滬教版八年級數學秋季班第2講二次根式的運算教師版

(L匚1二次根式的運算

內容分析

本節(jié)主要講解的內容包括兩大部分,第一是最簡二次根式和同類二次根式的

區(qū)分與化簡,難點在化簡二次根式與利用同類二次根式的性質進行求解綜合題目

上;第二是二次根式的四則運算,難點是合并同類項及乘除運算的時候符號問

題.這節(jié)內容是二次根式的重點與難點.

知識結構

模塊ー:最簡二次根式與同類二次根式

⑥)知識精講

ハ最簡二次根式的概念:

(1)被開方數中各因式的指數都為1;(2)被開方數不含分母.

被開方數同時符合上述兩個條件的二次根式,叫做最簡二次根式.

2、同類二次根式的概念:

幾個二次根式化成最簡二次根式后,如果被開方數相同,那么這幾個二次根式叫做同類二次

根式.

例題解析

【例1】判斷下列二次根式是不是最簡二次根式:

8a

（1）＞/し5^;（2）J&J+從;（3）&-護!(4)

【難度】★

（1）不是;（2）是;（3）不是;（4）不是.

（1）被開方數中各因式的指數都為1;（2）被開方數不含分母.

同時符合上述兩個條件的二次根式,叫做最簡二次根式,

所以（2）是最簡二次根式.

【總結】本題考查了最簡二次根式的概念.

【例2】將下列二次根式化成最簡二次根式:_____

(1)五;(2)ノ;ス3ザは30)；

(3)4%3y2(y>0)；(4)^4x2-4xy+ザ(2ス?y).

【難度】★

(1)2病;(2)與伝;⑶-2xyロ;(4)2x-y.

(1)S2〃=2\/3a；

⑵J；“'=；

(3)，-4ピy2=-2め，，-x；

(4)y/4x2-4xy+ザ=,(2x一才=2x-y.

【總結】本題主要考查利用二次根式的性質進行化簡.

【例3】化簡:

x+3

(3)(xv4).

x2-x-12

【難度】★

(1)——.(7)Vx-4.

b's

(2)

Ix+3Ix+3I-1VT，4-x

〇在一ハ］2ー朮x—4)(x+3廣］x—4一五ー4=4—x'

【總結】本題主要考查利用二次根式的性質進行化簡.

【例4】判斷下列二次根式是否為同類二次根式.

⑴g提和56；（2）石和尚:

/ハ尿+れエロ!m-n/ハ、

（3）伍和，2a2；(4)J-------和，-----(m>H>0).

Vm-nV/n+n

【難度】★

（1）不是;（2）不是;（3）不是;（4）是.

（3）...伝r=±夜.?.伝和而?不是同類二次根式;

二J竺三和ヽドア是同類二次根式.

【總結】本題主要考查同類二次根式的概念,先化簡再判斷.

【例5】將下列二次根式化成最簡二次根式:

(1)3xJ一=(x<0,"〇);

VZia汨

【難度】★★

,、、E回ハ、［4ハZ?+2/……(a>0),ハ/ry—7

(1)—,；(2)\'；(3)aby/a3+bi.

3ab［-4a>Ja2+2b2……(a<0)

0-xIx"36x2y/3b

(1)原式=5而河夜=赤拓=式デ;

（バ。）

⑵原式二師2呼L応萬

.（"〇）’

⑶びガ恬+滔=。出后市=あが+投

【總結】本題主要考查利用二次根式的性質進行化簡,注意被開方數的各因式的符號.

【例6】將下列根號外的因式移到根號里面:

(1)~\1~~("0);(2)(%-y).-----7(x<y<0)；

nv24mい“-y

(3)へ/--マ;(4)(a-1).1-----.

Va~Na-1

【難度】★★

(I)-^―；(2)ー胖三⑶-G；⑷…

24mn

（1）原式“后;⑵原式F號、屮ユ跺び

(3)V-(a-l)>0,.?.。くー1,?,?原式=］」"；"=ーノー”1;

(4)(a-1)

【總結】本題主要考查利用二次根式的性質進行變形,注意移入的數必須是非負數.

