華東某大學(xué)課程與教學(xué)論專業(yè)全程攻略

目錄

第一部分:專業(yè)課復(fù)習(xí)方法

第二部分:專業(yè)課復(fù)習(xí)筆記ー數(shù)學(xué)分析筆記

第三部分:復(fù)試:筆試與口試

第四部分?jǐn)?shù)學(xué)分析導(dǎo)師講義

第一部分:專業(yè)課復(fù)習(xí)方法

華師大數(shù)學(xué)系的研究生入學(xué)考試初試有兩門數(shù)學(xué)專業(yè)課,《高等代數(shù)》與《數(shù)學(xué)分析》,

兩門課分值共300分（總分500分）,可見專業(yè)課的得分情況直接關(guān)系到考研成功與否,專

業(yè)課的復(fù)習(xí)是考研復(fù)習(xí)的重中之重。下面就自己的復(fù)習(xí)經(jīng)驗(yàn)提出ー些建議:

一、復(fù)習(xí)用書

1、華師大數(shù)學(xué)系教材:

《高等代數(shù)與解析幾何（上）》、《高等代數(shù)與解析幾何（下）》（陳志杰主編）；

《數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）》、《數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）》（華師大數(shù)學(xué)系編）。

2、教材輔導(dǎo)用書:

《高等代數(shù)與解析幾何習(xí)題精解》、《數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解（單變量部分）》、

《數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解（多變量部分）》

我認(rèn)為要考好兩門專業(yè)課,有這幾本書就足夠了。另外書中的解析幾何部分不會(huì)考，可

以不看;但看看還是有幫助的。

二、調(diào)整心態(tài)

在決定考研之后,就要調(diào)整好心態(tài)。既然選擇考數(shù)學(xué),就要相信自己,不管數(shù)學(xué)基礎(chǔ)怎么樣,

只要通過(guò)精心地復(fù)習(xí),就一定能達(dá)到預(yù)期效果。

三、復(fù)習(xí)過(guò)程

第一階段:打好基礎(chǔ)

1、時(shí)間安排:7月15之前的兩三個(gè)月或是更長(zhǎng),每天3小時(shí)左右。

2、主要任務(wù):看四本教材至少兩遍。著重理解書中的基本概念和定理，對(duì)一些重要概念的

定義、性質(zhì)和重要定理的證明過(guò)程要做到心中有數(shù),對(duì)公式做到會(huì)用，選做教材中的習(xí)

題。

3、預(yù)期效果：能想出大部分概念的定義和性質(zhì);能想出ー些重要定理的內(nèi)容和寫出其證明

過(guò)程:能默寫出重要公式。

第二階段：強(qiáng)化訓(xùn)練

1、時(shí)間安排:7月16日左右一11月15日左右,每天5小時(shí)左右。

2、主要任務(wù)：把教材和精解（指三本教材輔導(dǎo)用書,下同）結(jié)合起來(lái)復(fù)習(xí),著重理解、吃

透精解中的例題,學(xué)習(xí)其中的解題思路和方法。盡量做完課本中的習(xí)題和精解中的習(xí)題,

在做題中總結(jié)解題規(guī)律,找出自己薄弱的地方。

3、預(yù)期效果:不但能記住概念、定理和公式,而且能夠知道它們的來(lái)龍去脈,能夠獨(dú)立推

導(dǎo)，并很清楚它們的應(yīng)用范圍和基本的考察點(diǎn)。

第三階段:真題解答

1、時(shí)間安排:u月16日左右一12月31日左右,每天3小時(shí)左右。

2、主要任務(wù):做至少近十年的真題，兩門共二十套，把握命題規(guī)律。建議每?jī)商熳雯`套，

做時(shí)嚴(yán)格按考試的時(shí)間限定。做完后給自己評(píng)分,不會(huì)做的要去查找相關(guān)內(nèi)容,力求解

答。有條件的還可找來(lái)直升研究生考題做做,不過(guò)不要強(qiáng)求每道題都能解決，量力而行。

3、預(yù)期效果:看見一道題,就能知道它要考察哪些知識(shí)點(diǎn)，這些知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系如何,并就

