2020年江蘇省常州市中考數(shù)學(xué)試題（解析版）

常州市二○二○年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁(yè)．全卷滿分120分．考試時(shí)間為120分鐘．考生應(yīng)將答案全部填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．考試時(shí)不允許使用計(jì)算器．2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考試證號(hào)填寫(xiě)在試卷上，并填寫(xiě)好答題卡上的考生信息．3．作圖必須用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑加粗，描寫(xiě)清楚．一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的）1.2的相反數(shù)是（）A. B. C. D.2.計(jì)算的結(jié)果是（）A. B. C. D.3.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）A.圓柱 B.三棱柱 C.四棱柱 D.四棱錐4.8的立方根是（）A2 B.±2 C.±2 D.25.如果，那么下列不等式正確的是（）A. B. C. D.6.如圖，直線a、b被直線c所截，，，則的度數(shù)是（）A.30° B.40° C.50° D.60°7.如圖，是的弦，點(diǎn)C是優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)（C不與A、B重合），，垂足為H，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．若的半徑是3，則長(zhǎng)的最大值是（）A.3 B.4 C.5 D.68.如圖，點(diǎn)D是內(nèi)一點(diǎn)，與x軸平行，與y軸平行，．若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)，則k的值是（）A. B.4 C. D.6二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）9.計(jì)算：|－2|＋(π－1)0＝____．10.若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．11.地球半徑大約是，將用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)_______．12.分解因式：－x=__________．13.若一次函數(shù)的函數(shù)值y隨自變量x增大而增大，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．14.若關(guān)于x的方程有一個(gè)根是1，則_________．15.如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)E、F．若是等邊三角形，則_________°．16.數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何》一書(shū)中闡述了坐標(biāo)幾何思想，主張取代數(shù)和幾何中最好的東西，互相以長(zhǎng)補(bǔ)短．在菱形中，．如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，使得邊在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是_________．17.如圖，點(diǎn)C在線段上，且，分別以、為邊在線段的同側(cè)作正方形、，連接、，則_________．18.如圖，在中，，D、E分別是、的中點(diǎn)，連接，在直線和直線上分別取點(diǎn)F、G，連接、．若，且直線與直線互相垂直，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．三、解答題（本大題共10小題，共84分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，如無(wú)特殊說(shuō)明，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）19.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．20.解方程和不等式組：（1）；（2）21.為了解某校學(xué)生對(duì)球類運(yùn)動(dòng)喜愛(ài)情況，調(diào)查小組就打排球、打乒乓球、打籃球、踢足球四項(xiàng)球類運(yùn)動(dòng)對(duì)該校學(xué)生進(jìn)行了“你最喜愛(ài)的球類運(yùn)動(dòng)”的抽樣調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖．（1）本次抽樣調(diào)查的樣本容量是_________；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）該校共有2000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校最喜愛(ài)“打籃球”的學(xué)生人數(shù)．22.在3張相同的小紙條上分別標(biāo)上1、2、3這3個(gè)號(hào)碼，做成3支簽，放在一個(gè)不透明的盒子中．（1）攪勻后從中隨機(jī)抽出1支簽，抽到1號(hào)簽的概率是_________；（2）攪勻后先從中隨機(jī)抽出1支簽（不放回），再?gòu)挠嘞碌?支簽中隨機(jī)抽出1支簽，求抽到的2支簽上簽號(hào)的和為奇數(shù)的概率．23.已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上，．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．24.某水果店銷(xiāo)售蘋(píng)果和梨，購(gòu)買(mǎi)1千克蘋(píng)果和3千克梨共需26元，購(gòu)買(mǎi)2千克蘋(píng)果和1千克梨共需22元．（1）求每千克蘋(píng)果和每千克梨的售價(jià)；（2）如果購(gòu)買(mǎi)蘋(píng)果和梨共15千克，且總價(jià)不超過(guò)100元，那么最多購(gòu)買(mǎi)多少千克蘋(píng)果？25.如圖，正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)．點(diǎn)B為x軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)B作x軸的垂線交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)C，交正比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)D．