高中數(shù)學(xué)-橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)學(xué)情分析教材分析課后反思

教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)：1．知識(shí)與技能目標(biāo)：①理解橢圓的定義②掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，在化簡(jiǎn)橢圓方程的過(guò)程中提高學(xué)生的運(yùn)算能力2．過(guò)程與方法目標(biāo)：①經(jīng)歷橢圓概念的產(chǎn)生過(guò)程，學(xué)習(xí)從具體實(shí)例中提煉數(shù)學(xué)概念的方法，由形象到抽象，從具體到一般，掌握數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高學(xué)生的歸納概括能力②學(xué)會(huì)用坐標(biāo)化的方法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程——解析法③對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生具有利用數(shù)學(xué)思想方法分析和解決問(wèn)題的意識(shí)3．情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)：①充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生活動(dòng)、觀察、思考、合作、探究、歸納、交流、反思，促進(jìn)形成研究氛圍和合作意識(shí)②重視知識(shí)的形成過(guò)程教學(xué)，讓學(xué)生知其然并知其所以然，通過(guò)學(xué)習(xí)新知識(shí)體會(huì)到前人探索的艱辛過(guò)程與創(chuàng)新的樂(lè)趣③通過(guò)對(duì)橢圓定義的嚴(yán)密化，培養(yǎng)學(xué)生形成扎實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)④通過(guò)經(jīng)歷橢圓方程的化簡(jiǎn),增強(qiáng)學(xué)生戰(zhàn)勝困難的意志品質(zhì)并體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美⑤利用橢圓知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性和知識(shí)的力量，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心重、難點(diǎn)重點(diǎn)：橢圓的定義、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、坐標(biāo)化的基本思想難點(diǎn)：（1）標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。（2）橢圓定義中常數(shù)加以限制的原因。關(guān)鍵：含有兩個(gè)根式的等式化簡(jiǎn)教法新課程倡導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，要求教師成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者、合作者和促進(jìn)者，使教學(xué)過(guò)程成為師生交流、積極互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程．本節(jié)課采用讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流及教師啟發(fā)引導(dǎo)的教學(xué)方法，按照“創(chuàng)設(shè)情境——學(xué)生活動(dòng)——意義建構(gòu)——數(shù)學(xué)理論——數(shù)學(xué)應(yīng)用——回顧反思——鞏固提高”的程序設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，并以多媒體手段輔助教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷實(shí)踐、觀察、猜想、論證、交流、反思等理性思維的基本過(guò)程，切實(shí)改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人．五．學(xué)法遵循以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，發(fā)展為主旨的現(xiàn)代教育原則。采用了以問(wèn)題的提出、問(wèn)題的解決為主線，始終在學(xué)生知識(shí)的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)置問(wèn)題；以學(xué)生主動(dòng)探索、積極參與、共同交流與協(xié)作為主體，于問(wèn)題的分析和解決中實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)和發(fā)展。教學(xué)程序教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖（一）創(chuàng)設(shè)情境認(rèn)識(shí)橢圓由太陽(yáng)系各大行星運(yùn)行系統(tǒng)動(dòng)畫影片切入，逐漸構(gòu)納出地球的運(yùn)行軌跡，初步給出橢圓的表面映象認(rèn)識(shí)。此時(shí)充分借助多媒體強(qiáng)大播放功能形象生動(dòng)地演示各行星的運(yùn)行軌跡，再重點(diǎn)突出地球的運(yùn)行軌跡。這樣有助于吸引學(xué)生的注意力。然后再借助圖片展示木衛(wèi)星的橢圓形光環(huán)，茶杯杯口的橢圓形立體視覺(jué)效果圖，進(jìn)一步加深對(duì)橢圓的表面映象認(rèn)識(shí)。讓學(xué)生對(duì)橢圓有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，藉此產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣及學(xué)習(xí)橢圓的必要性。（二）意義建構(gòu)橢

圓

的

定

義實(shí)際生活中這樣的圖形很多，如何用現(xiàn)有的工具畫出圖形？誰(shuí)能畫出最漂亮、最完美的的一個(gè)橢圓呢？教師與學(xué)生一起找出上述問(wèn)題的解決方案，并一同用給的工具畫出圖形，與上述圖形相似——橢圓。學(xué)生分組試驗(yàn):(1)取一條細(xì)繩；(2)把細(xì)繩的兩端用圖釘固定在板上的兩點(diǎn)、；(3)用鉛筆尖（）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移動(dòng)觀察畫出的圖形是什么？（教師巡視指導(dǎo)，展示學(xué)生成果）問(wèn)：哪些量是固定的、不變的？哪些量是變化的？[學(xué)生討論、作答]問(wèn)：橢圓如何定義？[學(xué)生討論、作答]形成概念：到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。問(wèn)：要想用上面那句話作為橢圓的定義，要保證它足夠嚴(yán)密、經(jīng)得起推敲．那么，這個(gè)常數(shù)可以是任意正實(shí)數(shù)嗎？有什么限制條件嗎？引導(dǎo)學(xué)生回答：點(diǎn)的距離小于繩子的長(zhǎng)即，從而意識(shí)到在“定義”中需要加上“常數(shù)>”的限制．深化問(wèn)題：若常數(shù)=或常數(shù)<,情況會(huì)發(fā)生什么變化？（學(xué)生繼續(xù)分組討論，請(qǐng)出代表說(shuō)討論的結(jié)果）引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用平面幾何中的“三角形任意兩邊之和大于第三邊”、“兩點(diǎn)之間線段最短”為理論依據(jù)。設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，一來(lái)是為了給學(xué)生一個(gè)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生體會(huì)橢圓上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；二是通過(guò)實(shí)踐思考，為進(jìn)一步上升到理論做準(zhǔn)備