此尋求解題思路,完成解答。

第四階段：查漏補(bǔ)缺

1、時(shí)間安排：1月1日左右一考前一天,每天3小時(shí)左右

2、主要任務(wù):重溫教材和精解，對(duì)之前沒解決的問題想辦法解決:重溫做過(guò)的真題,對(duì)之

前沒解決的題目想辦法解決。每天找?guī)椎李}做做。

3、預(yù)期效果:心中有底,從容面對(duì)即將來(lái)的考試。

四、復(fù)習(xí)中應(yīng)注意的地方

1、對(duì)基礎(chǔ)不好的同學(xué)而言,前期的復(fù)習(xí)可能面臨較大的困難,但定不可知難而退。解決的

辦法有很多，反復(fù)看教材或是請(qǐng)人指導(dǎo)都行。

2、不能盲目地做很多題?？偨Y(jié)解題的規(guī)律，把握解題思路和技巧オ是主要的。我的建議是:

會(huì)做精解習(xí)題（個(gè)別打星號(hào)的題除外）及真題就足夠了。

3、切忌復(fù)習(xí)前緊后松。有些（尤其是學(xué)過(guò)又學(xué)得好的）同學(xué)可能花三四個(gè)月時(shí)間就能把這

兩門專業(yè)課復(fù)習(xí)好,在臨近考試的ー兩個(gè)月時(shí)間就把絕大部分時(shí)間花在政治、英語(yǔ)的復(fù)

習(xí)上,專業(yè)課就不怎么看了，這勢(shì)必會(huì)造成一些知識(shí)點(diǎn)的模糊甚至忘記,考試時(shí)就會(huì)出

現(xiàn)“這個(gè)問題好像見過(guò)，但就想不起做題的思路”的情況。臨近考試前，不但要看專業(yè)

課,而且要天天做題,哪怕是做過(guò)的題，也要?jiǎng)邮蜘`做。

4、不可復(fù)習(xí)前松后緊。無(wú)論哪門數(shù)學(xué)都不是朝夕之間就能學(xué)好的。

五、送給考生的一句話

考研之路并不是想象中那么可怕,有付出就會(huì)有回報(bào)。

第二部分:專業(yè)課復(fù)習(xí)筆記

(一)數(shù)學(xué)分析筆記

第一講數(shù)列極限

概念、定義、定理

1.!im。0\/ど>0,ヨN>0,Vn>N,W.〃ーvど

｛々〃｝不以《為極限<=>ヨ￡〇>0,VN,ヨル>NM.k〃ーaN/

2.柯西定理:liman=a<^>>〇,ヨN>〇,V〃,加〉M|a〃ー?！↗<￡

n->oo

3.an<an+l,n=1,2,...,。〃くMnlim。,？=。

4.lim?！?。n3Myn\a\<M

5.lim?！?。>0=mN,n2N,。”>—>0

"T82

6.。,？>bn=>liman>limbn

H—>00/I—>00

l.an<cnくわ〃,lim。〃二limわ〃二。nlimcn二。

0,k>m

〇，"刀"’+。ワ-（）

8.lim1"+,??+a<—jn=k

ん〃"+%〃""??+%

n—>ooa

g,kくm

9.limVn=lim'y[a=l,a〉〇

10.1im(l+-)n=?

11.施篤茲定理:有X"｝,｛先｝,%"單增趨于無(wú)窮

若[imy"+1ノ"'anlim2二a

ん“+1人〃

判斷

1.lim/=a〇V￡〉〇,U(a,￡)中有x“的無(wú)限多項(xiàng)

2.a=supS=>ヨ{a〃}uS』!man-a

r

3.え”>0,limxtl=0=>limdx~-0

4.{x〃}有界不收斂=>ヨ/-^a,xnTb,aキb

5.{x“}收斂》limx2n=limx2n_x

6.S無(wú)界つヨ演eS,|x,J單增趨于無(wú)窮

7.limxn-0,V{ム}u(-oo,+oo),3{x?},limbkxn=0

8.supZk”ームT|?M<+8nは“}收斂

kn=l

9.{x"}收斂〇We>0,ヨN,V”>N,氏一x2?|<￡

答案:1,3錯(cuò)誤,其余都正確。

典型例題

X-X

1メ〃-x_-?〇,求證:亠----->0(n'〇〇)

n2n

1〉”ーシーI=卜"一居」一瓦ー1ーZー211Kk“-x?_2|-?o

Ve>〇,mN|,〃>N”レ“-x,-i|<￡;ヨ町れ〉N,—<￡

2n

rハハiX~Xn-\'("ーN])￡yへ

n>max{N],M},-n---—<------!—+―NiL<ど+￡=2ど

nnn

2./(x)〉0,在[0,1]上連續(xù),求!imJ

“一0cmnn

解:此題利用迫斂性。

令M=max/(x),物心"丄4《M"ナ丄=M

ス40,11、占〃〃，占〃

設(shè)M=f(x0),x0￠[0,1]