（1）求a的值及正比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若，求面積．26.如圖1，點(diǎn)B在線段上，Rt△≌Rt△，，，．（1）點(diǎn)F到直線的距離是_________；（2）固定△，將△繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°，使得與重合，并停止旋轉(zhuǎn)．①請(qǐng)你在圖1中用直尺和圓規(guī)畫(huà)出線段經(jīng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的平面圖形（用陰影表示，保留畫(huà)圖痕跡，不要求寫(xiě)畫(huà)法）該圖形的面積為_(kāi)________；②如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段與交于點(diǎn)O，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．27.如圖1，⊙I與直線a相離，過(guò)圓心I作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙I于P、Q兩點(diǎn)（Q在P、H之間）．我們把點(diǎn)P稱為⊙I關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把的值稱為⊙I關(guān)于直線a的“特征數(shù)”．（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，半徑為1的⊙O與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、C、D．①過(guò)點(diǎn)E畫(huà)垂直于y軸的直線m，則⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為_(kāi)________；②若直線n的函數(shù)表達(dá)式為，求關(guān)于直線n的“特征數(shù)”；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以F為圓心，為半徑作⊙F．若⊙F與直線l相離，點(diǎn)是⊙F關(guān)于直線l的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，且⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是，求直線l的函數(shù)表達(dá)式．28.如圖，二次函數(shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)B，拋物線過(guò)點(diǎn)，且頂點(diǎn)為D，連接、、、．（1）填空：________；（2）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于1，直線交直線于點(diǎn)Q．若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)E關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為F，點(diǎn)F關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為G，連接．當(dāng)點(diǎn)F在x軸上時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．常州市二○二○年初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁(yè)．全卷滿分120分．考試時(shí)間為120分鐘．考生應(yīng)將答案全部填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．考試時(shí)不允許使用計(jì)算器．2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考試證號(hào)填寫(xiě)在試卷上，并填寫(xiě)好答題卡上的考生信息．3．作圖必須用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑加粗，描寫(xiě)清楚．一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的）1.2的相反數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相反數(shù)的概念解答即可．【詳解】2的相反數(shù)是-2，

故選D．2.計(jì)算結(jié)果是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用同底數(shù)冪除法的運(yùn)算法則解答即可．【詳解】解：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪除法，掌握公式是解答本題的關(guān)鍵．3.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）A.圓柱 B.三棱柱 C.四棱柱 D.四棱錐【答案】C【解析】【分析】通過(guò)俯視圖為圓得到幾何體為柱體，然后通過(guò)主視圖和左視圖可判斷幾何體為四棱柱．【詳解】解：由圖可知：該幾何體是四棱柱．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體：由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來(lái)考慮整體形狀．熟記一些簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖對(duì)復(fù)雜幾何體的想象會(huì)有幫助．4.8的立方根是（）A.2 B.±2 C.±2 D.2【答案】D【解析】【詳解】解：根據(jù)立方根的定義，由23=8，可得8的立方根是2故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查立方根．5.如果，那么下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A、由x＜y可得：，故選項(xiàng)成立；B、由x＜y可得：，故選項(xiàng)不成立；C、由x＜y可得：，故選項(xiàng)不成立；D、由x＜y可得：，故選項(xiàng)不成立；故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變．（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．6.如圖，直線a、b被直線c所截，，，則的度數(shù)是（）A.30° B.40° C.50° D.60°【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角相等求得∠3，然后再根據(jù)兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等即可解答．