函數(shù)壓軸題型1利用奇偶性單調(diào)性解函數(shù)不等式問題

題型1利用奇偶性、單調(diào)性解函數(shù)不等式問題

1.設(shè)函數(shù)f(x)=/n(14-1x|)+x2,則使得f(x)>/(2工一1)成立的x的取值范圍是()

。

A.(}1)(efU2)

C.(-4

D.

【解析】解：函數(shù)/(無)=例1+|%|)+%2,

刃R么y(-x)=/n(l+1-xI)+(-x)2=ln(l+1%I)+x2=/(x)

可知f(x)是偶函數(shù)，

當(dāng)x>0,/(x)是遞增函數(shù)，

/(x)>f(2x-l)成立,等價(jià)于|x|>|2x-l|,

解得：-<X<1,

3

故選：A.

2.設(shè)函數(shù)/(力=|*|一20］：［2,則使得/(x)>/(2x-l)成立的x的取值范圍是()

A.(1,1)B.(-00,1)51，+°°)

C.(-g,；)D.(-00,-g)k_J(g,+oo)

【解析】解：/(x)是R上的偶函數(shù)，X..0時(shí)，/(x)=x-2oJ+2,

.?./(*)在［0,+oo)上是增函數(shù)，

由/?>f(2x-1)得，/(|x|)>/(|2x-l|),

/Jx|>|2x-11,

:.x2>4x2-4x+1,解得

3

.?.X的取值范圍是(g,l).

故選：A.

3.函數(shù)f(x)=log1(1+x?)---二■,則使得f(x),J(2x-1)成立的x取值范圍是()

31-2閨

A.(-co,1]B.[11)U(1,1]C.[1,1]

4-00)

【解析】解：/(x)是偶函數(shù)，且在(0,”)上單調(diào)遞減；

由/(x)?/(2x-1)得，/(|x|)?/(|2x-l|);

/Jx|..J2x-l|,且1#0,2犬一IwO;

/.X2..(2X-1)2,且xwO,;

2

解得！麴k】，且

32

.?.x的取值范圍是：

322

故選：B.

17

4.已知函數(shù)/(幻=2_43一4工+2/—士,其中e是自然對數(shù)的底,若/(a-l)+/(2a2)?0,則實(shí)數(shù)a的取值范

3ex

圍是()

D.[-1,^]

A.(—co,—1]B.[—,+oo)C.(-4

【解析】由尸(x)=f-4+2e"+2"'蹶2-4+2,4e'.e^=Y。，知/(x)在R上單調(diào)遞增,

且f(-x)=-gV+?+2e-x-2e'=-f(x),即函數(shù)f(x)為奇函數(shù),

故/(a-l)+/(2a2)^D<=>/(a-1)f(-2a2)<^>a-]^l-2a2<=>2a2+a-l0,

解得一啜上

2

故選：。.

5.已知函數(shù)/(MV-sinx+e*—-^,其中e是自然數(shù)對數(shù)的底數(shù)，若/(a-1)+"2"),,0,則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是()

A.[一：,1]B.[-1,；]C.(-oo,-l^J[^,+oo)D.(-oo,-^|,[l,+oo)

【解析】解：由于/(x)=/一sinx+e*-,

則/(-x)=-x3+sinx+e~x-ex=-7(x),

故函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

故原不等式/(CL1)+f(2/),,0,

可轉(zhuǎn)化為了(2")“一/(〃-1)=/(1一〃)，

即/(2a2),J(l-a);

又f\x)=3x2-cosx+ex+e~x,

由于e-2,

故f'(x)=3x2一cosx+e*+e-*.J恒成立，

故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

則由/(2/),J(l-a)可得，

2a2,,1-〃，即2/+。-]?0,

解得-1麴h

2

故選：B.