Ve>0,ヨざ>0,|無(wú)ーム|<3,/(x)>M—￡

口入“14MT1q.PoX

ヨN(—<b),〃>N,くー>1一￡,ヨ"〇,---x()<か

NVnIn

/(,)"丄-//(與“丄=ア也)くロ>(M-6：)(1-￡)

\/=1nnVnnn\n

-MsM+e2>M-E(M4-1)

3.求limsin2(>rv/22+〃ー勿?)

Zl->X

解:此題利用函數(shù)連續(xù)?生

原式=limsirr兀(イガ+〃ー〃)=limsinユ乃(/=---)

宀…Jガ十〃十〃

=limsin".(，——)=sin""一=1

J1+-+1

V〃

4.0<%<1,凡+]=ム(2ース),求lim%

n—>oo

解:4/(x)=x(2-x),xe(0,1]

f\x)=2-2x>0

m=/(0)=0,M=/?⑴=1

a,,=/(??_,)e(0,1),阻=2-a,>1n凡單增且?！?lt;1

a?

故!ima〃存在,設(shè)為A=>A=A(2-A)=>A=1

n—><x)

第二講函數(shù)極限

概念、定義、定理

1.lim/(x)=A0>0,ヨざ>0,Vx,0<|x-x0|<J,|/(x)-A|<￡

2.lim，(九)存在oVe>〇,ヨざ>0,Vx,x,0<x-x<5,0<x-x<8,

.rfx(/

\f(x)~f(x)\<￡

3.lim/(x)=AoWx〃—>+8,lim/(xM)=A

4.函數(shù)極限的局部有界性局部保號(hào)性、迫斂性保四則運(yùn)算。

5..f(x)單調(diào)=>limf(x)與!im/(x)都存在。

判斷

1.lim/(x)=A<=>Vxn—>x0,lim/(x〃)存在

2.lim/(x)=w0,limg(u)=A=>limg(/(x))=A

3.lim/(x)=A,VxG(0,+co),/(x)=/(Vx)=>f(x)=A

4./(x)=/(x+T),T>0,lim/(x)=An/(x)=A

5.7(x)單調(diào),ヨ相單增趨于+8,lim/(x“)=A=>lim/(x)=A

答案:2錯(cuò)誤,其余都正確。

典型例題

1.求下列極限

x

,「!n(l+キ尤ー1)_r1—x~-eハ、./，,ハ、^一

A=lim-----------/,,B=lim---------------,C=lim(1+tan(x-l)),nr

arcsin2Vx3-l“°sin2x-

解:利班~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ln(l+x)?/一l,x?0

lim-/=lim—/コ=—

?か2WギーI―2V^2+ス+12V3

x2一e~x-2x-(-2x)e~x

B=lim-------;-----=lim-----------——--------

(2x)4い。244X3

1-x+xe~x1-1+e"

—lim--------------=—lim---------

321。ギ32I。ボ32

I

C=lim(1+tan(x-1)ド。+1)=lim(1+1-1)尸ー】

2./(0)=/'(O)=0/(0)=6,求:扁:'ズ)

石ヰ../,(sin2x)-2sinjccosx/(sin2x)

解:原式=limQ--------J-------------=hm—~-~~-（不能再用洛必達(dá)法則

ハ。4x3い。2x2

蛔ハ。）=3

3.程定義在(-8,+8)上函數(shù),滿足V/e(-8,+oo),lim/(x)存在,定義

g(Xo)=lim/(め,求證:Vx0e(-00,4-00),limg(x)=g(x0)

證:Vx0G(-00,4-00),limf(y)=g(x0)

Vf>0,3J>0,0<\y-x0|<6,|/(y)-^(x0)|<￡

Vx,滿足。<,-ム|<6

lim|/(j)-g(x0)|<￡

y->x'

|g(x)-g(尤〇)|?￡,得證。

4.｛，(幻｝是定義在[0,+8]上函數(shù)，lim/,(九)=〇〇,Vn,

求證:ヨ/(幻定義在[0,+8],滿足!im厶D=oo,V〃

i/"(x)

證:4/(x)=max｛ガ(幻,/2?(%),…，/：(x),xe[〃-1,〃]｝,"=1,2,...