【例7】若4j2x+y和,…而是同類二次根式,求x和y的值.

【難度】★★

x=5,y=2.

x=5

由題意得:

y=2

【總結】本題主要考查最簡二次根式和同類二次根式的概念,然后根據題意列出方程組并求

解.

【例8】已知x+G-1=2,求わG-1的值.

【難度】★★

>Jx2-1=2-x>X2-l=4-4x+x2,即4x=5,X=—

4

【總結】本題主要考查二次根式的化簡求值.

【例9】分別求出滿足下列條件的字母a的取值:

(1)若最簡二次根式瓦與一次是同類二次根式;

(2)若二次根式圖與一返是同類二次根式.

【難度】★★

(1)a=—；(2)a=—rr.

(1)?:ー瓜=-2近,：.3a=2,?'?〃=§；

(2)-78=-2>/2，；.3。=2ガ(〃為正整數)，：.a=^n2.

【總結】本題考查了二次根式的化簡以及最簡二次根式的概念.

【例10】將下列式子化成最簡二次根式:

(1)J(x-丄y+4+J(x+丄)2-4(1<x<4)；

(2)x=4-2指,求《ーI一的值.

【難度】★★★

(1)2x；(2)

3

（1）原式==x+—+x——=2x；

XX

（2）原式=

Vx=4-2>j3.x-l=3-2>/3<0.

正パ回ザ陳ー1）（2ぶ+3）3+石

.??原式=

一2百一3（26-3）（26+3）3

【總結】本題主要考查利用二次根式的性質進行化筒,注意被開方數的各因式的符號.

【例11】將下列式子化成最簡二次根式:

若…，為實數,且ア際+吋+；,求心+2+;62+ラ的值-

【難度】★★★

瓦

由題意得:x=；；y=g.

.../+2+たーロー2+工=廣+2孫+アドー-2め，+ジ

\yxV)'x7xyVxy

丄

x+yy-x2x2r-

―aJxy，而ーq-0

【總結】本題主要考查利用二次根式的性質進行化筒,注意被開方數的各因式的符號.

【例12】已知等式だ-6x+9+a-3）2=0成立,求X的值.

X-3

【難度】★★★

x=2.

由題意得:X-3HO,當x—3>0時，1+(X-3)2=0,不存在,應舍去.

當x-3<0時,-l+(x-3)2=0,x-3=1或x-3=T,；.x=4或r=2.

Xx<3,Ax=2.

綜上得x=2.

【總結】本題綜合性較強,主要考查利用二次根式的性質進行化簡,注意被開方數的各因式

的符號.

【例13】化簡:,5+2疾-《4-712.

【難度】★★★

&+1.

原式=6+夜-厶ー2K=G+0-(G-l)=&+l.

【總結】本題綜合性較強,主要考查利用二次根式的性質化簡復合二次根式,注意相應方法

的歸納總結.

ヽ

師生總結

1、滿足最簡二次根式的條件是什么?

2、滿足同類二次根式的條件是什么?

ノ

模塊二:二次根式的運算

知識精講

1、二次根式的加減運算:

把二次根式化簡為最簡二次根式,再合并同類項(加或者減).

2、二次根式的乘除運算:

(1)兩個二次根式相乘,被開方數相乘,根指數不變;

(2)兩個二次根式相除,被開方數相除，根指數不變.

【難度】★

0.

原式=&+1-1+夜ー2忘=0.

【總結】本題主要考查二次根式的加減運算，注意先化簡后合并.

【例15】化簡:

【難度】★

(1)3a\[a+(￠7-2)\fab；(2)-x\/x.

(1)原式=--x3yfa+6<2x-——--bx----+a2x--

3aba

-2a\[a+67ab-2\[ab+a\fa

=3a\[a+ab;

(2)原式二丄xx2vx+6xx正——

23x

x4x+2x7x一4x\/x

=-Xyjx?

【總結】本題主要考查二次根式的加減運算,注意先化簡后合并.

