巧用數(shù)學(xué)思想來解與二次函數(shù)有關(guān)的問題

巧用數(shù)學(xué)思想來解與二次函數(shù)有關(guān)的問題本節(jié)主要來介紹下巧用數(shù)學(xué)思想來解與二次函數(shù)有關(guān)的問題.一、數(shù)形結(jié)合思想【例題1】如圖，已知二次函數(shù)y1=﹣x2+13/4x+c的圖象與x軸的一個交點(diǎn)為A（4，0），與y軸的交點(diǎn)為B，過A、B的直線為y2=kx+b．（1）求二次函數(shù)y1的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）由圖象寫出滿足y1＜y2的自變量x的取值范圍；（3）在兩坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，求出P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案與解析】解：（1）將A（4，0）代入y1，得﹣16+13+c=0．解得c=3，∴二次函數(shù)y1的解析式為y=﹣x2+13/4x+3，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；（2）由圖象得直線在拋物線上方的部分是x＜0或x＞4，∴x＜0或x＞4時，y1＜y2；（3）直線AB的解析式為y=﹣3/4x+3，AB的中點(diǎn)為（2，3/2）,AB的垂直平分線為y=4/3x﹣7/6,當(dāng)x=0時，y=﹣7/6，P1（0，﹣7/6），當(dāng)y=0時，x=9/4，P2（7/8，0），綜上所述：P1（0，﹣7/6），P2（7/8，0），使得△ABP是以AB為底邊的等腰三角形．【點(diǎn)評】本題考察了二次函數(shù)綜合題，（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）利用函數(shù)與不等式的關(guān)系求不等式的解集；（3）利用線段垂直平分線的性質(zhì)，利用直線AB得出AB的垂直平分線是解題關(guān)鍵．二、函數(shù)與方程思想【例題2】某體育用品店購進(jìn)一批單件為40元的球服，如果按單價60元銷售樣，那么一個月內(nèi)可售出240套，根據(jù)銷售經(jīng)驗(yàn)，提高銷售單價會導(dǎo)致銷售量的減少，即銷售單價每提高5元，銷售量相應(yīng)減少20套．設(shè)銷售單價為x（x≧60）元，銷售量為y套．（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單件為多少元時，月銷售額為14000元？（3）當(dāng)銷售單價為多少元時，才能在一個月內(nèi)獲得最大利潤？最大利潤是多少？【答案與解析】解：（1）銷售單價為x元，則銷售量減少1/5（x-60）×20，故銷售量為y=240﹣1/5（x-60）×20=﹣4x+480（x≥60）；（2）根據(jù)題意可得，x（﹣4x+480）=14000，解得x1=70，x2=50（不合題意舍去），故當(dāng)銷售價為70元時，月銷售額為14000元；（3）設(shè)一個月內(nèi)獲得的利潤為w元，根據(jù)題意得：w=（x﹣40）（﹣4x+480）=﹣4x2+640x﹣19200=﹣4（x﹣80）2+6400．當(dāng)x=80時，w的最大值為6400．故當(dāng)銷售單價為80元時，才能在一個月內(nèi)獲得最大利潤，最大利潤是6400元．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)建模思想方法，關(guān)鍵是對題意要正確理解.三、分類討論思想【例題3】若函數(shù)則當(dāng)函數(shù)值y＝8時，自變量x的值是()．A．±√6B．4C．±√6或4D．4或-√6【思路點(diǎn)撥】此題函數(shù)是以分段函數(shù)的形式給出的，當(dāng)y＝8時，求x的值時，注意分類討論.【答案】D；【解析】由題意知，當(dāng)x2+2=8時，x=±√6．而√6>2，∴x=-√6．x=√6(舍去)．當(dāng)2x＝8時，x＝4．綜合上知，選D．【點(diǎn)評】正確的分類必須是周全的，既不重復(fù)、也不遺漏．【例題4】已知拋物線C1：y＝ax2＋4x＋c與x軸交于M(－4，0)和N兩點(diǎn)，且拋物線過點(diǎn)A(－2，－4)．(1)求拋物線C1的表達(dá)式；(2)拋物線C2與拋物線C1關(guān)于直線x＝m(m≠－2)對稱，點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)為P，若△AMP是等腰三角形，求m的值及拋物線C2的表達(dá)式．【參考答案】解：(1)∵拋物線C1：y＝ax2＋4x＋c過點(diǎn)M(－4，0)和點(diǎn)A(－2，－4)，∴拋物線C1的表達(dá)式為y＝x2＋4x；(2)令x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－4，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0，0)．易得拋物線C1的對稱軸為直線x＝－2，且點(diǎn)A(－2，－4)為拋物線C1的頂點(diǎn)．若△AMP是等腰三角形，分為以下三種情況：如解圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，①當(dāng)AM＝AP1時，∵點(diǎn)M與點(diǎn)P1關(guān)于直線x＝－2對稱，∴直線x＝m與拋物線C1的對稱軸x＝－2重合，∵m≠－2，此時不符合題意，故舍去；②當(dāng)MP2＝AP2時，有(x＋4)2＝(x＋2)2＋16，解得x＝1，∴P2(1，0)，∴m＝1/2(－4＋1)＝－3/2.∴頂點(diǎn)A關(guān)于直線x＝－3/2對稱的點(diǎn)為A1(－1，－4)，∴拋物線C2的表達(dá)式為y＝(x＋1)2－4；③當(dāng)MP3＝AM，MP4＝AM時，有(x＋4)2＝2^2＋4^2，解得x＝－4±2√5，∴P3(－4－2√5，0)，P4(－4＋2√5，0)，∴m＝－4±√5，∴頂點(diǎn)A關(guān)于直線x＝－4＋√5，x＝－4－√5的對稱點(diǎn)分別為:A2(－6＋2√5，－4)，A3(－6－2√5，－4)，∴拋物線C2的表達(dá)式為y＝(x＋6－2√5)2－4或y