注重概念形成過(guò)程，通過(guò)讓學(xué)生親自動(dòng)手，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、概括能力。通過(guò)學(xué)生觀察、思考、討論，概括出橢圓的定義，讓學(xué)生全程參與概念的探究過(guò)程，加深理解，提高概括能力和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)能力.

進(jìn)一步強(qiáng)化橢圓定義，真正使學(xué)生理解定義的內(nèi)涵和外延。(三)

數(shù)

學(xué)

理

論

橢圓定義的完善完善定義：到平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)。間的距離稱為焦距。當(dāng)常數(shù)=時(shí)，與兩個(gè)定點(diǎn)

的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)常數(shù)<時(shí)，與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡不存在．加深對(duì)橢圓本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)橢

圓

的

標(biāo)

準(zhǔn)

方

程(1)回顧用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、寫出動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何限制條件、代坐標(biāo)化、化簡(jiǎn)、證明等價(jià)性。簡(jiǎn)記：建設(shè)限代化（2)推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程①建系設(shè)點(diǎn)：觀察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡(jiǎn)潔？——利用橢圓的對(duì)稱性特征方案1以兩定點(diǎn)的連線為X軸其垂直平分線為Y軸

方案2以兩定點(diǎn)的連線為Y軸，其垂直平分線為X軸

以方案1為例推導(dǎo)：以直線為軸，以線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)焦距為

，則．設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為．②動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何約束條件:

③坐標(biāo)化：

④化簡(jiǎn)：化簡(jiǎn)橢圓方程是本節(jié)課的難點(diǎn)，突破難點(diǎn)的方法是引導(dǎo)學(xué)生思考如何去根號(hào)移項(xiàng)后兩次平方法化簡(jiǎn)得

設(shè)，(為什么要取平方？)[學(xué)生思考，問(wèn)題由老師來(lái)回答]方程簡(jiǎn)化為：

(3)建立焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)：要建立焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，又不想重復(fù)上述繁瑣的化簡(jiǎn)過(guò)程，如何去做？此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生要借助于化歸思想，抓住圖(1)與圖(2)的聯(lián)系即可化未知為已知，將已知的焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化為焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．只需將圖(1)沿直線翻折或?qū)D(1)繞著原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)即可轉(zhuǎn)化成圖(2)，需將軸、軸的名稱換為軸、軸或軸、軸．焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(4)辨析焦點(diǎn)分別在軸、軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點(diǎn)（學(xué)生分組討論，個(gè)別發(fā)言）區(qū)別：要判斷焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，只需比較與項(xiàng)分母的大小即可．若項(xiàng)分母大，則焦點(diǎn)在軸上；若項(xiàng)分母大，則焦點(diǎn)在軸上．反之亦然．聯(lián)系：①它們都是二元二次方程，共同形式為

②兩種情況中都有

進(jìn)一步熟悉用坐標(biāo)法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法

掌握化簡(jiǎn)含根號(hào)等式的方法，提高運(yùn)算能力，養(yǎng)成不怕困難的鉆研精神

感受數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美

體會(huì)數(shù)學(xué)中的化歸思想，化未知為已知，避免重復(fù)勞動(dòng)

通過(guò)對(duì)比總結(jié)，強(qiáng)化不同類型的方程的異同，從而深化學(xué)生對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解。抓住數(shù)學(xué)形式的一致性，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)。

（四）

數(shù)

學(xué)

應(yīng)

用

橢

圓

定義

與

標(biāo)

準(zhǔn)

方

程

的

簡(jiǎn)

單

應(yīng)

用

例1：判斷分別滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是否為橢圓（1）到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡；（是）（2）到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡；（不是）（3）到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡；（是）

例2：判斷焦點(diǎn)的位置并求其坐標(biāo)：（1）

（2）

（3）

例3：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1（－3，0）、

F2（3，0），橢圓上任一點(diǎn)到F1、F2的距離之和為8，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。（2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，－2）、（0，2），并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)。

變式一：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，橢圓上一點(diǎn)M到的距離之和為4，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．變式二：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

鞏固橢圓定義

掌握兩種類型的橢圓方程的異同和根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置的方法。

提醒學(xué)生在解題時(shí)先要根據(jù)焦點(diǎn)位置判斷使用哪種形式的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程掌握待定系數(shù)法在求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的應(yīng)用，深化a、b、c

的關(guān)系。充分讓學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦。及時(shí)反饋，強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)。