【詳解】解：∵∠1+∠3=180°，∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°∵∴∠2=∠3=40°．故答案為B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握“兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等”是解答本題的關(guān)鍵．7.如圖，是的弦，點(diǎn)C是優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn)（C不與A、B重合），，垂足為H，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．若的半徑是3，則長(zhǎng)的最大值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線定理，斜邊上的中線等于斜邊的一半可知MH=BC，當(dāng)BC為直徑時(shí)長(zhǎng)度最大，即可求解．【詳解】解：∵∴∠BHC=90°∵在Rt△BHC中，點(diǎn)M是的中點(diǎn)∴MH=BC∵BC為的弦∴當(dāng)BC為直徑時(shí)，MH最大∵的半徑是3∴MH最大為3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊中線定理，數(shù)形結(jié)合是結(jié)題關(guān)鍵．8.如圖，點(diǎn)D是內(nèi)一點(diǎn)，與x軸平行，與y軸平行，．若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)，則k的值是（）A. B.4 C. D.6【答案】D【解析】【分析】作交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作軸于點(diǎn)F，計(jì)算出AE長(zhǎng)度，證明，得出AF長(zhǎng)度，設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，使用，可計(jì)算出值．【詳解】作交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作軸于點(diǎn)F∵∴∴為等腰直角三角形∵∴，即∴DE=AE=∵BC=AO，且，∴∴∴∴設(shè)點(diǎn)A，∴解得：∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合，利用點(diǎn)Ａ和點(diǎn)Ｄ表示出ｋ的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）9.計(jì)算：|－2|＋(π－1)0＝____．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值和0次冪的性質(zhì)求解即可．【詳解】原式=2＋1=3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值和0次冪的性質(zhì)．10.若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．【答案】x≠1【解析】【分析】分式有意義時(shí)，分母x-1≠0，據(jù)此求得x的取值范圍．【詳解】解：依題意得：x-1≠0，

解得x≠1，

故答案為：x≠1．【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件．（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無(wú)意義的條件是分母等于零．11.地球半徑大約是，將用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】對(duì)于一個(gè)絕對(duì)值較大的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法寫(xiě)成的形式，其中，n是比原整數(shù)位數(shù)少1的數(shù).【詳解】6400=.故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．12.分解因式：－x=__________．【答案】x（x+1）（x－1）【解析】解：原式13.若一次函數(shù)的函數(shù)值y隨自變量x增大而增大，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．【答案】k＞0【解析】分析】直角利用一次函數(shù)增減性與系數(shù)的關(guān)系解答即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)的函數(shù)值y隨自變量x增大而增大∴k＞0．故答案為k＞0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)增減性與系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)一次函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)大于零時(shí)，一次函數(shù)的函數(shù)值隨著自變量x的增大而增大．14.若關(guān)于x的方程有一個(gè)根是1，則_________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=1代入方程得到關(guān)于a的一次方程，然后解此一次方程即可．【詳解】解：把x=1代入方程得1+a-2=0，

解得a=1．

故答案是：1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．15.如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)E、F．若是等邊三角形，則_________°．【答案】30【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到∠B=∠BCF，再利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠AFC=60°，從而可得∠B.【詳解】解：∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，∵△ACF為等邊三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°.故答案為：30.【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得到∠B=∠BCF.16.數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何》一書(shū)中闡述了坐標(biāo)幾何的思想，主張取代數(shù)和幾何中最好的東西，互相以長(zhǎng)補(bǔ)短．