V〃,limfn(x)=〇〇

x—>-KO

nVG〉〇,ヨ>M,\fn(x)\>G

M*=max｛M,幾｝,則Vx>M*

微鬻?",得證。

5ノ(め定義在m+8),Vわ>a,透勿上有界,lim(f(x+1)-/(%))=A

求證:lim“ヽ=A

證:令4=0

\/e>0,ヨM[,x>M],|/(x+1)-/(x)|<￡

/S[a,l+M]上有界，|/(刈4K,Vxe[a,l+MJ

又!imエ=0nヨK

<￡

x

I/ほり<|/(1)一/はー1)|+…+|/(x—〃+1)于(Xー〃)I+|/(xー〃)I

(〃二[x—MJ)

Xkl

nsK

<<￡+￡=2s

〃+M+w

再令g(x)=/(x)-Ax,則有!im(g(x+l)-g(x))=O

g(x)/(x)-Ax

=------=---------------->0(Xf+00)

xx

n->A(%—+oo)

x

第三講連續(xù)函數(shù)

概念、定義、定理

1J在/處連續(xù)〇lim/(x)=/(x0)

2.冰伍,封上連續(xù)0Vx〇e(a,ろ),而。處連續(xù),/(a+0)=/(a),/0-O)=/(&)

3.最大、小值定理:/￡［a,句上連續(xù)=>%(e［。向,Vxe［。,刈ノ(x)4(2)f(xo)

4.介值定理:#E［a,b］上連續(xù),/(a)くス</(b)=>ヨムe(a,/>),/(x0)=A

5.一致連續(xù)性定理:ア在他わ］上連續(xù)=他口，句上一致連續(xù),即

Ve>0,3<?>O,Vx,ye［a向,若|xーサ<3,則|/(x)-/(y)|<￡

6H匕,片,卜“-yj-0=レ(匕)-/(%)|?〇

0作其定義域一致連續(xù)

7.丸,)，",|x“-y,J-0>|/U?)-/(%,)|>￡0>0

0作其定義域不一致連續(xù)

判斷

1.推/上一致連續(xù),/(Qu/,g在ノ上一致連續(xù)ngo#E/上一致連續(xù)

2.庶(a,?一致連續(xù)0/(a+0)J3-0)存在,摩續(xù)

3J在(ス+8)一致連續(xù)0/(a+0),/(+8)存在,J連續(xù)

4.彈調(diào)且滿足介值性定理n展續(xù)

5.ガ蘭足介值性定理つ廃續(xù)

6.連調(diào)且值域由バa)JS)］中稠密つ展續(xù)

7HxeQ,f(x)=gは),/,g連續(xù)=>f=g

8.lim/(x)=8,健續(xù)=>lim/(x)=+oo或ー〇〇

9.1im/。)=+00,誰(shuí)續(xù)つ茂最小值

答案:3,5,8錯(cuò)誤,其余都正確。

典型例題

1..傕［0,+8)上連續(xù),箱界,Vce(-8,+oo)J(x)=c,至多有有限個(gè)解

求證:lim〃ス)存在

證:“X)連續(xù)有界nヨ芻->+8,limf(x?)=A

下證!imf(x)=A

r￡>o,/(x)=A+￡只有有限多個(gè)解T］,…ム

/(x)=A-E只有有限多個(gè)觴i…y〃

Vx>max{項(xiàng),…ム,必,…%}=M,|/(x)-A|<￡

若ヨx*>A/,/(x*)>A+e,又limf(xH)=A

ヨx”,x”>MJ(x“)<A+s

.?.ヨy"在x?與x“之間,f(y")=A+s

y'>M,矛盾。

x+2

2.求證Z1(x)sin丄在(0,1)上不一致連續(xù),曲1,+00)上一致連續(xù)

x+1x

11

證:⑴令居=一,有

2〃兀2〃兀+

2

A%)=o"(y")f2

年つ”|f0,但『(親)ー〃先)2Ho

故/在(0,1)上不一致連續(xù)

-1.1x+21ヽ!