進(jìn)一步強(qiáng)化橢圓的概念(五)回顧反思深化橢圓的概念與標(biāo)準(zhǔn)方程1．知識(shí)點(diǎn)：橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程2．?dāng)?shù)學(xué)方法：用坐標(biāo)化的方法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程3．?dāng)?shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想通過(guò)小結(jié)，使學(xué)生理清這節(jié)課的重難點(diǎn)。（六）課后作業(yè)鞏固提高1．必做題：課本49頁(yè)習(xí)題2．2A組2，5(1)(2)，6，92．思考題：動(dòng)圓與定圓

相內(nèi)切且過(guò)定圓內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)A（0，-2）．求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．3.實(shí)驗(yàn)操作題：折紙游戲（準(zhǔn)備圓形紙片）請(qǐng)按如下步驟進(jìn)行操作：1．將圓心記作點(diǎn)，然后在圓內(nèi)任取一定點(diǎn)2．在圓周上任取10個(gè)點(diǎn)，分別記作，將它們與圓心相連，得半徑3．折疊圓形紙片，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，將折痕與半徑的交點(diǎn)記作；然后再次折疊圓形紙片，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，將折痕與半徑的交點(diǎn)記作；……；依此類推，最后折疊圓形紙片，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，將折痕與半徑的交點(diǎn)記作4．用平滑曲線順次連接點(diǎn)，你有何發(fā)現(xiàn)？5.請(qǐng)對(duì)你的猜想進(jìn)行證明。

進(jìn)一步完善教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

再次探究橢圓的形成，加深對(duì)概念的理解，比較幾何法與代數(shù)法的優(yōu)劣點(diǎn)。學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本節(jié)課前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與圓的方程，對(duì)曲線和方程的思想方法有了一些了解和運(yùn)用的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題也有了初步的認(rèn)識(shí)，因此，學(xué)生已經(jīng)具備探究有關(guān)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題的知識(shí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力，但由于學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何時(shí)間還不長(zhǎng)、學(xué)習(xí)程度也較淺，并且還受到高二這一年齡段學(xué)習(xí)心理和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的影響，在學(xué)習(xí)過(guò)程中難免會(huì)有些困難．如：由于學(xué)生對(duì)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題掌握還不夠，因此從研究圓到橢圓，學(xué)生思維上會(huì)存在障礙．

效果分析本節(jié)課學(xué)生在自覺(jué)進(jìn)入問(wèn)題情境后，通過(guò)實(shí)踐、探索、引導(dǎo)等活動(dòng)開展，親身經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程。開放的課堂環(huán)境給予學(xué)生充分展示的自由空間，真正體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，使學(xué)生在知識(shí)的形成過(guò)程中，獲得數(shù)學(xué)的情感體驗(yàn)，享受到成功的樂(lè)趣，同時(shí)在思想方法運(yùn)用、思維能力等方面得到提高和發(fā)展。教師不多的發(fā)言也注重分析思維過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)科學(xué)的思維規(guī)律。通過(guò)課上當(dāng)堂檢測(cè)的反饋結(jié)果來(lái)看，全班的正答率在80%以上，說(shuō)明掌握的比較理想。教材分析教材選自人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》數(shù)學(xué)選修2-1.《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》是繼學(xué)習(xí)圓以后運(yùn)用“曲線與方程”思想解決二次曲線問(wèn)題的又一實(shí)例。橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是圓錐曲線方程研究的基礎(chǔ)，它的學(xué)習(xí)方法對(duì)整個(gè)這一章具有導(dǎo)向和引領(lǐng)作用。一方面，它是對(duì)前面所學(xué)的運(yùn)用“代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題”的又一次實(shí)際演練，同時(shí)它也是進(jìn)一步研究橢圓幾何性質(zhì)和雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)；另一方面，教科書以橢圓作為學(xué)習(xí)圓錐曲線的開始和重點(diǎn)，并依此來(lái)介紹求圓錐曲線方程和利用方程討論幾何性質(zhì)的一般方法，為我們后面研究雙曲線、拋物線這兩種圓錐曲線提供了基本模式和方法。因此本節(jié)課有承前啟后的作用，是本章和本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容。橢圓是通過(guò)描述橢圓形成過(guò)程進(jìn)行定義的，作為橢圓本質(zhì)屬性的揭示和橢圓方程建立的基石，這是本節(jié)課的一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)；而坐標(biāo)法是解析幾何中的重要數(shù)學(xué)方法，橢圓方程的推導(dǎo)是利用坐標(biāo)法求曲線方程的很好應(yīng)用實(shí)例，讓學(xué)生親身經(jīng)歷橢圓概念形成的數(shù)學(xué)化過(guò)程，并通過(guò)探究得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象概括的能力。評(píng)測(cè)練習(xí)在橢圓中，，，焦點(diǎn)位于軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，在橢圓中，，，焦點(diǎn)位于軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6，則點(diǎn)到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離是方程表示曲線試著寫出它的標(biāo)準(zhǔn)方程課后反思圍繞鞏固知識(shí)、發(fā)展能力的目標(biāo)選擇布置書面作業(yè)和思考題，再