12x

6.已知函數(shù)/(%)=2020+log2020(7x+1+x)-2020~4-2,則關(guān)于x的不等式/(3x+l)+/(x)>4的解集為(

)

A.(—―,+oo)B.(-oo,—-)0.(0,+<x))D.(-oo,0)

【解析】解：設(shè)g(x)=/(x)-2=2020*+10820204^1+幻一2020,

A

*.,?0*g(—x)=2020'+log2O2O(y/x"+1—x)—2020=—g(x),

即g(x)為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，

由f(3x+1)+/(X)>4可得g(3x+1)+g(x)>0即g(3x+1)>—g(x)=g(-x),

所以3x+l>-x,

解得，x>--.

4

故選：A.

7.已知函數(shù)f(x)="一+/〃(+1+/)+2,則關(guān)于X的不等式/(3x+l)+/(x)>4的解集為()

A.(—―,-Foo)B.(—co,—-)0.(-oo,0)D.(0,d-oo)

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)/(幻=--+加(+1+外+2,其定義域?yàn)镽；

設(shè)g(x)=/(x)-2=ex-e-x+ln(\lx2+1+x),

有g(shù)(-x)=e~x-ex+ln(G+1-x)=-\ex-e~x+ln(\/x2+1+x)]=-g(x),即函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，

又由函數(shù)y=ex-e'x和y=In^x1+1+x)都是/?上的增函數(shù)，故g(x)為R上的增函數(shù)；

f(3x+1)+/(x)>4=>f(3x+l)-2>2-f(x)=>f(3x+1)-2>Hf(x)-2]=>g(3x+\)>-g(x)=>g(3x+1)>g(-x),

則有3x+l>-x,

解可得x>—';

4

即X的取值范圍為(-—,+00);

4

故選：A.

Ax2

8.已知函數(shù)f(x)=2018-2018"+log2()l8(Vx+l+x)+2,則關(guān)于x的不等式/(3x+l)+f(x)>4的解集為(

)

A.(—,+oo)B.(-oo,—-)C.(-co,0)D.(0,4-co)

Vv2

【解析】解:.f(x)=2018-2018-+log2018(Vx+l+x)+2,

令g(x)=f(x)-2,

2

g(-x)=-2018'+2018T+log2018(Vx+l-x)=-g(x),

f(3x+l)+f(x)>4,

g(3x+1)+2+g(x)+2>4,

g(3x+l)+g(x)>0,

g(3x+1)>-g(x)=g(-x),

g(x)=2018*-2018,+log2018ax2+1+x)單調(diào)遞增，

3x+1>—x,

解可得，x>-~.

4

故選：A.

9.偶函數(shù)y=/(x)滿足下列條件①X..0時(shí)，/(x)=d;②對任意,t+l],不等式f(x+r)..8/(x)恒成

立，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是()

A.(-8,-力B.[―aC.[-2,-]D.[--,1]

【解析】解：根據(jù)條件得:/(|x+r|)..8/(|x|):

.-.(|x+r|)3..8(|x|)3；

.-.(|x+r|)3..(2|x|)3；

:\x+t\..2\x\;

/.(X+/)2..4X2;

整理得，3了2一2次一產(chǎn),,0在〃，，+1]上恒成立：

設(shè)g(x)=3x2-2tx-t2,g(t)=0;

gQ+1)=3(r+1)2-2t(t+1)-0；

3

解得J一士;

4

實(shí)數(shù)/的取值范圍為(V,

4

故選：A.

10.已知函數(shù)f(x)=2020A+ln(yjx2+1+x)-2020-x+1,貝I關(guān)于x的不等式/(2x—l)+/(2x)v2的解集為(

)

A.(-^，―)B.(-co,—)C,(—,4-oo)D.(—,+oo)

【解析】解：/(x)+f(-x)=2020v+ln(y/x2+1+x)-2020^+1+202(T*+ln(ylx2+1-x)-2020r+1

—/〃(y]x~+1+x)+x~+1—x)+2

=ln(\/x2+1+x)(Vx2+1-x)+2

=ln(x2+1-X2)+2

=/川+2=2,

則/(r)+/(x)=2,

則不等式f(2x-1)+/(2x)<2,等價(jià)于/(2x-1)+/(2x)</(-2x)+/(2x),

即/(2x-l)</(-2x),

?f(x)在R上是增函數(shù)，

2x-l<-2x得4xv1,得x<L

4

即不等式的解集為(-8,1).