【例16】化簡:

⑴g^/^x/匠;(2)居紐7^76后"；

(3)-7^?(-4ab)-

b2

【難度】★

(1)世夜;(2)I；(3)-3ab2.

(1)原式,J璽』上夜；

2Va2

,へ、ミ32\/6x1,/712尤x6A/X8

(2)原式ニーーx----廣x6x{6=-----=-；

33x5X4X45尤?5

(3)原式=2/7而x、坐上多迦=_3加.

【總結】本題主要考查利用二次根式的性質進行化簡,注意被開方數的的符號.

【例17】已知ス+y=-5,肛=4求{乙+ノ丄的值.

【難度】★★

5

~2.

X\/^+yy孫(x+y卜り-5X2___5

xyxy42

【總結】本題主要考查二次根式的化簡,綜合性較強,要注意判斷小y兩數的符號,然后

利用整體代入的思想求值.

【例18】化簡;2〃戸?相房豆丄瓦,〇,b>0).

b聆少23Va

【難度】★★

-9a2b\fab.

ab

--9a2b4ab-

【總結】本題主要考查利用二次根式的性質進行化簡,注意被開方數的的符號.

【難度】★★

m+2n+\

-------x(y>0)

(1)7G:(2)

加+2〃ー1/ハ、

——I——x(y<0)

(1)原式=2，-x+3\[—x+2，-x=7yj-x；

rrr―—J—x(yNO)

(2)原式=nx+(’〃ー")&x—+t=|.

3x>'m+2n-\,ハ

1——-——x(y<0)

【總結】本題主要考查利用二次根式的性質進行化簡,注意被開方數的的符號.

【例20]已知長方形的長4=;后,B=；M,

(1)求該長方形的周長;

(2)若另ー個正方形,其面積與該長方形面積相等,試計算該正方形的周長.

【難度】★★

（1）672；（2）8.

(1)C=2(A++2y=;

(2)5K=2x/2xV2=4,

...正邊形的邊長為2,

...周長為8.

【總結】本題主要考查二次根式的運算以及求值.

【例21]計算:吸+處?（メーノ廠）?巫.

\/a+yjh\Jab-h-Ja+\Jbci-b

【難度】★★

2y[ab?

（

4ab\[a-\[b^\[ba4b+b\/a1x-

原式二

&+揚ー枇）y[a-￥\[b\[a+\[bb

\[ab\[ab]メ（。ー"）栃

\[a-\[b\[a+\[b）h

4ab（y[a+^b-4a+\!b^（4ーb）6

a-bb

=2\[ab.

【總結】本題主要考查二次根式的混合運算,注意先化簡后合并,注意方法的選擇.

【例22】解下列不等式

(1)V12x+748>，27x+百;(2)2石一舊<曬x.

【難度】★★

(1)x<3；(2)x>-.

(1)：2區(qū)ー3&x>G_4G,二一瓜>-3后，-x<3；

(2)解:；2后一塊x<2屆,：.2耳〈?ぎ1,：.x>y.

556

【總結】本題主要考查利用二次根式的性質求解不等式.

【例23】化簡求值:(號叵譽+下與)?エ*

其中x2+6，y=2->/3.

,x+Jyy/X-yjyyjx

【難度】★★★

73+1

2,

.(4+け)：Vx+771立_(&+yy)(x-y+D6_x+而

■Jx+y/yx-yx-v+1x-yx-y+1x-y

把X=2+6,y=2-6代入,得:原式=正土!.

【總結】本題主要考查了二次根式的化簡和分母有理化.

【例24】若等式V(3x+1)(2-x)={3x+1?，2x成立,

化簡:\x-4|+也￡+6x+1+\x-2|.

【難度】★★★

7+x.

f3x+l>01

由題意得:L、ハ,解得:--<x<2.

[2-x>03

???原式二|スー4|+|3x+リ+,ー2|=4-x+3x+I+2-x=7+%.

【總結】本題主要考查二次根式的概念、化簡以及求值.

