第三章 微分方程的數(shù)值計(jì)算原理

第三章微分方程的數(shù)值計(jì)算原理§3.1概述§3.2非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的差分格式§3.2.1顯式差分格式——時(shí)間前向差分§3.2.2完全隱式差分格式——時(shí)間向后差分§3.2.3六點(diǎn)差分格式（C-N格式）——時(shí)間中心差分§3.2.4帶權(quán)差分格式§3.3不同差分格式的特性§3.3.1差分格式的穩(wěn)定性§3.3.2差分格式的精度§3.4直接差分法與邊界條件的差分化§3.4.1直接差分法§3.4.2邊界條件的差分化§3.5有限差分與有限元網(wǎng)格剖分§3.1概述

數(shù)值計(jì)算法是一種對(duì)微分方程的近似求解基本思想是把本來求解變量隨空間、時(shí)間連續(xù)分布和變化的問題，轉(zhuǎn)化為在空間領(lǐng)域與時(shí)間領(lǐng)域的有限個(gè)離散點(diǎn)上求變量值的問題。由于解是由一系列的數(shù)值表達(dá)出來的（解析解則是由函數(shù)式表達(dá)），故稱之為數(shù)值計(jì)算法（或數(shù)值解法）。目前主要的數(shù)值計(jì)算法有：

有限差分法（FDM）

有限元法（FEM）一般以前者應(yīng)用較多（3-1）

有限差分法（FiniteDifferenceMethod）的物理基礎(chǔ)仍然是各種守恒定律，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)則是用差商代替微商對(duì)于連續(xù)函數(shù)T（x），其微商（導(dǎo)數(shù)）為上式中即為差商，其中△T與△x均不為零，而是當(dāng)△x→0時(shí)差商的極限值，即微商。這里通過△x→0將與聯(lián)系了起來。在△x未到達(dá)零之前，始終只是的近似值?？梢园掩呌诘倪^程看作是由近似向精確的過渡；反之，用代替就意味著由精確向近似過渡。二者的差即為用差商代替微商后所產(chǎn)生的誤差。

將函數(shù)值按泰勒（Toylor）級(jí)數(shù)展開：（3-2）式中表示數(shù)量級(jí)，表示第五項(xiàng)以后各項(xiàng)的代數(shù)和與屬同一數(shù)量級(jí)。由此可見，差商代替微商的偏差就是截去了泰勒級(jí)數(shù)中的高階項(xiàng)所引起的，故一般稱之為“截?cái)嗾`差”。用差商代替微商可以有不同的方法，由此而產(chǎn)生的誤差也不相同。一般一階差商有三種形式：由圖3-1可以看出，中心差商的誤差較小。經(jīng)簡(jiǎn)單運(yùn)算后能夠發(fā)現(xiàn)，前向差商和后向差商代替微商的截?cái)嗾`差均與△x屬同一數(shù)量級(jí)，而中心差商代替微商的截?cái)嗾`差與屬同一數(shù)量級(jí)。

二階微商由二階差商近似，實(shí)際計(jì)算中多用其“中心差商”形式：(3-6)

其截?cái)嗾`差也是與同階的小量。同理，偏微商也可用相應(yīng)的差商來代替：§3.2非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的差分格式在金屬凝固與鑄造過程中遇到的導(dǎo)熱過程主要是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。可以由下列傅立葉方程描述：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的特點(diǎn)是增加了時(shí)間變量，從而在傅立葉方程中出現(xiàn)了時(shí)間的一階微商。由于這個(gè)一階微商采取不同的差分形式（向前差分、向后差分、中心差分等）而導(dǎo)致產(chǎn)生了不同格式的差分方程，被稱為差分格式。各種差分格式均可由微分方程通過用差分代替相應(yīng)微分而寫出。§3.2.1顯式差分格式——時(shí)間向前差分§3.2.2完全隱式差分格式——時(shí)間向后差分§3.2.3六點(diǎn)差分格式（C-N格式）——時(shí)間中心差分帶權(quán)差分格式（4-6）顯式站差分抵格式劣——增時(shí)間蒙向前拐差分設(shè)節(jié)翠點(diǎn)（蛇i，守j，共k）蹤蝶在n臭時(shí)刻鈴的溫渴度值梢為雅，則頭（4蹦-6毯）式交的傅喘立葉蹤蝶方程絞可寫王為（3絮-1斃4）對(duì)等尺號(hào)左狡邊用耗前向妥差分差來近本似：（3坑-1魂5）等式塔右邊變都是頁二階普導(dǎo)數(shù)甩，用戲中心扯差分例來近木似：（3完-1殖6）將（參3-迷15仇）、鳳(3俱-1遣6)公式代館入(掛3-明14晚)式膊得到痕差分損方程滾：整理撇后得亭：(3垂-1廊7)此式皇的意持義就鳳是節(jié)帳點(diǎn)（談i，凳j，紹k）牲在時(shí)肉刻tn+騾1=（腐n+慣1）邪△t條的溫柿度值兄可奇由該坊點(diǎn)及梳其相殖鄰節(jié)故點(diǎn)上揚(yáng)一時(shí)右刻tn=n奸△t揭的溫竭度腳、勻、殲、榮、母、語和變直接訊求得籍。如混圖3詳-2圈示。當(dāng)x獵，y辱，z坐三個(gè)紛方向洞上的走節(jié)點(diǎn)鄙步長呢相等柄，即合Δx曉=Δ縫y=廢Δz襪時(shí)，斬（3植-1摔7）屈式簡(jiǎn)喊化為將：(3徹-1謝8)式中窄：(3鄙-1亦9)完全輪隱式沙差分厭格式稈——旬時(shí)間夸向后折差分如果穿對(duì)式卵(3迎-1哀4)勞左邊磨采用園向后登差分從來近敗似：(3仙-2呢0)對(duì)右傍邊仍販用中意心差連分來安近似用（式長（3翼-1朽6）粒），穩(wěn)則得雷差分掀方程讓為：在Δ饒x=寬Δy焦=Δ紅z時(shí)嫌，整箭理后倘得：或?qū)戣b為：(3帳-2悠1)此式捎表明擴(kuò)，節(jié)添點(diǎn)（筒i，歲j，宿k）偏在時(shí)珍刻tn+哨1=（此n+召1）但△t而的溫夫度吐不能厭由上鼠一時(shí)備刻tn=n楊△賽t時(shí)嘴該節(jié)販點(diǎn)及鑼其相混鄰節(jié)訴點(diǎn)的咽溫度嬸值筑、溝、恐、西、偷、滾和儉直新接求伸得，很而是盲需要蜜全部安節(jié)點(diǎn)泉差分到方程厚組成至方程她組聯(lián)博立求單解。若因此服稱這屑種差黎分格仰式為流“隱巷式差徐分格陣式”摸。隱狀式差合分格產(chǎn)式還演有其鋼它多弄種形混式，蚊（3心-2背1）批式是日所謂鐘的“裙完全棍隱式太差分介格式趙”。六點(diǎn)南差分?jǐn)D格式跨（C河-N社格式保）—配—時(shí)容間中率心差飄分設(shè)節(jié)貨點(diǎn)（渾i，鑄j，勒k）跑在時(shí)恒刻tn=n晨△t都的溫堡度為黎，脊在時(shí)榆刻tn+筆1=（角n+績1）讓△t校時(shí)刻怨的溫錢度為旦，炭在時(shí)劉刻紅的道溫度村為齡。惰我們?cè)磳?duì)晨時(shí)刻立節(jié)點(diǎn)貍（i郊，j增，k賞）的肉微分菌方程列差托分方術(shù)程。月對(duì)等券式兩稅邊均治采用拾中心肚差分活近似正：(3賢-2痕3)(3旋-2犯2)(3助-2舉4)將式框（3搶-2兩3）橫和式跳(3呆-2壇4)掘代入貞式（經(jīng)3-鳳22群）得昂：(3映-2渴5)又有(3鳥-2純6)代入餐上式虹得：在Δ藏x=幣Δy療=Δ姜z時(shí)章，整啦理得皺：(3互-2確7)該式士表明材tn+假1時(shí)刻臥7個(gè)箱相鄰條節(jié)點(diǎn)較的溫海度值困與上康一時(shí)帳刻（投tn）全席部相精應(yīng)節(jié)況點(diǎn)的納溫度躺有關(guān)充。在咱一維瓜空間擔(dān)情況鏡下是禍一個(gè)窯有六便個(gè)節(jié)妙點(diǎn)溫?fù)]度值桿的方獄程，郵故稱鎮(zhèn)為“億六點(diǎn)枕差分娘格式塌”，暑有時(shí)項(xiàng)又稱懶為C容ra桂nk衣-N劉ic湯ol子so弊n差誰分格筍式，忘或簡(jiǎn)岸稱C糕-N煮格式造。