故選：A.

11.設(shè)函數(shù)/(x)=d)""+」一，則使得了(2x-l)+/(l-2x)<2/(x)成立的x的取值范圍是()

2l+|x|

A.g,l)B.(-oo,；)U(L+oo)

C.(HD.(^?,-^)U(^,+oo)

【解析】解：函數(shù)f(x)=(i)'+?,

2l+|x|

由解析式可知，/(x)為偶函數(shù)且在［0,+8)上單調(diào)遞減，

則/(2x-l)+/(l-2x)=2/(2x-1),

.■.f(2x-l)+f(l-2x)<2f(x)

<=>2f(2x-l)<2/(x)

?/(2x-1)</(%)

?/(|2x-l|)</(|x|)

o|2x-l|>|xM2X-1|2>3|X|2<?(2X-1)2>X?OX/或X>1,

3

故選：B.

12.已知定義域?yàn)镽的函數(shù).f(x)在［2,+8)上單調(diào)遞增，若/(x+2)是奇函數(shù)，則滿足/(x+3)+f

(2x—l)<0的x范圍為()

2222

A.(—co,——)B.(—―,+oo)C.(—co,—)D.(―,4-oo)

【解析】解：?/(x+2)是奇函數(shù)；

.?./(X)關(guān)于點(diǎn)(2,0)對稱;

又.f(x)在［2,+oo)上單調(diào)遞增；

.?..(%)在K上單調(diào)遞增;

...由fa+3)+/(2x—l)<0得，/(X+3)<-/(2X-1);

???/@+3)v/(-(2x—3)+2);

.,./(x+3)</(-2x+5);

x+3v-2x+5;

2

解得;

3

2

x的范圍為(-00,—).

3

故選：C.

13.設(shè)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)X..0時(shí)，f(x)=x2.若對任意的a+2],不等式

+4)..”、萬x)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.a,,0B.a..&C.a”正D.a..O

【解析】解：(排除法)當(dāng)a=0時(shí)，則xe[O,2],

由/(x+a).J(&x)得『(x)../(JL),即V厘x?=>x20在1引0,2]時(shí)恒成立，顯然不成立，排除A、C、

D,

故選：B.

14.已知a是方程x+/gx=4的根，b是方程x+10'=4的根，函數(shù)/⑶是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)X..0時(shí)，

f(x)=x2+(a+b-4)x,若對任意,f+2],不等式/(x+f)..2/(x)恒成立，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是(

)

A.[5/2,+00)B.[2,+8)0.(0f2]D.[—x/o.,TUS，@

【解析】解：由程x+/gx=4得/gx=4-x,

由x+10'=4得10、=4-x,

記/(x)=lgx,則其反函數(shù)f-'(x)=10',

它們的圖象關(guān)于直線y=x軸對稱，

根據(jù)題意，a,b為f(Q,rlx)的圖象與直線y=4-x交點(diǎn)A,3的橫坐標(biāo)，

由于兩交A,8點(diǎn)關(guān)于直線y=x對稱，

所以，8點(diǎn)的橫坐標(biāo)月就是A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即A(a力)，

將&。,人)代入直線y=4-x得，a+b-4,

則當(dāng)x..0時(shí)，/(x)=x2+(a+b-4)x=x2,

函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

.,.若x<0,則-x>0,

貝b/(-*)=V=-/&),

即/0)=-爐，x<0>

x,x.O

則/(x)=

—x2,x<0'

則函數(shù)，(x)在上為增函數(shù),

若對任意t+2],不等式/(x+r)..2/(x)恒成立,

即若對任意r+2J,不等式/(x+/)..〃缶)恒成立,

則x+九.恒成立,

則t..(\/2—l)x,

則用,-7=—=(V2+l)t,

V2-1

■XG[Z,r+2],

t+2,,(>/2+1)/,

即2,,后

則t...—產(chǎn)=y/2,,

近

故選：A.

15.設(shè)函數(shù)/(x)=*T——二，則不等式/(x)>/(2x+l)的解集為()

(x-1)-

A.(—1,0)B.(—oo,-l)

c.(-1,；)D.(-1,0)50,；)

【解析】解：根據(jù)題意，函數(shù)f(X)=*T——二，設(shè)g(x)=#-L其定義域?yàn)閧X|XH1},

(x-1)廠

又由g(-x)="*-±=g(x)，即函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

X"

12

當(dāng)X￡(0,y)時(shí)，g(X)=ex——7，有g(shù)'(X)=/+F，為增函數(shù)，

廠￡

g(x)的圖象向右平移1個(gè)單位得到/(X)的圖象，所以函數(shù)/(%)關(guān)于X=1對稱，在(-0,1)上單調(diào)遞減，在

(1,4w)上單調(diào)遞增.

"1

由/(%)>f(2x+1),可得(2x+1w1,

|x-l|>|(2x+l)-l|

解可得：-l<x<-JLx^0,

3

即x的取值范圍為(-1,0)ugg

故選：D.

16.已知/(x)是定義在［-2,2切上的偶函數(shù)，且在［-26,0］上為增函數(shù)，則不等式f(2x+l),J(1)的解

集為()

A.(-1,0)B.［—■I，-1］^；［0,—1C.(-so,-1］|J［O,+oo)D.［―U

【解析】解：,/(幻是定義在1一2,羽上的偶函數(shù)，.?.-2+?=0,."=1,

函數(shù)/(x)在［-26,0］上為增函數(shù)，，函數(shù)/(x)在［-2,0］上為增函數(shù)，故函數(shù)/(x)在［0,2］上為減函

數(shù)，

則由/(2x+DJ(1),可得|2x+l|..l,且一2強(qiáng)如+12,

31

解得—三領(lǐng)k一1或啖加

22

故不等式心+1“⑴的解集為《TU畤?

故選：B.

17.已知定義在R上的函數(shù)/(x)=L-2*T一(1一］)3,則不等式f(2x+3)+.f(x-2)..O的解集為()

1?

A.(一%B.(0,-]C.(…，3]D.(0,3]

【解析】解：令r=x—l,則/(/+1)=,T，

2+2

則f(r+l)是奇函數(shù)，

2"-2'3=[-2」廣31-4'可產(chǎn)一戶二備一修，為減函數(shù),

則當(dāng)E..0時(shí)，y=------------t

2T+2'1+4'

..當(dāng)x..l時(shí)，f(x)為減函數(shù),

即g(x)=f(x+l)是奇函數(shù),

則f(2x+3)+f(x-2)..O等價(jià)為/(2x+2+l)+/(x-3+l)..0,

即g(2x+2)+g(x-3)..0,

則g(2x+2)...-g(x-3)=g(3-x),

則2x+2,3—x,得3%,1,X,』，即原不等式的解集為(-8,

33

故選：A.

18.函數(shù)/(x)是R上的奇函數(shù)，f(1)=2,且對任意內(nèi)>與，有"一/!\?>0,則不等式-2顆(x-1)2

天一電

的解集為()

A.[0,2JB.[0,1J0.[-1,1]D.[-1,0]

【解析】解：對任意有>0,

用一工2

.?J(x)在R上單調(diào)遞增，

又/(x)是R上的奇函數(shù)，f(1)=2,

所以/(-1)=-2,

則由不等式—2頒(x—1)2可得/(—I)期(x—1)f(1),

所以一啜％-11,

解可得，怎!k2.

故選：A.

19.已知/(x)是定義在(一2"〃+1)上的偶函數(shù)，且在(-2〃，0]上為增函數(shù)，則/(x-l),J(2x)的解集為(

)

2111

A.B.(-1,-]C.D.[-,1]

【解析】解：根據(jù)題意，由于函數(shù)y=/(x)是定義在(-2"A+1)上的偶函數(shù)，則定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，

則有(一2力+6+1=0,解可得6=1,

所以，函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?-2,2),

由于函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(-2,0]上單調(diào)遞增，則該函數(shù)在區(qū)間[0,2)上單調(diào)遞減，

由于函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)，則f(x)=f(|x|),

\x-l\..2\x\

由f(x-nj(2x),可得用x-l|),J(|2x|),?-2<x-l<2,

-2<2x<2

解可得：T<x,L

3

因此，不等式f(x-1),J(2x)的解集為(-1,：],

故選：B.

