(3)在實(shí)際銷售的前24天中，公司決定每銷售1kg水果就捐贈n元利潤(n<9)給“精準(zhǔn)扶貧”對象，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)：在前24天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求n的取值范圍．【方法指導(dǎo)】(1)求函數(shù)解析式一般采用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法解題，先要明確解析式中待定系數(shù)的個數(shù)，再從已知中得到相應(yīng)個數(shù)的獨(dú)立條件(一般來講，最直接的條件是點(diǎn)的坐標(biāo))，最后代入求解．(2)用函數(shù)探究實(shí)際問題中的最值問題，一種是列出一次函數(shù)解析式，分析自變量的取值范圍，得出最值問題的答案；另一種是建立二次函數(shù)模型，列出二次函數(shù)關(guān)系式，整理成頂點(diǎn)式，函數(shù)最值應(yīng)結(jié)合自變量取值范圍求解，最值不一定是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，畫出函數(shù)在自變量取值范圍內(nèi)的圖象，圖象上的最高點(diǎn)縱坐標(biāo)是函數(shù)的最大值，圖象上的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最小值．【解答過程】解：(1)設(shè)y＝kt＋b，把t＝1，y＝118，t＝3，y＝114代入得到∴y＝120－2t，當(dāng)t＝30時，y＝120－60＝60，即在第30天的日銷售量為60千克．

(2)設(shè)日銷售利潤為w元，則w＝(p－20)y，當(dāng)1≤t≤24時，

w＝(

t＋30－20)(120－2t)＝－

t2＋10t＋1200＝－

(t－

10)2＋1250，∴當(dāng)t＝10時，w最大＝1250，當(dāng)25≤t≤48時，w＝(－

t＋48－20)(120－2t)＝t2－116t＋3360＝(t－58)2－4由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)知：當(dāng)t＝25時，w最大＝1085，∵1250>1085，∴在第10天的銷售利潤最大，最大利潤為1250.(3)由題意，得w＝(

t＋30－20－n)(120－2t)＝-

t2＋2(n＋5)t＋1200－120n其對稱軸為x＝2n＋10，要使w隨t的增大而增大．由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)知：2n＋10≥24,解得：n≥7，又∵n<9，∴7≤n<9.1.

某商店從廠家以每件21元的價格購進(jìn)一批商品，該商店可以自行定價．若每件商品售為x元，則可賣出(350－10x)件商品，那商品所賺錢y元與售價x元的函數(shù)關(guān)系為(

B

)A．y＝－10x2－560x＋7350B．y＝－10x2＋560x－7350C．y＝－10x2＋350xD．y＝－10x2＋350x－73502.

國家決定對某藥品價格分兩次降價，若設(shè)平均每次降價的百分率為x，該藥品原價為18元，降價后的價格為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為(

)B．y＝36(1＋x)D．y＝18(1＋x2)CA．y＝36(1－x)C．y＝18(1－x)23.如圖，假設(shè)籬笆(虛線部分)的長度是16m，則所圍成矩形ABCD的最大面積是(

C

)A．60

m2C．64m24.B.63m2D．66m2矩形的周長是8cm，設(shè)一邊為xcm，矩形的面積為ycm2.求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為

y＝－x2＋4x(0<x<4)

．5.

把一個小球以20米/秒的速度豎起向上彈出，它在空中的高度h(米)與時間t(秒)，滿足關(guān)系h＝20t－5t2，當(dāng)小球達(dá)到最高點(diǎn)時，小球的運(yùn)動時間為.6.

某電商銷售一款夏