它抓也是災(zāi)一種搖隱式售差分合格式高，具稅有截硬斷誤紛差小姥，穩(wěn)橋定性伙好等絹優(yōu)點(diǎn)揀，在猜實(shí)際黎計(jì)算史中也響經(jīng)常霧被采糕用。帶權(quán)星差分袖格式由式葉(3禿-1怨8)吧、(支3-介21糖)和革(3萌-2他7)創(chuàng)可以會(huì)看出不，上撿述三犯種差功分格衣式所營對(duì)應(yīng)衰的微千分方石程可鳳歸結(jié)刃為一仇個(gè)通深用表浩達(dá)式去：(3論-2淹8)式中螞采競(jìng)用向恰前差向分，孩μ為市權(quán)系寧數(shù)，半其取標(biāo)值范托圍為劑0≤烏μ≤址1。當(dāng)μ杯=0答時(shí)，怪式（效3-畜28巴）與槳式（衣3-妨18扔）相復(fù)同，吧得到灰顯式蓄差分囑格式日；當(dāng)μ帖=0菠.5壘時(shí)，課式（兩3-念28植）與未式(資3-生27并)相五同，往得到瞞六點(diǎn)萌差分溪格式怖；當(dāng)μ迎=1該時(shí)，宰式（父3-漁28憑）與胸式(淺3-所21場(chǎng))相孕同，民得到篇完全梁隱式令差分蓄格式油。μ也張可取狠上述疾值以秩外的觀其它伴值，顯即對(duì)孟當(dāng)前吩時(shí)刻勒和下舍一時(shí)籠刻的縫二階賓偏導(dǎo)徹?cái)?shù)給寶以不牧同程皺度的兄重視招，這座時(shí)便傭得到訪所謂捎“帶晨權(quán)差帥分格月式”第。由于憲除μ穴=0簡(jiǎn)外所巡壽得到質(zhì)的差弦分格暈式都用是隱跌式，偶因此坦，式羞（3靠-2怖8）華也被表稱為案“一溉般隱亂式差漫分格握式”揚(yáng)，相耳應(yīng)的揀差分宗方程捕為：當(dāng)△混x=繼△y獵=△雷z時(shí)跑，經(jīng)飛整理填得：(3跡-2裹9)§3汗.3慈不同哥差分彼格式敘的特墓性差分址方程旗的解就是對(duì)垮微分冬方程斃解的身近似頁。不匆同的離差分蓄格式圍在計(jì)末算中木表現(xiàn)咸出不碼同的唐特性睜。例泥如：由截?cái)鄡烧`差草不同叔，即減解的惜精度罰不同燥；求憤解方袖法簡(jiǎn)傾易不冊(cè)同，均即編枕程計(jì)蜜算的薪工作稿量不隱同；滴穩(wěn)定泊性不近同等綿等。否在實(shí)薪際計(jì)譜算中往應(yīng)綜格合考運(yùn)慮各汗方面仿選用君恰當(dāng)壓的差解分格儲(chǔ)式。怒但首惰先要繩考慮哥的應(yīng)句是使基有限秧差分圓法所孤求得皆的解蝦盡可冠能準(zhǔn)部確地群代表考原來方微分侮方程桐定解雪問題君的真吊實(shí)解抽，為嚷此差螞分格沾式應(yīng)國具備似以下狀特性鑄：①差饅分格康式必親須滿挨足相容咱性（正藍(lán)確性旦）。饒所謂恰相容宋性，燭是指爹當(dāng)差叉分格帽式的據(jù)步長驅(qū)△x減，△鼓y，芳△z埋，△勢(shì)t等懂趨近籃于零擔(dān)時(shí)，使內(nèi)節(jié)錢點(diǎn)的踐差分每方程乏應(yīng)趨綁近于感微分尺方程牌，定劫解條辮件的必差分少形式剪亦應(yīng)低趨近桃于原搏定解扭條件激，這沈也就穴是說牢，從誓微分設(shè)方程見定解率問題韻到差染分格若式的纏轉(zhuǎn)變拿應(yīng)該仰是可震逆的踐，否門則即碰稱之勸為不艇滿足鴉相容辨性要承求。②差曬分格哲式的蘇解必替須滿窗足收斂可性。這蠟里所魚說的歷收斂孟性，閱是指著差分撈格式逃的步閉長趨字近于垮零時(shí)辭，其林代數(shù)鴨方程劫組的滑解應(yīng)拔趨近繞于微輛分方腔程定污解問掃題精柜確解恨的值飼。滿足閉相容屠性是瘡滿足吧收斂紹性的催必要膚條件就，但現(xiàn)不是聰充分膚條件處。因塑為要按滿足烏收斂腎性還蹄與諸杏如差雹分格們式的胸類型霸及其凱求解約過程宵等其點(diǎn)它因沖素有擦關(guān)。③應(yīng)眠盡量隔保證狡差分彎格式休解的準(zhǔn)確四性，這騙里所鞠說的悼準(zhǔn)確信性，離是指供差分科格式禁中代襪數(shù)方礦程組欄的解趕接近蒙微分燭方程督定解向問題獻(xiàn)解的右程度油。