波利亞的解題訓練與“題海戰(zhàn)術(shù)”的辨析

波利亞的解題訓練與“題海戰(zhàn)術(shù)”的辨析一、訓練的目的不同

“題海戰(zhàn)術(shù)”的目的明顯表現(xiàn)為應(yīng)考．而波利亞強調(diào)解題訓練的目的在于提高學生的數(shù)學

素質(zhì)．波利亞認為，任何學問都包括知識和能力這兩個方面．對于數(shù)學，能力比起僅僅具有

一些知識來重要得多．因此，“學校的目的應(yīng)該是發(fā)展學生本身的內(nèi)蘊能力，而不僅僅是傳

授知識”．波利亞發(fā)現(xiàn)，在日常解題和攻克難題而獲得數(shù)學上重大發(fā)現(xiàn)之間，并沒有不可逾

越的鴻溝．他說：“一個重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一些重大的問題，但在求解任何問題的過程中

，也都會有點滴的發(fā)現(xiàn)．”要想有重大的發(fā)現(xiàn)，就必須重視平時的解題．

數(shù)學有兩個側(cè)面，一方面，已嚴格地提出來的數(shù)學是一門系統(tǒng)的演繹科學；另一方面，在

創(chuàng)造過程中的數(shù)學看來卻像是一門實驗性的歸納科學．波利亞指出，通過研究解題方法，我

們可以看到數(shù)學的第二個側(cè)面，也就是看到“處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學”．

因此，波利亞

把

“解題”作為培養(yǎng)學生數(shù)學才能和教會他們思考的一種手段和途徑．這種思想得到了國際數(shù)

學教育界的廣泛贊同．1976年數(shù)學管理者委員會把解題能力列為10項基本技能的首位，美

國數(shù)學教師聯(lián)合會理事會把解題提到了“80年代學校數(shù)學的核心”這一高度．

波利亞的解題思想集中反映在他的《怎樣解題》一書中，該書的中心思想就是談解題過程

中

怎樣誘發(fā)靈感．書的一開始就是一張“怎樣解題表”，在“表”中收集了一些典型的問題與

建

議．波利亞推崇探索法，他認為現(xiàn)代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用

的

智力活動．他說《怎樣解題》這本書就是實現(xiàn)這種計劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實質(zhì)上

就是

試圖誘發(fā)靈感的“智力活動表”．正如波利亞在書中所寫：“我們的表實際上是一個在解題

中典型有用的智力活動表．”“表中的問題和建議并不直接提到好念頭，但實際上所有的問

題和建議都與它有關(guān)．”

“怎樣解題表”包含四部分內(nèi)容：弄清問題、擬訂計劃、實現(xiàn)計劃、回顧．波利亞說：“

弄清問題是為好念頭的出現(xiàn)做準備；制訂計劃是試圖引發(fā)它；在引發(fā)之后，我們實現(xiàn)它；回

顧此過程和求解的結(jié)果，是試圖更好地利用它．”波利亞所講的好念頭，就是指靈感．

《怎樣解題》書中有一部分內(nèi)容叫“探索法小詞典”，從篇幅上看，它占全書的

4/5．“探索法小辭典”的主要內(nèi)容就是配合“怎樣解題表”，對解題

過程中典型有用的智力活動做進一步解釋．

全書的字里行間，處處給人一個強烈的感覺：波利亞強調(diào)解題訓練的目的是引導學生開展

智力活動，提高數(shù)學才能．

二、訓練的方式不同

“題海戰(zhàn)術(shù)”是讓學生做大量的題，熟悉題型及其解法．波利亞反對讓學生做大量的題，

他認為，一個數(shù)學教師，如果“把分配給他的時間塞滿了例行運算來訓練他的學生，他就扼

殺了學生的興趣，妨礙了他們的智力發(fā)展……”因此，他主張與其窮于應(yīng)付繁瑣的教學內(nèi)

容和過量的題目，還不如選擇一個有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學生深入發(fā)掘題目的各

個側(cè)面，使學生通過這道題目，就如同通過一道大門而進入一個嶄新的天地．比如，“證明

是無理數(shù)”和“證明素數(shù)有無限多個”就是這樣的好題目，前者通

向?qū)崝?shù)的精確概念，而后者是通向數(shù)論的門戶，打開數(shù)學發(fā)現(xiàn)大門的金鑰匙往往就在這類好

題目之中．

過去，國內(nèi)外有關(guān)學習數(shù)學的著作和習題集基本上偏重于解決個別類型的問題，例如算術(shù)

問題、幾何問題、代數(shù)問題等，但很少涉及解題的一般方法．然而，“學生熟悉了解答個別

類型問題的特殊方法之后，有可能只限于掌握一種千篇一律的死板方法而并不具備獨立解

決新問題的本領(lǐng)．”波利亞的《怎樣解題》就彌補了這一空白，這本書給出了求解數(shù)學問題

的一般方法．今天人們公認，在數(shù)學解題研究方面，波利亞是一面旗幟，他做出了劃時代的

貢獻．

“怎樣解題表”中的指導性意見，具有普適性．不僅適用于“不太能獨立工作”的人，而

且適用于那些能獨立解題的人；不僅適用于數(shù)學學科，而且可適用于其他學科．例如，未知

數(shù)是什么?已知數(shù)是什么?條件是什么?這些問題都是普遍適用的，對于所有各類問題(代數(shù)的

或幾何的，數(shù)學的或非數(shù)學的，理論的或?qū)嶋H的)，我們提出這些問題都會取得良好效果．

波利亞解題訓練的方式是引導學生按照“表”中的問題和建議思考問題，探索解題途徑．試

圖引導學生逐步掌握解題過程的一般規(guī)律．這與“題海戰(zhàn)術(shù)”的“題型＋解法”的訓練方式

是絕然不同的．

波利亞高度重視解題過程中的合情推理．數(shù)學中的合情推理是多種多樣的，而歸納和類比

是兩種用途最廣的特殊合情推理，拉普拉斯曾說過：“甚至在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的工具也是

歸納與類比．”因而波利亞對這兩種合情推理給予了特別重視，并注意到更廣泛的合情推理

；他不僅討論了合情推理的特征、作用、范例、模式，還指出了其中的教學意義和教學方法

．

波利亞反復(fù)呼吁：只要我們能承認數(shù)學創(chuàng)造過程中需要合情推量、需要猜想的話，數(shù)學教

學中就必須有教猜想的地位，必須為發(fā)明做準備，或至少給一點發(fā)明的嘗試．對于一個想以

數(shù)學作為終身職業(yè)的學生來說，為了在數(shù)學上取得真正的成就，就得掌握合情推理；對于一

般學生來說，他也必須學習和體驗合情推理，這是他未來生活的需要．

怎樣教猜想?怎樣教合情推理?沒有十拿九穩(wěn)的教學方法．波利亞說，教學中最重要的就是

選取一些典型教學結(jié)論的創(chuàng)造過程，分析其發(fā)現(xiàn)動機和合情推理，然后再讓學生模仿范例去

獨立實踐，在實踐中發(fā)展合情推理能力．波利亞欣賞蘇格拉底的名言：“思想應(yīng)當誕生在學

生的心里，教師僅僅應(yīng)當像助產(chǎn)士那樣辦事．”他指出，教師要選擇典型的問題，創(chuàng)設(shè)情境

，讓學生饒有興趣地、自覺地去試驗、觀察，得到猜想．

“學生自己提出了猜想，也就會有追求證明的渴望，因而此時的數(shù)學教學最富有吸引力，

切莫錯過時機”．波利亞指出，要充分發(fā)揮班級教學的優(yōu)勢，鼓勵學生之間互相討論和啟發(fā)

，教師只有在學生受阻的時候才給些方向性的揭示，不能硬把他們趕上事先預(yù)備好的道路，

這樣學生才能體驗到猜想、發(fā)現(xiàn)的樂趣，才能真正掌握合情推理，提高思考問題、解決問題

的能力．