【例25】當ス=いが亜時,求多項式(4ピー1997工ー1994)的的值

【難度】★★★

-1

VX=1+、994,...(2x+1)2=1994.

.??原式=[(4x?-4x-1993)x+(4x2-4x-1995)-

=(-1)2001

【總結】本題綜合性較強,一方面考查了二次根式的化簡求值運算,另一方面考查了利用將

次思想以及整體代入思想進行求值.

隨堂檢測

【習題1】下列各式中,最簡二次根式的個數有（）

\/し2；yjxy2:ylm2-rT:ら-;ヾデ-10x+25:s/6x.

A.0個B.1個C.2個D.3個

【難度】★

D.

>/し2；\jxy2；y/x2-1Ox+25;不是最簡二次根式;，才一ガ;；>/6x是

最簡二次根式.

【總結】本題考查了最簡二次根式的概念.

【習題2】下列二次根式中,與逃不是同類二次根式的為（）

【難度】★

A.

底咚;舟キ畫=2有:底凜,故選A.

【總結】本題考查同類二次根式的概念.

【習題3】下列化簡錯誤的是（）

B.Vo.or0.49=40.0IX，0.49=0.1X0.7=0.07

人身魯當

c.

【難度】★

D.

CT./50_572

屮k標ー〒?

【總結】本題主要考查利用二次根式的性質進行化簡.

【習題4】若最簡根式"?知2a+5わ-7和&+3b是同類二次根式,求a+わ的值的平方根.

【難度】★

±2夜.

“+76=2a=9

由題意得:解得:

2。+50ー7=。+3bh=-\'

4+潮平方根土応=12そ-

【總結】本題主要考查最簡二次根式和同類二次根式的概念,然后根據題意列方程并求解.

【習題5】合并下列各式中的同類二次根式并計算:

(1)(4舊-4x/3)-2石+小:(2)2526+炳;

3

(3)8y/x-(丄オ8*+，2ギ)；(4)40ぴ-6000+5標.

2

【難度】★

(1)4石一4口;(2)6+1x/3；(3)86」ユ+”岳;(4)404一5布.

(1)原式=4石一4G-2け+26=4石一45

(4)原式=40后一10，10+5，10=40石一5加?

【習題6】比較大小:

(1)-3ホ與一2舊;(2)指+夜與否+道;

(3)三上與歷;(4)Vis-71^與714-713.

【難度】★★

（1）-3石<-2而;（2）后+近Vお+G；

（3）^^之而;（4）V15-Vi4<Vi4-Vi3.

（1）平方法:（2）平方法;（3）作差法;（4）倒數法.

【總結】本題主要考查了二次根式的比較大小.

【習題7】將下列二次根式化成最簡二次根式;

(1)\l(x2?ザ)(y+x)(x吵y0)；

(2)(m>2n>0)；

x

⑶/ハ~ホyr/Fザ+ザ”ザ…?

【難度】★★

(1)(ス+y)厶ーV;(2)也^——エ;(3)-xyjx^y+xy2.

(1)^(x2-y2)(>'+x)=(x+y^x-y；

/ク、Im—2n_ylm2-4H2

Vm+2〃m+2n

（3）原式=コx，=qX雙き+嘆=.

yV（イ-y）yレス

【總結】本題主要考查利用二次根式的性質進行化筒,注意被開方數的的符號.

【習題8】計算:

(1)--(30-26)(30+2回(2)—^=?栃

2a-\]abJa+x/h

【難度】★★

a+b

（1）-4+73;（2）

a-b

(1)原式=セ衿ー(18-12)=2+パー6=イ+百;

筋わ（厶+6）y/b^y/a->Jb^

(2)原式二7ポ詞

yfu+y/b—

a-b4a+4b

_a+\[ab-7ab+b_a+b

aba-b

【總結】本題主要考查了二次根式的加減運算和分母有理化.

【習題9】已知ス=漁1タ,y=タが,求代數式3ペ一5り+3ザ的值.

V3+V2'V3-V2

【難度】★★

289.

由已知得:x=5-2屈，y=5+2#,Ax+y=10.り=1.