前面餅介紹貢的各茅種差漢分格梢式都量能滿賤足相崖容性界的要況求，話即當(dāng)跑距離古與時(shí)騾間步透長△粉x，極△y亭，△劈燕z，悼△t楚等趨消近于壟零時(shí)閘，各弄內(nèi)節(jié)責(zé)點(diǎn)的綢差分將方程柱趨近衛(wèi)于微昌分方寨程。挽至于著收斂撇性，朗根據(jù)鍵計(jì)算苗數(shù)學(xué)壓的有萄關(guān)論杯述，沒象我姿們所吩討論頃的傅搞立葉職導(dǎo)熱救微分扇方程棚這類芝拋物灣線型肅的偏憑微分叉方程蒙，它零所對(duì)豪應(yīng)的塑差分命方程瓦的收懂?dāng)啃葬斒且酝岱€(wěn)定需性形界式表把現(xiàn)的彼。差分無格式可的穩(wěn)鍵定性差分禍格式篩的準(zhǔn)差確性群——濫精度差分夸格式清的穩(wěn)校定性所謂疊差分亂格式搬的穩(wěn)或定性撥就是被其解習(xí)對(duì)于側(cè)初始勻條件怒和邊西界條伯件的帝敏感真性。逐一般枕概念滑可描鞏述為開：如孤果初背始條朵件和多邊界眠條件饑有微稀小變術(shù)化，價(jià)最后姐的解豬是否悉也只裙有微瀉小的秋變化嚷?如目果變偶化微封小，舌則稱警解是糾穩(wěn)定季的，洋亦即四差分掌格式說是穩(wěn)匪定的丈，否別則就疑是不鄰穩(wěn)定套的。保證探求解腸結(jié)果濁的穩(wěn)撤定性茶在實(shí)蒜際計(jì)桶算中師極其逐重要盆，這幸是因亭為：傳①初好始條茂件與膠邊界鳳條件娛中有該很多尊是實(shí)診測(cè)數(shù)鼓據(jù)或懸經(jīng)驗(yàn)粉數(shù)據(jù)各，測(cè)羊量誤原差難勉以避哄免，寶如果煩這種偉測(cè)量萬數(shù)據(jù)及的分狡散性季會(huì)導(dǎo)榆致解綱的不薄穩(wěn)定典，則絨整個(gè)刮求解穴過程少就失印敗了坊。②優(yōu)對(duì)實(shí)誼際問補(bǔ)題進(jìn)幣行模悲型化奸的過授程中仰，有乓許多焰簡(jiǎn)化艷假設(shè)籌和近期似處肝理，希這些宅都與誰實(shí)際交情況攤存在肌著偏狠差，曲如果基數(shù)值稻解不搭具備斷穩(wěn)定堂性，書這些卵偏差管就會(huì)悼導(dǎo)致弱一個(gè)孩遠(yuǎn)遠(yuǎn)橡偏離木實(shí)際需情況貢的計(jì)細(xì)算結(jié)臭果。草③計(jì)嘗算機(jī)裕進(jìn)行塌數(shù)值絹計(jì)算鑄過程雕中不洗可避常免地斥會(huì)有侍舍入聾誤差舞（因壯為字蜘節(jié)長蛇度有門限）燃，如枝果這系種舍鳳入誤便差在躬計(jì)算催過程蘆中由只于被腰不斷杯積累禽放大圍而導(dǎo)態(tài)致解餐的發(fā)還散，賀則最沿后得爽到的課結(jié)果宏是不丸可靠傳的，廈甚至扶是錯(cuò)霸誤的額。由（昨3-扮29達(dá)）式薄可得涼到對(duì)晝各種冷差分疏格式鹿的統(tǒng)員一的療穩(wěn)定律性判梨據(jù)：（3墾-3軍0）其中釋：取；μ迫為加算權(quán)系旺數(shù)，綁。此式繡的物分理意包義基惕于這禿樣一劫個(gè)事偵實(shí)：輕某一只節(jié)點(diǎn)嚼下一恨時(shí)刻娛的溫谷度值缸受其箱當(dāng)前湖時(shí)刻尸溫度孫值及貍其相末鄰節(jié)釘點(diǎn)溫座度值孝（包絲式括當(dāng)籍前時(shí)棟刻和脹下一中時(shí)刻刊）的稍影響址，這懶些影毯響都防是“團(tuán)正向間”的況。即冰某一冬節(jié)點(diǎn)枝當(dāng)前磨時(shí)刻光的溫便度值顫越高像，相掃鄰節(jié)簽點(diǎn)的蟻溫度別值越展高，擊則該罩節(jié)點(diǎn)余下一魚時(shí)刻征的溫幣度值就也越燃高。據(jù)此低式分定析，景前述喘各種墊差分版格式模的穩(wěn)亡定性意為：①顯盛式差彈分格種式：答μ=振0，廉穩(wěn)定妻性條塌件為0＜械1－午6f質(zhì)≤袋1求解嶄得：（3旋-3糟1）由f俗的定吩義式搭可知喪，為南了滿厘足穩(wěn)證定性庫條件螞，在表距離宋步長賣△x逃、△左y、水△z答和時(shí)托間步日長△配t之灰間存闊在著躬相互浪制約跡的關(guān)單系。士一般紡在實(shí)綱際計(jì)王算中數(shù)，大汽都根煮據(jù)物勁體的燙具體敢尺寸沸和對(duì)胡結(jié)果榜的精材度要儲(chǔ)求首局先確壓定△伯x，娛此時(shí)瀉△t貿(mào)的選數(shù)擇就話受到惰限制反，即絮必須匯滿足肯：②完估全隱餅式差忘分格派式：強(qiáng)μ=句1，緩穩(wěn)定快性條經(jīng)件為此時(shí)慈f取價(jià)任意稈值都形能滿擊足要瘦求。艱因此怖，采喂用完夏全隱吐式差景分格最式時(shí)途對(duì)距隆離步誼長△淚x、差△y陜、△凍z和罵時(shí)間超步長捉△t猴的選系擇是顆無條皺件約證束的皆。因但而這瞧種差有分格德式又告稱為橡無條臣件穩(wěn)正定格晌式。（3貢-3遷2）③六狼點(diǎn)差灑分格匙式：嗓μ=邊0.祥5，彎穩(wěn)定反性條碼件為求解史得：（3減-3其3）可見炮六點(diǎn)拍差分吐格式手也是里有條陵件穩(wěn)蘆定的克，但位其穩(wěn)恭定性駝條件障要比感顯式掠差分野格式疫寬一陣倍。④加惜權(quán)差育分格柱式：口0＜脂μ＜欲1，幅穩(wěn)定費(fèi)性條剪件為1-積6（賢1-嘆μ）姓f昆＞0即：堡（3飾-3爛4）分析論上式奸可知漲，如苗μ＜稻1，袍則差姨分格拼式是久有條瞎件穩(wěn)攻定的折；如感μ=的1，恩則差得分格姻式為滔無條曾件穩(wěn)呆定。學(xué)由此兄可見期，上叔述差思分格毫式中灰除了漂完全叢隱式檔差分市格式戒外，轉(zhuǎn)都是放有條杯件穩(wěn)明定的鬧。隨豬著μ肺值的纖增大近，其撒穩(wěn)定姿性條候件逐帝步變毫寬，謀即穩(wěn)糾定性唯逐步困增強(qiáng)杜。差分余格式雖的準(zhǔn)必確性吩——饒精度準(zhǔn)確盟性，嘗即精飽度，責(zé)主要罩指有菌限差凳分這綢種數(shù)需值計(jì)撒算方嚷法本廉身所絹具有擺的近掉似性調(diào)，亦秩即不揭同差疊分格延式所住帶來四的不叉同誤爽差。里事實(shí)飛上影崖響最作終求朱解結(jié)械果精欄度的奏因素鋸很多己，包偽括代平數(shù)方鄙程組后的求芹解方怠法，栽計(jì)算息機(jī)運(yùn)核算過過程所甘帶來迫的誤爺差，您以至百程序旁編制債的技亦巧等草。這跌些因節(jié)素在硬實(shí)際蕩計(jì)算萍中均右須予想以考糖慮，掏但在秤這里蒼我們鉤只討耕論差夕分格宰式的萄準(zhǔn)確氧性差分根格式攔的準(zhǔn)嫁確性壇只有春在其蜘穩(wěn)定挎性得雁到保累證的派基礎(chǔ)束上來稅討論荒才是垃有意鬼義的當(dāng)以纖差分幻玉來代院替微針分時(shí)丙，是妹略去外了其陰泰勒駱展開佩式中圈的高漫階項(xiàng)淘，從江而帶州來一娛定的絨截?cái)嗍陶`差殘。前劈燕面討路論的材幾種昏差分配格式界，其罷主要望區(qū)別轟是對(duì)值時(shí)間達(dá)偏導(dǎo)動(dòng)數(shù)項(xiàng)叨的處貢理不促同，貓而對(duì)剖空間考坐標(biāo)揉偏導(dǎo)鍵數(shù)的女處理劣并無詠不同百。由通于向卸前差啟分與關(guān)向后縱差分間的截任斷誤胸差較門大，釘而中黎心差精分的薄截?cái)嗳跽`差躺較小期，因殃此可控以認(rèn)懼為顯荷式差妹分格兵式與愛完全盒隱式聽差分枯格式突的精姻度都椅不如鋼C-革N格童式。庭但僅務(wù)以此銀為依立據(jù)就關(guān)作出居判斷線是比擊較粗柳糙的嚴(yán)格祖地判剩斷各絕種差穴分格往式的梢準(zhǔn)確公性，痕應(yīng)通田過將鉗其結(jié)犬果與壯精確度解進(jìn)堅(jiān)行對(duì)房誠比。休可用羞如下曉方法擴(kuò)進(jìn)行雨一種始定量研分析考慮始節(jié)點(diǎn)弊（i叫，j沾，k抓），經(jīng)在tn+眉1時(shí)刻灑的溫躍度為塊，在糊tn時(shí)刻澡的溫蠶度為塞，輝而其勁相鄰載節(jié)點(diǎn)蘿的溫落度保陰持為流0，叼即現(xiàn)在齡我們并考察螞一下偶與滾的關(guān)瞎系。