-x-113

20.設(shè)函數(shù)f(x)=(x+2)/g------------,則不等式f(2x-l),J(—己)的解集是()

x+3”-(x+2)22

1Q1171

A-

13

cu

4-4-

【解析】解：由題意知，函數(shù)f(x)可由g(x)=x./g上W--/—向左平移兩個(gè)單位而得到,

1+xV4-X2

而函數(shù)g(x)是定義域?yàn)?-1,1)的偶函數(shù)，

[+尤2

函數(shù)帆(x)=x和函數(shù)〃(x)=/g-----=lg(---------1)在(0,1)上遞增，且〃2(X)>0,H(x)>0,

1-x1-x

1一Y

y=x?lg------=-"?(x)”(x)在(0,1)上遞減，

1+x

g(x)在(0,1)上遞減，

.?./(%)的定義域?yàn)?一3,-1),關(guān)于x=-2對稱，并且在(-2,-1)上遞減,

-3<2x-l<-l

不等式/(2x—｝等價(jià)于v

3,解得一1<用，一二或——?x<0.

|2x-l+2|...-1+244

故選：D.

21.已知函數(shù)f(x)=+x"'二_/〃上W,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).若f(a-1)+/(2/),,0,則實(shí)

ex1+x

數(shù)a的取值范圍是

fTX—9YpX—11—X

【解析】解：由已知得：f(x)=————?dú)v」的定義域?yàn)?一1,1),

ex\+x

f{-x)=

A3

■,f(x)=e4-x-2x-x--In~~~~,

八e1+x

故函數(shù)是奇函數(shù)，且增函數(shù),

/(a-l)+/(2?2)?0,

-1<2a2<\

"(2/)</(一).—1<1—a<1=>0<%一,

,2

\—a..2。-

故答案為：(0,，

22.已知函數(shù)f(x)=/+x2(e為自然對數(shù)的底數(shù))，且/(3a—2)>/(a—l),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【解析】解：函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)),

.1?/(-%)=/(x)=/(|x|),且在(0,w)單調(diào)遞增，

f(3a-2)>f(a-l),

:13a-2\>\a-\\,

即8/-10a+3>0,

i3

實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<-或一，

24

13

故答案為:(-00,-)U(-,+oo)

24

23.f(x)是定義在R上函數(shù)，滿足/(x)=/(-x)且"0時(shí)，f(x)=x3,若對任意的xw⑵+1,2r+3],不

4

等式/(2x—r)..8/(x)恒成立，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是_0]_.

【解析】解：由xwR,/(x)=f(-x),

可得/(x)為R上偶函數(shù)，/(幻=/在"0上為單調(diào)增函數(shù)，

則f(2D..8f(x)=f(2x),

即為|2x7|.」2x|,

即(2x—)2..(2x)2,

化簡可得產(chǎn)-4".0,①

(1)當(dāng)，>0時(shí)，①的解為：x,,-,

4

對任意xe[2r+l,2r+3],①式恒成立，則需工.2+3,

4

解得;

(2)當(dāng)r<0時(shí)，①的解為x…工，

4

對任意xe[2r+l,2/+31,①式恒成立，則需%,2f+l,

4

4

解得二,〃<0；

7

(3)當(dāng)，=0時(shí)，①式恒成立；

4

綜上所述，-上麴)o.

7

4

故答案為：0J.

7

24.已知/(x)=x|x|,若對任意xw[a-2,。+2],/(x+a)v2/(x)恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

<-x/2

為2Y0

【解析】解：/(x)=x|x|=A,

-x,x<0

可得〃x)在[0,+00)遞增，在(-8,0]遞增，且/(0)=0,

則/(x)在R上遞增，

由f(x+a)<2/(x)可得f(x+a)<f(&)f(x)=