在菱形中，．如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，使得邊在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是_________．【答案】(2，)【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可知AD=AB=CD=2，∠OAD=60°，由三角函數(shù)即可求出線段OD的長(zhǎng)度，即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴AD=AB=CD=2，∵∴在Rt△DOA中，∴OD=∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是(2，)．故答案為：(2，)．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直接坐標(biāo)系中直角三角形的計(jì)算問(wèn)題，以及菱形的性質(zhì)，熟練掌握特殊三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．17.如圖，點(diǎn)C在線段上，且，分別以、為邊在線段的同側(cè)作正方形、，連接、，則_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)BC=a，則AC=2a，然后利用正方形的性質(zhì)求得CE、CG的長(zhǎng)、∠GCD=ECD=45°，進(jìn)而說(shuō)明△ECG為直角三角形，最后運(yùn)用正切的定義即可解答．【詳解】解：設(shè)BC=a，則AC=2a∵正方形∴EC=，∠ECD=同理：CG=,∠GCD=∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和正切的定義，根據(jù)正方形的性質(zhì)說(shuō)明△ECG是直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．18.如圖，在中，，D、E分別是、的中點(diǎn)，連接，在直線和直線上分別取點(diǎn)F、G，連接、．若，且直線與直線互相垂直，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】4或2【解析】【分析】分當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，兩種情況，分別畫(huà)出圖形，結(jié)合三角函數(shù)，勾股定理以及平行四邊形的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FM∥DG，交直線BC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥DE，交直線DE于點(diǎn)N，∵D，E分別是AB和AC中點(diǎn)，AB=，∴DE∥BC，BD=AD=，∠FBM=∠BFD，∴四邊形DGMF為平行四邊形，則DG=FM，∵DG⊥BF，BF=3DG，∴∠BFM=90°，∴tan∠FBM==tan∠BFD，∴，∵∠ABC=45°=∠BDN，∴△BDN為等腰直角三角形，∴BN=DN=，∴FN=3BN=9，DF=GM=6，∵BF==，∴FM==，∴BM=，∴BG=10-6=4；當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥DE，交直線DE于N，過(guò)點(diǎn)B作BM∥DG，交直線DE于M，延長(zhǎng)FB和DG，交點(diǎn)為H，可知：∠H=∠FBM=90°，四邊形BMDG為平行四邊形，∴BG=MD，BM=DG，∵BF=3DG，∴tan∠BFD=，同理可得：△BDN為等腰直角三角形，BN=DN=3，∴FN=3BN=9，∴BF=，設(shè)MN=x，則MD=3-x，F(xiàn)M=9+x，在Rt△BFM和Rt△BMN中，有，即，解得：x=1，即MN=1，∴BG=MD=ND-MN=2.綜上：BG的值為4或2.故答案為：4或2.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，難度較大，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分清情況.三、解答題（本大題共10小題，共84分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，如無(wú)特殊說(shuō)明，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或推理過(guò)程）19.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】；3【解析】【分析】先利用完全平方公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式化簡(jiǎn)，再代入求值即可．【詳解】解：==將x=2代入，原式=3【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確的化簡(jiǎn)．20.解方程和不等式組：（1）；（2）【答案】（1）x=0；（2）﹣2≤x＜3【解析】【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；

（2）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的方法部分即可．【詳解】解：（1）去分母得：解得x=0，經(jīng)檢驗(yàn)x=0是分式方程的解；（2）由①得：x＜3由②得：x≥﹣2則不等式組的解集為﹣2≤x＜3．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程與解不等式組，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解一元一次不等式組要注意不等號(hào)的變化．21.為了解某校學(xué)生對(duì)球類運(yùn)動(dòng)的喜愛(ài)情況，調(diào)查小組就打排球、打乒乓球、打籃球、踢足球四項(xiàng)球類運(yùn)動(dòng)對(duì)該校學(xué)生進(jìn)行了“你最喜愛(ài)的球類運(yùn)動(dòng)”的抽樣調(diào)查，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計(jì)圖．（1）本次抽樣調(diào)查的樣本容量是_________；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）該校共有2000名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)該校最喜愛(ài)“打籃球”的學(xué)生人數(shù)．【答案】（1）100；（2）見(jiàn)解析；（3）300人．