族將傅單立葉浩方程畝（4第-6蜘）式雖的右絹邊寫擴(kuò)成差伐分形當(dāng)式，侄而左夜邊仍扒保持罩微分欄形式慘：當(dāng)怕時(shí)，細(xì)有（3殃-3駱5）或?qū)懛麨椋海?減-3暴6）將上貓式分慚離變廢量后頁積分盆，并狠取積念分區(qū)至間為項(xiàng)一個(gè)甘時(shí)間妥步長屑△t辭，則券有：(3鄙-3懸7)(3辟-3井8)即式中式（銀3-賠38勤）為枯式（高3-竊36朋）的萌精確月解，走它表更明，念在△竭x保姻持不能變的夏情況軋下，艦隨著數(shù)△t晨由0裹→∞橡，淋值怕由長值搶逐漸福衰減假為0恢。由（慚3-腐18師）式癢，對(duì)絡(luò)于顯御式差饒分格胖式有煩：(3液-3澆9)由式癥（3濁-2原1）童；對(duì)哈于完罰全隱衫式差貨分格喬式有匆：(3警-4怒0)由式原（3玻-2厚7）滲，對(duì)代于六勞點(diǎn)差撥分格倡式（怕即C轉(zhuǎn)-N躁格式野）有香：(3室-4計(jì)1)將（來3-冷38純）式型、（偷3-盯39亂）式細(xì)、(廉3-踏40臭)式墾和(草3-妹41爺)式知描繪弱成函晃數(shù)圖愿形，功如圖梳3-尸3所王示。凱可以做看出休，當(dāng)逼f值逮很小獲時(shí)，莖各種喪差分矮格式丸很接醒近于容精確旬解；率但當(dāng)否f值預(yù)逐漸襖增大旬時(shí)，淋不同拳差分處格式盜的情快況就曉大相花徑庭普。在貢f較洋大，頑如f抵=1砍/6記時(shí)，卻C-作N格熊式與悠精確耕解最榮為接促近；緩當(dāng)f絞繼續(xù)倘增大商時(shí)，濃C-界N格綿式與躁完全爹隱式珍格式蜻比較的接近廉精確橡解。需要焰指出窄的是輪，上處述分捏析只腿能說勒明由透于對(duì)捏項(xiàng)采裂取不咽同的眼差分世近似敏而導(dǎo)綁致的個(gè)不同粱差分清方程脈的相昆對(duì)準(zhǔn)基確性雀，并史不能寺說明燒一個(gè)摩具體稀差分帽格式墻的絕蠟對(duì)精篇度。廁事實(shí)云上，彎差分詞格式瞞的準(zhǔn)逢確性敵除取夕決于堆差分廚方程秩本身渾外，澤還可健能受晨到邊嗚界條摘件差余分化禍的影鉆響。圖3縫-3貓不同待差分鼠格式問的精斬度和誦穩(wěn)定范性§3河.4跨直接期差分士法與殿邊界接條件廈的差啊分化直接槍差分那法邊界腎條件到的差猶分化直接稻差分?jǐn)[法除了甲基于浙導(dǎo)熱粉微分叼方程礎(chǔ)用差蒼分代嘴替微市分來蘿建立否差分汗方程懇外，記還可敏將熱炸傳導(dǎo)變定律以直接草應(yīng)用膛于經(jīng)幻玉網(wǎng)格丟剖分倡后的廣單元鐵體，歷通過炕能量亭平衡辜列寫擺差分酒方程壺。這恢種方寺法就廁是所兔謂的休直接遷差分不法，拒有時(shí)重又被惠稱為耐單元腸熱平倒衡法避。如煮圖3傭-4犯所示仍的二市維節(jié)驕點(diǎn)（濾i，屋j）框，其幅能量要平衡疼為：當(dāng)λx=λy，△陜x=懲△y條時(shí)，輛整理眾得：這是昏二維般顯式閱差分燥方程毯，與芝用差款分代刻替微效分由貪微分柴方程斧得到潛的結(jié)深果相棵同，蜓同樣恐用這真種方隸法也廉可得盯到各孫種隱宮式差粒分格溫式。直接些差分亮法的端優(yōu)點(diǎn)鄉(xiāng)豐有三呢：首先缺它不饅涉及胡偏微繼分方泥程等截較為賤復(fù)雜夫的數(shù)滋學(xué)概活念及販處理取，物音理意跪義直娘觀清加晰，隊(duì)容易鴉理解壘。其次吐，它厲能夠乞用于逼不規(guī)廳則網(wǎng)它格剖登分，乒在處榜理復(fù)納雜幾強(qiáng)何形醒狀方爺面具皆有獨(dú)毒特優(yōu)殿勢(shì)。此外蟲，它迫充許摔不同烏單元樓采用典不同效的熱挎物性羽值，來因而懷可方抄便地該處理持不同繪材料俱組成悲的系盞統(tǒng)問叨題。§3絲式.4膝.2棵邊提界條勉件的神差分峽化①給富定溫訂度的攏邊界澡條件這種為邊界兔條件浪的差稀分方杰程可防直接榜寫出窮：（n文=0蜂,暮1,翻2赴,杜3,勵(lì)…輝）菜（3友-4來2）式中押Tw工為物即體表妥面或詞邊界壇處的糟溫度梳，T員b為革邊界虎節(jié)點(diǎn)援溫度垮值。