數(shù)學(xué)33幾何概型2課時

3.3幾何概型

3.3.1幾何概型

問題提出1.計算隨機事件發(fā)生的概率，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些方法?〔1〕通過做試驗或計算機模擬，用頻率估計概率；〔2〕利用古典概型的概率公式計算.〔1〕試驗中所有可能出現(xiàn)的根本領(lǐng)件只有有限個〔有限性〕；3.在現(xiàn)實生活中，常常會遇到試驗的所有可能結(jié)果是無窮多的情況，這時就不能用古典概型來計算事件發(fā)生的概率.對此，我們必須學(xué)習(xí)新的方法來解決這類問題.〔2〕每個根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等〔等可能性〕.2.古典概型有哪兩個根本特點？幾何概型知識探究〔一〕：幾何概型的概念思考1：某班公交車到終點站的時間可能是11：30～12：00之間的任何一個時刻；往一個方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一點上.這兩個試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個，還是無限個？假設(shè)沒有人為因素，每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性是否相等？思考2：以下圖中有兩個轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否那么乙獲勝.你認(rèn)為甲獲勝的概率分別是多少？BNBBNNBBBNN思考3：上述每個扇形區(qū)域?qū)?yīng)的圓弧的長度〔或扇形的面積〕和它所在位置都是可以變化的，從結(jié)論來看，甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)域的哪個因素有關(guān)？哪個因素?zé)o關(guān)？與扇形的弧長〔或面積〕有關(guān)，與扇形區(qū)域所在的位置無關(guān).BNBBNNBBBNN思考4：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度〔面積或體積〕成比例，那么稱這樣的概率模型為幾何概型.參照古典概型的特性，幾何概型有哪兩個根本特征？〔1〕可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個；〔2〕每個結(jié)果發(fā)生的可能性相等.思考5：某班公交車到終點站的時間等可能是11：30～12：00之間的任何一個時刻，那么“公交車在11：40～11：50到終點站〞這個隨機事件是幾何概型嗎？假設(shè)是，怎樣理解其幾何意義？知識探究〔二〕：幾何概型的概率對于具有幾何意義的隨機事件，或可以化歸為幾何問題的隨機事件，一般都有幾何概型的特性，我們希望建立一個求幾何概型的概率公式.思考1：有一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段的長度都不小于1m的概率是多少？你是怎樣計算的？思考2：在玩轉(zhuǎn)盤游戲中，對于以下兩個轉(zhuǎn)盤，甲獲勝的概率分別是多少？你是怎樣計算的？BBBNNNBBBNNN思考3：射箭比賽的箭靶涂有五個彩色的分環(huán)，從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心是金色，金色靶心叫“黃心〞.奧運會射箭比賽的靶面直徑是122cm，黃心直徑是12.2cm，運發(fā)動在距離靶面70m外射箭.假設(shè)射箭都等可能射中靶面內(nèi)任何一點，那么如何計算射中黃心的概率？思考4：在裝有5升純潔水的容器中放入一個病毒，現(xiàn)從中隨機取出1升水，那么這1升水中含有病毒的概率是多少？你是怎樣計算的？思考5：一般地，在幾何概型中事件A發(fā)生的概率有何計算公式？思考6：向邊長為1的正方形內(nèi)隨機拋擲一粒芝麻，那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方形中心的概率分別是多少？由此能說明什么問題？概率為0的事件可能會發(fā)生，概率為1的事件不一定會發(fā)生.

理論遷移例1某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他翻開收音機，想聽電臺報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率.例2甲乙兩人相約上午8點到9點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時離去，求甲乙兩人能會面的概率.Oxy202060601.幾何概型是不同于古典概型的又一個最根本、最常見的概率模型，其概率計算原理通俗、簡單，對應(yīng)隨機事件及試驗結(jié)果的幾何量可以是長度、面積或體積.小結(jié)作業(yè)作業(yè)：P140練習(xí):1，2.

P142習(xí)題3.3A組:1.2.如果一個隨機試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個，并且每個結(jié)果發(fā)生的可能性相等，那么該試驗可以看作是幾何概型.通過適當(dāng)設(shè)置，將隨機事件轉(zhuǎn)化為幾何問題，即可利用幾何概型的概率公式求事件發(fā)生的概率.3.3.2均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生