【解析】【分析】（1）用條形統(tǒng)計(jì)圖中最喜愛(ài)打排球的人數(shù)除以扇形統(tǒng)計(jì)圖中最喜愛(ài)打排球的人數(shù)所占百分比即可求出本次抽樣調(diào)查的樣本容量；（2）用總?cè)藬?shù)乘以最喜愛(ài)打乒乓球的人數(shù)所占百分比即可求出最喜愛(ài)打乒乓球的人數(shù)，用總?cè)藬?shù)減去最喜愛(ài)其它三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)即得最喜愛(ài)踢足球的人數(shù)，進(jìn)而可補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）用最喜愛(ài)打籃球的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)再乘以2000即可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）本次抽樣調(diào)查的樣本容量是25÷25%=100；故答案為：100；（2）打乒乓球的人數(shù)為100×35%=35人，踢足球的人數(shù)為100－25－35－15=25人；補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：（3）人；答：估計(jì)該校最喜愛(ài)“打籃球”的學(xué)生有300人．【點(diǎn)睛】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、樣本容量以及利用樣本估計(jì)總體等知識(shí)，屬于基本題型，熟練掌握上述基本知識(shí)是解題關(guān)鍵．22.在3張相同的小紙條上分別標(biāo)上1、2、3這3個(gè)號(hào)碼，做成3支簽，放在一個(gè)不透明的盒子中．（1）攪勻后從中隨機(jī)抽出1支簽，抽到1號(hào)簽的概率是_________；（2）攪勻后先從中隨機(jī)抽出1支簽（不放回），再?gòu)挠嘞碌?支簽中隨機(jī)抽出1支簽，求抽到的2支簽上簽號(hào)的和為奇數(shù)的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由概率公式即可得出答案；（2）畫(huà)出樹(shù)狀圖，得到所有等可能的情況，再利用概率公式求解即可．【詳解】解：（1）∵共有3個(gè)號(hào)碼，∴抽到1號(hào)簽的概率是，故答案為：；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：所有等可能的情況有6種，其中抽到的2支簽上簽號(hào)的和為奇數(shù)的有4種，∴抽到的2支簽上簽號(hào)的和為奇數(shù)的概率為：=.【點(diǎn)睛】此題考查了列表法與樹(shù)狀圖法，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．23.已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上，．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）60°【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件證明△ACE≌△BDF，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠D=∠ACE=80°，再利用三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果.【詳解】解：（1）∵AE∥BF，∴∠A=∠DBF，∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，又∵AE=BF，∴△ACE≌△BDF（SAS），∴∠E=∠F；（2）∵△ACE≌△BDF，∴∠D=∠ACE=80°，∵∠A=40°，∴∠E=180°-∠A-∠ACE=60°.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是找出三角形全等的條件.24.某水果店銷(xiāo)售蘋(píng)果和梨，購(gòu)買(mǎi)1千克蘋(píng)果和3千克梨共需26元，購(gòu)買(mǎi)2千克蘋(píng)果和1千克梨共需22元．（1）求每千克蘋(píng)果和每千克梨的售價(jià)；（2）如果購(gòu)買(mǎi)蘋(píng)果和梨共15千克，且總價(jià)不超過(guò)100元，那么最多購(gòu)買(mǎi)多少千克蘋(píng)果？【答案】（1）每千克蘋(píng)果售價(jià)8元，每千克梨6千克；（2）最多購(gòu)買(mǎi)5千克蘋(píng)果【解析】【分析】（1）設(shè)每千克蘋(píng)果售價(jià)x元，每千克梨y千克，由題意列出x、y的方程組，解之即可；（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)蘋(píng)果a千克，則購(gòu)買(mǎi)梨（15-a）千克，由題意列出a的不等式，解之即可解答．【詳解】（1）設(shè)每千克蘋(píng)果售價(jià)x元，每千克梨y千克，由題意，得：，解得：，答：每千克蘋(píng)果售價(jià)8元，每千克梨6千克，（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)蘋(píng)果a千克，則購(gòu)買(mǎi)梨（15-a）千克，由題意，得：8a+6(15-a)≤100，解得：a≤5，∴a最大值為5，答：最多購(gòu)買(mǎi)5千克蘋(píng)果．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，分析相關(guān)信息，正確列出方程組和不等式．25.如圖，正比例函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于點(diǎn)．點(diǎn)B為x軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)B作x軸的垂線交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)C，交正比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)D．（1）求a的值及正比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若，求的面積．【答案】（1）a=2；y=2x；（2）【解析】【分析】（1）已知反比例函數(shù)解析式，點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，故a可求；求出點(diǎn)A的坐標(biāo)后，點(diǎn)A同時(shí)在正比例函數(shù)圖象上，將點(diǎn)A坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式中，故正比例函數(shù)的解析式可求．