3ゼー5孫+3ザ=3(ゼ+ブ)-5孫=31(x+)ザー2孫］-5り=3x98-5=289.

【總結】本題主要考查了分母有理化和完全平方公式的變形.

【習題10］解下列不等式:

(1)2x+^|>4x-A；(2)2x+后<5x+夜.

【難度】★★

(1)x<—;(2)x>竝.

(1)原不等式可化為：2x+好>4x一好,即ー2x>ー述,〈述;

(2)原不等式可化為:—3x<-30，，x>亞.

【總結】本題主要考查利用二次根式的性質求解不等式.

【習題11】把(a-b),r丄化成最簡二次根式.

\a-b

【難度】★★★

-\Jb-a?

'?!—>0,a-b<0.原式=(a-》)x?『ー=~~—--------=-4b-a.

a-by/b-ab-a

【總結】本題主要考查利用二次根式的性質進行化簡,注意被開方數的的符號.

【習題12]已知y=Jl-8x+J8x-1+丄,求代數式ムム2ー廬+エ2的值.

yxyyx

【難度】★★★

..--2x-

把イ=g,び=ス代入,得:-7==—p-=1?

82yjxy丄

4

【總結】本題主要考查二次根式的概念、化簡以及求值.

ガ+Q-2ai！?的值?

【習題13】已知。是4ース的小數部分,求代數式

フ+4。+4a2+2a

【難度】★★★

-43.

,4i<43<4^，,,1<4^<2，,?—2<—>/s<—1>

A2<4-V3<3l,a=4-V5-2=2ー6.

(a+2)(a-1)?aa2-4

.,.原式=x-------------------1-----------▼=73

(a+2『a(a+2)a。+2a+2

【總結】本題主要考查無理數的小數部分的表示以及整體思想的運用.

課后作業(yè)

【作一業(yè)1】下列二次根式中是最簡二次根式的是（)

A.Vo7B.屈C.FD.y/a2+b2

【難度】★

D.

VO.6=—\/15；y/Sa=2\[2a;——＞故選D.

【總結】本題考查最簡二次根式的概念.

【作業(yè)2】把代數式（か1）/丄根號外的因式移入根號內,結果為_______

VX-1

【難度】★

-\l\-x?

（ゝ-リJわノーヨーリ\-E-

【總結】本題主要考查利用二次根式的性質進行變形,注意移入的數必須是非負數.

【作業(yè)3】若。＜0,わ＞0,計算正確的個數是（）

4b巨；

（1）A/-al\[bV-ub.（2）E

b

1[4ノ2ab_

（3）2a?屈-2y/2ab；（4）a

,U2

A.1個B.2個C.3個D.4個

【難度】★

B.

（1）正確;（2）正確;（3）錯誤;（4）錯誤.

【總結】本題考查二次根式的性質和有意義的條件.

【作業(yè)4】二次根式上互（〃く0）化簡后的結果為（

）

a

A.ヾ-aB.-C.-aD.\[a

【難度】★★

c.

J-が-ay/-aI—

-----=-------=?、/?〃.

【總結】本題主要考查利用二次根式的性質進行化簡,注意被開方數的的符號.

【作業(yè)5】若ン布與是同類二次根式,求メ的值.

【難度】★★

丄

2.

。ー2=2

1-ab=4i=-V=-

由題意得:1,解得:く6=ー丄,-42,

-b+-=5

a224-

【總結】本題主要考查最簡二次根式和同類二次根式的概念,然后根據題意列方程并求解.

【作業(yè)6】計算:

2#(遙ー36+夜-24)；

(1)

(2)(>]x+y+\/2x)2+(^/2(x+y)-\fx)2.

【難度】★★

(1)12-18夜+2。⑵6x+3y.

(1)原式=12—18\/2+4^3—25/6x2x=12—18^2+2^^:

4

(2)原式=x+y+2x+2"x(x+y)+2x+2y+x-2J2x(x+y)=6x+3y.

【總結】本題主要考查了二次根式的混合運算.

【作業(yè)7】化簡并計算: