廣東省廣州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題含答案

廣東省廣州市

2022學(xué)年度第一學(xué)期期末考試

高二數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁(yè)，22小題，滿(mǎn)分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.直線(xiàn)y=x+2023的傾斜角為（）

717t2乃3乃

A.—B.—C.D.—

4334

2.已知圓C的方程為（x—1）2+/一2=0,則圓心。的坐標(biāo)為（）

A.(-1,0)B.(1,2)C.(1,0)(1,-2)

x2V2

3.已知雙曲線(xiàn)^2=1,則該雙曲線(xiàn)的離心率為（）

169

4.等差數(shù)列｛4｝中，已知的=10,4=一20,則公差1等于（）

5.己知點(diǎn)尸（―2,1）到直線(xiàn)/:3x—4y+m=0的距離為1,則機(jī)的值為

A.-5或-15B.一5或15C.5或一15D.5或15

6.已知等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比［=2,且滿(mǎn)足外。6=16,則%=（）

7.如圖所示，在平行六面體/BCD-48cA中，E,尸，"分別為的中點(diǎn).若

AB-a,AD=b,A^=c,則向量麗可用3,6,c表示為（）。E

A.——萬(wàn)+—6——c

422

D.-a——b——c

443

r22

8.已知橢圓氏方+v烏=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)廠(chǎng)與拋物線(xiàn)V=16x的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)尸的

直線(xiàn)交E于A、B兩點(diǎn)，若45的中點(diǎn)坐標(biāo)為（L-1）,則橢圓E方程為（）

聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試卷第1頁(yè)共4頁(yè)

222222

A工2,2Dx_ycxynxy

2482593620189

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.己知非零空間向量￡31，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若a〃&5〃c,則a〃cB.a-b=ba

C.（a4）.c=a.?c）D.若’=工4+仍（工,了eR）,則不共面

10.己知點(diǎn)尸在圓（7:￥+/-4》=0上，直線(xiàn)尸x+2平行，則

A.直線(xiàn)Z8與圓C相交B.直線(xiàn)Z8與圓C相離

C.點(diǎn)P到直線(xiàn)力8距離最大值為20+2D.點(diǎn)P到直線(xiàn)Z8距離最小值為20-1

11.設(shè)S,,為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知4=6,%=48,則下列結(jié)論正確的是（）

A.%=9B.a,,=32'TC.s“=3"—lD.5?=3-（2"-1）

12.已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)大,乙在y軸上，短軸長(zhǎng)等于2,離心率為坐過(guò)焦々

作y軸的垂線(xiàn)交橢圓C于P,Q兩點(diǎn),則下列說(shuō)法正確的是

A.橢圓C的方程為二+*=1B.橢圓C的方程為工+/=1

33

D-|尸聞=乎

C.1尸0=竽

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知a=（-3,2,5）,b=（1,5,-1）,則3a-Z=.

14.古希臘著名科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯把1,3,6,10,15,21,這些數(shù)量的（石子），排

成一個(gè)個(gè)如圖一樣的等邊三角形，從第二行起每一行都比前一行多1個(gè)石子，像這樣的數(shù)稱(chēng)

為三角形數(shù).那么把三角形數(shù)從小到大排列，第11個(gè)三角形數(shù)是.

???

??????...

??????????

13610

15.已知拋物線(xiàn)V=6x,直線(xiàn)/過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn)，弦AB

長(zhǎng)為12,則直線(xiàn)/的方程為

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16.數(shù)學(xué)著作《圓錐曲線(xiàn)論》中給出了圓的一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)A,B距離之

比是常數(shù)人(入＞0,人力1)的點(diǎn)M的軌跡是圓.若兩定點(diǎn)A(-3,0),B(3,0),動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足|MA|=

點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為,△ABM面積的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(10分)

已知圓”的圓心為(2,3),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(5,—1).

(1)求圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知直線(xiàn)/:3x—4y+16=0與圓〃相交于48兩點(diǎn)，求|力耳,

18.(12分)

已知數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為0,且Sn=/+2〃

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵求證數(shù)列|占4是等差數(shù)列.

19.(12分)

如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體44GA中，E,尸分別為48,8c的中點(diǎn),

(1)求證：A｝F±CXE-

(2)求點(diǎn)4到平面&E尸的距離.

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20.（12分）

已知/（1,2）,8（2,4）,且。（〃,%）（〃6％*）在直線(xiàn)/6上，其中a“是數(shù)列｛4｝中的第”項(xiàng).

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)〃=2%,，求數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和方.

21.（12分）

如圖，P4_L底面4BCO,EOJ_底面A8C0,四邊形4BCO是正方形，AP=AD=2DE=2.

⑴證明：DE〃平面ABP；

⑵求直線(xiàn)CP與平面DCE所成角的正切值.

22.（12分）

已知橢圓C：。白“a>b>0網(wǎng)離心率為浮其左、右焦點(diǎn)分別為自，F(xiàn)2,7為橢圓C上

任意一點(diǎn)，△7匕%面積的最大值為1-

⑺求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

口已知40,力，過(guò)點(diǎn)（0彳）的直線(xiàn)1與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,直線(xiàn)AM,4V與％軸的交點(diǎn)

分別為P，Q.證明：以PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).

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2022學(xué)年度第一學(xué)期期末考試一一高二數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

12345678

ACCBDDAA

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9101112

ABBCBDACD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（-10,1,16）14._66

33

15.y—x—————x+—16.72乃,1

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（10分）

解：（1）由題意可得：

圓”的半徑，=|A/C|=J(5-2>+(—1—3)2=5..............3分

因?yàn)閳A〃的圓心為（2,3）

所以圓加的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x—2）2+（y—3）2=25..............5分

（2）由（1）可知，圓”的圓心為（2,3）,半徑為/*=5

13x2-4x3+161

所以圓心M到直線(xiàn)/的距離d=J——I=~'-=2..............7分

由垂徑定理，得網(wǎng)=2戶(hù)丁=2452-22=2而..............10分

18.（12分）

解：（1）解:由題知

S”=+2/7,S=4=3,................1分

當(dāng)〃22時(shí),勺=，—Ei................2分

=〃2+2〃-（〃-以一2（〃-1）=2〃+1,............4分

將〃=1代入上式可得q=3,故〃=1時(shí)滿(mǎn)足上式，............5分

:.an=2/7+1；............6分

(2)證明:由題知=〃2+2/7,/.才=〃+2,....................7分

.?.區(qū)="+=............10分

nn-\

且}=3,

??.1}}是以3為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.............12分

19.(12分)

(1)證明：如圖，以8C為x軸，兒/為歹軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則E(0,l,0),F(l,0,0),4(0,2,2),￡(2,0,2),..........2分

所以福=(1,—2,—2),麻=(一2,1,-2),.........4分

所以麗?索=(1,—2,-2)?(―2,1,—2)=0,

故而J.印，所以4尸，。￡；.....6分

(2)由(1)知:￡(0,1,0),尸(1,0,0),4(0,2,0),G(2,0,2),

則麗=(1,一1,0)，西=(1,0,2),荏=(0,-1,0),7分

設(shè)G=(x,y,z)是平面GE/7的法向量，則

尸

n-EF-x-y=0x

由解得(x取x=2,得5=(2,2,-1),9分

n-FC=x+2z=0

}[~2

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為則?［七川=?「分

ZGEEd,d=(01WJ1aJ',……11

\n\V4+4+13

2

所以點(diǎn)Z到平面CEE的距離為...........12分

20.(12分)

解：(1)因?yàn)閆(l,2),8(2,4),所以《^=±2=2................2分

2—1

所以直線(xiàn)45的方程為：y-2=2(x-l)即y=2x.............4分

又因?yàn)椤?及,?！?(〃6%*)在直線(xiàn)/8上，所以為=2〃.............5分

n

(2)anbn=2n-2,....................6分

7],=2x2+4x22+6x23+---+2n-2n,①

27；=2x22+4x2?+…+2(〃一l)2"+2〃?2"i,②....................8分

由①一②得-1=2(2+22+…+2")-2〃-2'山，..........9分

W+1

=-2^(-2--—---2-----)^-2/7-2"+1=(1-?)2,,+2-4....................11分

1-2

所以7；=(〃-1)2"+2+4.........................12分

21.(12分)

解：證明(1)：PA,底面ABCD,ED工底面ABCD,：.B4〃DE........................2分

???弘u平面平面/3尸,〃平面Z8P........................4分

⑵以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,4P所在的直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立如下圖所示的空間

直角坐標(biāo)系...........5分

由已知得，點(diǎn)D(0,2,0),C(2,2,0),E(0,2,D，P(0,0,21所以#=(-!,-2,2)

AD=(0,2,0).....................6分

易知力CJ.平面DCE,則平面DCE的一個(gè)法向量

為而=(0,2,0).................8分

設(shè)直線(xiàn)CP與平面DCE所成角為仇則sinJ=lcos(AD,CP)l=/黑底/

_(0,2,0)(-2-2,2)_V3

-12^Iy10分

則cos。=—sin20=—(-^)2=-y-11分

即直線(xiàn)CP與平面DCE所成角的正切值為苧.?12分

22.(12分)

解：(“設(shè)橢圓。的半焦距為c.

因?yàn)闄E圓C的離心率為/所以，￡=冬…4分

又當(dāng)T位于上頂點(diǎn)或者下頂點(diǎn)處時(shí)，