（2）根據(jù)題意以及第一問(wèn)的求解結(jié)果，我們可設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(b，0)，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(b，2b)，根據(jù)BD=10，可求b值，然后確認(rèn)三角形的底和高，最后根據(jù)三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）已知反比例函數(shù)解析式為y=，點(diǎn)A(a，4)在反比例函數(shù)圖象上,將點(diǎn)A坐標(biāo)代入，解得a=2，故A點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)，又∵A點(diǎn)也在正比例函數(shù)圖象上，設(shè)正比例函數(shù)解析為y=kx，將點(diǎn)A(2，4)代入正比例函數(shù)解析式中，解得k=2，則正比例函數(shù)解析式為y=2x．故a=2；y=2x．（2）根據(jù)第一問(wèn)的求解結(jié)果，以及BD垂直x軸，我們可以設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(b，0)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為(b，)、D點(diǎn)坐標(biāo)為(b，2b)，根據(jù)BD=10，則2b=10，解得b=5，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，0)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(5，10)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(5，)，則在△ACD中，=．故△ACD的面積為．【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查求解正比例函數(shù)及反比例函數(shù)解析式，掌握求解正比例函數(shù)和反比例函數(shù)解析式的方法是解答本題的關(guān)鍵．（2）本題根據(jù)第一問(wèn)求解的結(jié)果以及BD垂直x軸，利用待定系數(shù)法，設(shè)B、C、D三點(diǎn)坐標(biāo)，求出B、C、D三點(diǎn)坐標(biāo)，是解答本題的關(guān)鍵，同時(shí)掌握三角形面積公式，即可求解．26.如圖1，點(diǎn)B在線段上，Rt△≌Rt△，，，．（1）點(diǎn)F到直線的距離是_________；（2）固定△，將△繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)30°，使得與重合，并停止旋轉(zhuǎn)．①請(qǐng)你在圖1中用直尺和圓規(guī)畫(huà)出線段經(jīng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的平面圖形（用陰影表示，保留畫(huà)圖痕跡，不要求寫(xiě)畫(huà)法）該圖形的面積為_(kāi)________；②如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段與交于點(diǎn)O，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）1；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得∠ACF=∠ECF=30°，即CF是∠ACB的平分線，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)F到直線的距離即為EF的長(zhǎng)，于是可得答案；（2）①易知E點(diǎn)和F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是分別以CF和CE為半徑、圓心角為30°的圓弧，據(jù)此即可畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的平面圖形；在圖3中，先解Rt△CEF求出CF和CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)S陰影=（S△CEF+S扇形ACF）－（S△ACG+S扇形CEG）即可求出陰影面積；②作EH⊥CF于點(diǎn)H，如圖4，先解Rt△EFH求出FH和EH的長(zhǎng)，進(jìn)而可得CH的長(zhǎng)，設(shè)OH=x，則CO和OE2都可以用含x的代數(shù)式表示，然后在Rt△BOC中根據(jù)勾股定理即可得出關(guān)于x的方程，解方程即可求出x的值，進(jìn)一步即可求出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵，，∴∠ACB=60°，∵Rt△≌Rt△，∴∠ECF=∠BAC=30°，EF=BC=1，∴∠ACF=30°，∴∠ACF=∠ECF=30°，∴CF是∠ACB的平分線，∴點(diǎn)F到直線的距離=EF=1；故答案為：1；（2）①線段經(jīng)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的平面圖形如圖3中的陰影所示：在Rt△CEF中，∵∠ECF=30°，EF=1，∴CF=2，CE=，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：CF=CA=2，CE=CG=，∠ACG=∠ECF=30°，∴S陰影=（S△CEF+S扇形ACF）－（S△ACG+S扇形CEG）=S扇形ACF－S扇形CEG=；故答案為：；②作EH⊥CF于點(diǎn)H，如圖4，在Rt△EFH中，∵∠F=60°，EF=1，∴，∴CH=，設(shè)OH=x，則，，∵OB=OE，∴，在Rt△BOC中，∵，∴，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)作圖、全等三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、扇形面積公式、勾股定理和解直角三角形等知識(shí)，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握上述知識(shí)、靈活應(yīng)用整體思想和方程思想是解題的關(guān)鍵．27.如圖1，⊙I與直線a相離，過(guò)圓心I作直線a的垂線，垂足為H，且交⊙I于P、Q兩點(diǎn)（Q在P、H之間）．我們把點(diǎn)P稱為⊙I關(guān)于直線a的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，把的值稱為⊙I關(guān)于直線a的“特征數(shù)”．（1）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，半徑為1的⊙O與兩坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A、B、C、D．