3.3幾何概型

問題提出1.幾何概型的含義是什么？它有哪兩個根本特點？含義：每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度〔面積或體積〕成比例的概率模型.特點:〔1〕可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個;〔2〕每個結(jié)果發(fā)生的可能性相等.2.在幾何概型中，事件A發(fā)生的概率計算公式是什么？3.我們可以利用計算器或計算機產(chǎn)生整數(shù)值隨機數(shù)，還可以通過隨機模擬方法求古典概型的概率近似值，對于幾何概型，我們也可以進(jìn)行上述工作.均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生知識探究〔一〕：均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生思考1：一個人到單位的時間可能是8：00～9：00之間的任何一個時刻，假設(shè)設(shè)定他到單位的時間為8點過X分種，那么X可以是0～60之間的任何一刻，并且是等可能的.我們稱X服從[0，60]上的均勻分布，X為[0，60]上的均勻隨機數(shù).一般地，X為[a，b]上的均勻隨機數(shù)的含義如何？X的取值是離散的，還是連續(xù)的？X在區(qū)間[a，b]上等可能取任意一個值；X的取值是連續(xù)的.思考2：我們常用的是[0，1]上的均勻隨機數(shù)，可以利用計算器產(chǎn)生〔見教材P137〕.如何利用計算機產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機數(shù)？用Excel演示.〔1〕選定Al格，鍵人“＝RAND〔〕〞，按Enter鍵，那么在此格中的數(shù)是隨機產(chǎn)生的[0，1]上的均勻隨機數(shù)；〔2〕選定Al格，點擊復(fù)制，然后選定要產(chǎn)生隨機數(shù)的格，比方A2～A100，點擊粘貼，那么在A1～A100的數(shù)都是[0，1]上的均勻隨機數(shù).這樣我們就很快就得到了100個0～1之間的均勻隨機數(shù)，相當(dāng)于做了100次隨機試驗.思考3：計算機只能產(chǎn)生[0，1]上的均勻隨機數(shù)，如果試驗的結(jié)果是區(qū)間[a，b]上等可能出現(xiàn)的任何一個值，那么需要產(chǎn)生[a，b]上的均勻隨機數(shù)，對此，你有什么方法解決？首先利用計算器或計算機產(chǎn)生[0，1]上的均勻隨機數(shù)X=RAND,然后利用伸縮和平移變換：Y=X*(b—a)＋a計算Y的值，那么Y為[a，b]上的均勻隨機數(shù).思考4：利用計算機產(chǎn)生100個[2，6]上的均勻隨機數(shù)，具體如何操作？〔1〕在A1～A100產(chǎn)生100個0～1之間的均勻隨機數(shù)；〔2〕選定Bl格，鍵人“＝A1*4+2〞，按Enter鍵，那么在此格中的數(shù)是隨機產(chǎn)生的[2，6]上的均勻隨機數(shù)；〔3〕選定Bl格，拖動至B100，那么在B1～B100的數(shù)都是[2，6]上的均勻隨機數(shù).知識探究〔二〕：隨機模擬方法思考1：假設(shè)你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6:30～7:30之間把報紙送到你家，你父親離開家去上班的時間在早上7:00～8:00之間，如果把“你父親在離開家之前能得到報紙〞稱為事件A，那么事件A是哪種類型的事件？隨機事件思考2：設(shè)X、Y為[0，1]上的均勻隨機數(shù)，6.5＋X表示送報人到達(dá)你家的時間，7＋Y表示父親離開家的時間，假設(shè)事件A發(fā)生，那么X、Y應(yīng)滿足什么關(guān)系？7＋Y>6.5＋X，即Y>X－0.5.思考3：如何利用計算機做100次模擬試驗，計算事件A發(fā)生的頻率，從而估計事件A發(fā)生的概率？〔1〕在A1～A100，B1～B100產(chǎn)生兩組[0，1]上的均勻隨機數(shù)；〔2〕選定D1格，鍵入“=A1-B1〞，按Enter鍵.再選定Dl格，拖動至D100，那么在D1～D100的數(shù)為Y-X的值；〔3〕選定E1格，鍵入“=FREQUENCY〔D1：D100，-0.5〕〞，統(tǒng)計D列中小于-0.5的數(shù)的頻數(shù)；思考4：設(shè)送報人到達(dá)你家的時間為x，父親離開家的時間為y，假設(shè)事件A發(fā)生，那么x、y應(yīng)滿足什么關(guān)系？6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x.思考5：你能畫出上述不等式組表示的平面區(qū)域嗎？思考6：根據(jù)幾何概型的概率計算公式，事件A發(fā)生的概率為多少？y6.57.5xO78理論遷移例1在以下圖的正方形中隨機撒一把豆子，如何用隨機模擬的方法估計圓周率的值.（1）圓面積︰正方形面積=落在圓中的豆子數(shù)︰落在正方形中的豆子數(shù).（2）設(shè)正方形的邊長為2，則落在圓中的豆子數(shù)÷落在正方形中的豆子數(shù)×4.例2利用隨機模擬方法計算由y=1和y=x2所圍成的圖形的面積.xy01-11以直線x=1，x=-1，y=0，y=1為邊界作矩形，用隨機模擬方法計算落在拋物區(qū)域內(nèi)的均勻隨機點的頻率，那么所求區(qū)域的面積=頻率×2.小結(jié)作業(yè)1.在區(qū)間[a，b]上的均勻隨機數(shù)與整數(shù)值隨機數(shù)的共同點都是等可能取值，不同點是均勻隨機數(shù)可以取區(qū)間內(nèi)的任意一個實數(shù)，整數(shù)值隨機數(shù)只取區(qū)間內(nèi)的整數(shù).2.利用幾何概型的概率公式，結(jié)合隨機模擬試驗，可以解決求概率、面積、參數(shù)值等一系列問題，表達(dá)了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值.3.用隨機模擬試驗不規(guī)那么圖形的面積的根本思