蒜Tw掌可以鄙是一獨(dú)個(gè)恒殃定值致，也被可以飛是一戶個(gè)隨刑時(shí)間槍變化砌的函哲數(shù)，呀但無誕論如轎何，傾它都眼是已臘知的馳。②對(duì)繼流換雖熱的越邊界巨條件如圖雙3-使5所喬示，饑Tl，秀m，梢p為對(duì)知流換填熱的癢邊界館節(jié)點(diǎn)撇溫度它，Tl-活1，價(jià)m，吧p為與艷其相帖鄰的秒內(nèi)節(jié)郊點(diǎn)溫順度，餅Tl,基m,劇p-夢(mèng)1，Tl,鎖m,倚p+嫌1，Tl,總m+昌1,漫p，Tl,校m-棗1,灰p為其廟相鄰遠(yuǎn)邊界惕節(jié)點(diǎn)靈的溫佩度，緒環(huán)境貨溫度友為T∞，對(duì)擇流換稍熱系紛數(shù)為語h。鏈單元守?zé)崞秸b衡式往如下呆：當(dāng)λ晨x=片λy剛=λ諒z=滋λ，糖△x觀=△奏y=耕△z做時(shí)，充整理固后得削：（3枕-4叢3）此式汽是一鞏個(gè)顯擋式差禾分形蒙式，失其穩(wěn)殃定性茄條件咱為：求解佛得：（3榨-4若4）與（辯3-端31斗）式惱比較催可見思，該樂條件愿比內(nèi)老節(jié)點(diǎn)夫穩(wěn)定歡性條夫件更愿苛刻血。對(duì)流宏換熱膨邊界雷單元嶼的熱廟平衡喇也可紗寫成閘隱式選格式竭：當(dāng)λ腹x=兇λy富=λ棟z=裙λ，額△x弄=△情y=鑰△z喚時(shí)，掏整理妖后得炊：（3愈-4健5）該式獸是無辟條件使穩(wěn)定桑的。③輻賣射換至熱邊刮界條磁件對(duì)于鼠具有皇強(qiáng)烈丑非線價(jià)性函淘數(shù)關(guān)糧系的梯輻射快換熱內(nèi)邊界圓條件辛，也馬常按槳對(duì)流把換熱袋那樣士的線攏性關(guān)嘗系進(jìn)蛾行簡(jiǎn)響化：式中帝hr為輻抬射對(duì)追流換溝熱系哨數(shù)。奪此這摟種邊決界條濃件的跪差分露方程唯與對(duì)盟流換準(zhǔn)熱邊毯界條柏件的軟相同兼。但主在輻址射換麥熱起雨主導(dǎo)吉作用希的情影況下歪，一蜂般都腎有T∞＜＜威Tw，常淡將T∞忽略亦不計(jì)灰，于觸是對(duì)末應(yīng)于橋式（讓3-犬43銳）和賊（3毯-4雙5）吼輻射芬換熱活邊界筍條件嗓的顯勇式和暴隱式躬差分婆方程播分別構(gòu)為：（3倦-4澆6）（3雁-4役7）④給蠻定熱落流的宏邊界俘條件如圖陽3-扶6所帳示，謹(jǐn)邊界游節(jié)點(diǎn)際（l半，m委，p體）處用由環(huán)想境流泰入節(jié)造點(diǎn)的辜熱流蠟量為帆q。較我們辜通過棟節(jié)點(diǎn)智（l佩，m數(shù)，p逝）的仇單元鳳熱平聰衡法濕來建洽立其艦差分性方程爸。當(dāng)λ菊x=裂λy籃=λ健z=呀λ，風(fēng)△x瓦=△傭y=鼠△z偷時(shí)，江整理徑后得孕：（3崖-4調(diào)8）用單尊元熱界平衡使法也幅可得餐到該當(dāng)邊界等節(jié)點(diǎn)拳的隱接式差膝分方士程：當(dāng)λ終x=密λy百=λ霸z=影λ，掏△x篇=△挪y=噴△z御時(shí)，饑整理木后得堂：（3讓-4摔9）絕熱瓦邊界蛙條件丙是這穗種情熊況的銜特例址：q堆=0恩。代牲入式杰（3掩-4撞8）撿和（蟻3-共49寺）就洽可得飲到相背應(yīng)的灑顯式庫和隱憂式差好分方針程：（3霉-5俗0）（3誓-5吵1）邊界蔑節(jié)點(diǎn)兼的情淋況是戲復(fù)雜蚊多樣漲的，猜實(shí)際磨應(yīng)用袍中需煉要根久據(jù)其驅(qū)實(shí)際變情況掙由能兇量平判衡寫蕩差分陣方程剃，不警可能夸找到掩一個(gè)躬適合哥于所昂有邊磨界節(jié)益點(diǎn)的渾通用展差分仰方程萌。另消外，覆在二乒維或刊三維旬問題仿中，扁物體倚不同涉邊界暑可能妹具有困不同償?shù)倪厧徒鐥l枕件。采這時(shí)建會(huì)遇快到二落個(gè)邊棗界的積端部普節(jié)點(diǎn)逐究竟儲(chǔ)屬于豆哪種五邊界休條件裕的問射題。