①過(guò)點(diǎn)E畫(huà)垂直于y軸的直線m，則⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為_(kāi)________；②若直線n的函數(shù)表達(dá)式為，求關(guān)于直線n的“特征數(shù)”；（2）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)F是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以F為圓心，為半徑作⊙F．若⊙F與直線l相離，點(diǎn)是⊙F關(guān)于直線l的“遠(yuǎn)點(diǎn)”，且⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是，求直線l的函數(shù)表達(dá)式．【答案】（1）①D；10；②⊙O關(guān)于直線n的“特征數(shù)”為6；（2）直線l的解析式為y=-3x+7或y=x+【解析】【分析】（1）①根據(jù)題干中“遠(yuǎn)點(diǎn)”及“特征數(shù)”的定義直接作答即可；②過(guò)圓心O作OH⊥直線n，垂足為點(diǎn)H，交⊙O于點(diǎn)P、Q，首先判斷直線n也經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（0，4），在Rt△EOF中，利用三角函數(shù)求出∠EFO=60°，進(jìn)而求出PH的長(zhǎng)，再根據(jù)“特征數(shù)”的定義計(jì)算即可；（2）連接NF并延長(zhǎng)，設(shè)直線l的解析式為y=kx+b1,用待定系數(shù)法得到，再根據(jù)兩條直線互相垂直，兩個(gè)一次函數(shù)解析式的系數(shù)k互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系可設(shè)直線NF的解析式為y=x+b2,用待定系數(shù)法同理可得，消去b1和b2，得到關(guān)于m、n的方程組；根據(jù)⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是，得出NA=，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式列出方程(m+1)2+n2=10，把代入，求出k的值，便得到m、n的值即點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求直線l的函數(shù)表達(dá)式．注意有兩種情況，不要遺漏．【詳解】解：（1）①⊙O關(guān)于直線m的“遠(yuǎn)點(diǎn)”是點(diǎn)D，⊙O關(guān)于直線m的“特征數(shù)”為DB·DE=2×5=10；②如下圖：過(guò)圓心O作OH⊥直線n，垂足為點(diǎn)H，交⊙O于點(diǎn)P、Q，∵直線n的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)x=0時(shí)，y=4；當(dāng)y=0時(shí)，x=，∴直線n經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（0，4），點(diǎn)F（，0），在Rt△EOF中，∵tan∠FEO===，∴∠FEO=30°，∴∠EFO=60°，Rt△HOF中，∵sin∠HFO=，∴HO=sin∠HFO·FO=2，∴PH=HO+OP=3，∴PQ·PH=2×3=6，∴⊙O關(guān)于直線n的“特征數(shù)”為6；（2）如下圖，∵點(diǎn)F是圓心，點(diǎn)是“遠(yuǎn)點(diǎn)”，∴連接NF并延長(zhǎng)，則直線NF⊥直線l，設(shè)NF與直線l的交點(diǎn)為點(diǎn)A（m，n），設(shè)直線l的解析式為y=kx+b1（k≠0）,將點(diǎn)與A（m，n）代入y=kx+b1中，②-①得：n-4=mk-k，③又∵直線NF⊥直線l，∴設(shè)直線NF的解析式為y=x+b2（k≠0）,將點(diǎn)與A（m，n）代入y=x+b2中，④-⑤得：-n=+，⑥聯(lián)立方程③與方程⑥，得：解得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，）；又∵⊙F關(guān)于直線l的“特征數(shù)”是，⊙F的半徑為，∴NB·NA=，即2·NA=，解得：NA=，∴[m-(-1)]2+(n-0)2=()2，即(m+1)2+n2=10，把代入，解得k=-3或k=；當(dāng)k=-3時(shí)，m=2，n=1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），把點(diǎn)A（2，1）與點(diǎn)代入y=kx+b1中，解得直線l的解析式為y=-3x+7；當(dāng)k=時(shí)，m=-2，n=3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，3），把點(diǎn)A（-2，3）與點(diǎn)代入y=kx+b1中，解得直線l的解析式為y=x+．∴直線l的解析式為y=-3x+7或y=x+．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與圓的綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解直角三角形等，理解“遠(yuǎn)點(diǎn)”和“特征數(shù)”的意義，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間距離公式、兩條直線互相垂直的兩個(gè)一次函數(shù)解析式中系數(shù)k互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．28.如圖，二次函數(shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)B，拋物線過(guò)點(diǎn)，且頂點(diǎn)為D，連接、、、．（1）填空：________；（2）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于1，直線交直線于點(diǎn)Q．若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)E關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為F，點(diǎn)F關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為G，連接．當(dāng)點(diǎn)F在x軸上時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】（1）-4；（2）（3，0）或（，）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）分點(diǎn)Q在CD上方和點(diǎn)Q在CD下方時(shí)，兩種情況，結(jié)合三角函數(shù)，勾股定理等知