凡例如那，一驅(qū)面是劍第一滋類邊昂界條規(guī)件，否一面受第二鄙類邊老界條嫌件。恥此時(shí)跪，可奸根據(jù)躍實(shí)際幫情況灘酌定先其歸馬屬，慮但切蒼記每困一個(gè)腰邊界懲節(jié)點(diǎn)且只應(yīng)循屬于閘一種松邊界蠻條件吸?！?啦.5劣有限職差分伙與有破限元?jiǎng)偩W(wǎng)格遠(yuǎn)剖分?jǐn)?shù)值艱計(jì)算韻作為憤微分碼方程塘的一高種近省似求婦解方凈法，漆其本圖身并舅非源餐于計(jì)倆算機(jī)匠技術(shù)場(chǎng)，但度計(jì)算堂機(jī)技贈(zèng)術(shù)的啊發(fā)展煮為數(shù)斤值計(jì)忘算提均供了出有力鬧的工刮具，歇使實(shí)科際問浸題的菊數(shù)值剖計(jì)算慚成為先可能伯。借助減于計(jì)港算機(jī)妻，我員們不找僅可靈以實(shí)如現(xiàn)計(jì)鳳算過凈程的端自動(dòng)睡化，浩還能頁夠?qū)嵧飕F(xiàn)計(jì)腿算結(jié)踐果的蒜可視?；?。為了壩實(shí)現(xiàn)還這些匠目的咸，需民要對(duì)啟鑄件夫?qū)嶓w珍幾何紗模型路進(jìn)行秒離散禾化網(wǎng)結(jié)格剖鉤分。改雖然煩網(wǎng)格巴剖分刮可以陽通過維程序塌的編拒寫與聾運(yùn)行舊來自肝動(dòng)完跳成，獄但同炸一個(gè)拜實(shí)體箏的剖座分結(jié)泉果不蓄是唯刷一的祝，可陶以多獎(jiǎng)種多域樣，捉其中嫌存在年著很桂大的匠靈活賀性與乞技巧濃性。對(duì)鑄花件實(shí)榴體進(jìn)頑行網(wǎng)賓格剖秧分的勝目的私是，狡將鑄否件實(shí)鍬體進(jìn)店行空穗間離樹散化袋，生協(xié)成節(jié)優(yōu)點(diǎn)集針和相讀應(yīng)的障單元貝（又鑰叫節(jié)把點(diǎn)領(lǐng)放域）選集，娛并對(duì)簽各個(gè)查節(jié)點(diǎn)伙（或橡單元席）進(jìn)珍行編就號(hào)，火建立居各節(jié)快點(diǎn)（康或單趨元）止的特走征描猾述：雪相鄰勞節(jié)點(diǎn)難，Δ傾Vi斷，Δ削Si互j,倍ΔL壤ij泉,ρ念i，籃Ci泊，k澡i等釋。對(duì)于切有限曲差分榆法，挎常用劣的網(wǎng)交格剖桶分法色有：①等曾間距蟻直交垂剖分各節(jié)學(xué)點(diǎn)構(gòu)贏成立驕方點(diǎn)叉陣，弊相應(yīng)器單元懶體均四為相寄同尺皮寸的及立方起體（幟Δx搭=Δ傭y=務(wù)Δz風(fēng)），擋如圖3飾-7所示殃。這嚷是最激為簡(jiǎn)蘇便的回處理蓋方法得，易兄于實(shí)旦現(xiàn)網(wǎng)扶格自角動(dòng)剖歇分，增節(jié)點(diǎn)辰方程剃形式批簡(jiǎn)單孕，單匙元特默征描坊述簡(jiǎn)割單，華占用鴿內(nèi)存顛少，慢程序轟結(jié)構(gòu)咸簡(jiǎn)單納，運(yùn)敏算時(shí)嬸間短淡。②不壟等間神距直老交剖蛙分根據(jù)迎局部鏡溫度汽梯度屋變化嘩劇烈昆程度逝的不口同，貴在不堂同方堂向或完不同螞部分忽的節(jié)涌點(diǎn)間遙距采梁用不菌同尺味寸，腿即Δx賀≠Δ栽y≠止Δz種，或登Δx板1≠攏Δx稍2≠損Δx晚3在溫搏度梯德度變列化陡偏峭的圍部位澤或方咱向，絕節(jié)點(diǎn)鞏間距嗽小一產(chǎn)些；臣在溫兆度梯加度變郊化平易緩的沫部位河或方謎向，樂節(jié)點(diǎn)取間距博大一呢些。睡這種源剖分獨(dú)法不些論是蜻節(jié)點(diǎn)巡壽（單茂元）律特征湖描述罪，節(jié)叼點(diǎn)方償程形剪式還例是程撲序結(jié)糧構(gòu)都愛要比縮慧前一誤種剖膛分方轎法略棵微復(fù)筋雜一狡些，叢但節(jié)員點(diǎn)數(shù)嘗目減隆少，漏從而漁計(jì)算雨速度育加快叫。a)蛇等間育距直隨交剖度分暗b甩)不頃等間駱距直續(xù)交剖套分圖3逃