⑵|ハ小------sin—+(/——)cos—

(jc+1)xx+1x7x

Vf>0,<y=1,|x-y|<bn|/(x)-/(河<￡

3掩續(xù),3厶,”。,厶<弓n/(厶)<f(r2)

求證:f是嚴(yán)格增函數(shù)

證:V。<んヨハ,弓,qe。,

s/.a<r]<r2<r3<b

ヨ龍",y”

a<xn<r{,xneQ,xnfa

r3<yn<b,yneQ,y?->b

f6111666=lim/(%?)</(r))<f(r2)<f(r3)<limf(yn)=f(b)

故Z嚴(yán)格單增。

4.脛[ス+8)上一致連續(xù),VXG[?,+oo),lim/(x4-n)=0

求證:lim/(x)=0

證:尸致連續(xù)

=>V￡〉〇,ヨざ>〇,トーy|<J,|/(x)-/(j)|<e

在[0,1]中取K個(gè)點(diǎn),〇=七<ちく…<ム=1，$￡max|x,.-x^\<8

Vx(\limf(xj+n)=Q=>ヨN,.,n>N,.,レ(a+n)|<￡

Vxe[a,+oo),x-[x]e[0,1],nヨ%い"[x-[x]-xj<8

一は])一/(七)|<￡

取N=max{N”…,NJ

Vx>N+1,レ(x-[尤])-/"(須.)|<￡

/.|/(x)|<|/(x)-/(x,.+[x])|+|/(x,.+[x])|

V￡+￡=2ど

第四講導(dǎo)數(shù)、微分、中值定理

概念、定義、定理

1ノ(尤)=lim“阿ー"メ。)=加”イ。+ム)ー"ち)

ヽ［./(x)-/(x0)

4(x0)=hm-----------

x->x6X-XQ

2.ザニハ/)—

y=/(x)在無(wú)〇可微=△)，=AAr+o(Ar),玉)固定,Ar—>0,Ax=x-x0

3.有限增量公式:y-%=/'(Xo)Ax+o(Ar)

/(x)=/(x0)+/'(x0)Ax+6>(Ax)

4.羅爾定理:

用［a,タ連續(xù),在(a,與可導(dǎo),八a)=ハかnヨ3(a1)j'C)=0

5.拉格朗日中值定理:

用［。向連續(xù),在(a,力)可導(dǎo)=>f(b)-f(a)=f,0(〇一a),Je(a,。)

6.柯西中值定理:

/,g在［。,わ］連續(xù)，在3,の可導(dǎo),g'(尤)。0つヨぜe(。,份,厶?—"")=エ粵

gS)-g(a)gゼ)

1.\/xe［a,b］,/'Cx)2()n通增

.尸(尤)W()ny單減

f\x)>〇,且Vxe［a”)］u［a,b］,f\x)-On/嚴(yán)格單增

8..他［a,切上可導(dǎo),,他/e(a,。)上取極值二>/'(ム)=()

9.推(a力)上可導(dǎo),9'(%)=05若ザ(%)>0つ/為極小值點(diǎn)

若/,(ム))<()=>尤〇為極大值點(diǎn)

10.施ッ(々)連續(xù),在び(ム)可導(dǎo);

lim/'(x)=4=庶/處可導(dǎo),目尸(無(wú)())=A

ll./(x)在［a,わ］上處處可導(dǎo),%,<x2,fXx［)<2</(x2)

=>3x0e(七,ち)，s.t.f(x0)=2

n

12./(x)=/(/)+/(尤0)(x-/)+…+-_夕(x-%)“+o((x-x0))

tv.

/(無(wú))=f(x)+/(x)(x-x)H---F—(無(wú)一尤0)”+—(x—ム)“T

oootv.(n+1)!

13./(x)〉0n/(x)為凸函數(shù)

14.Jenso杯等式:」為凸函數(shù)

=>ボエ=K0<4<1)ノ(ナ書)く￡ん/日)

i=1i=li=l

判斷

1..傕X。處可導(dǎo)，xn<x0<yn,xnf-〇〇)

nlim當(dāng)と3ゴ(イ。)

n—>oo

2.在幾處可導(dǎo),X.TxQ,ynーム(〃-?〇〇)

=>山口-----------=jUo)

"f8x?-yn

3J在(。乃)上有界n/在(a,わ)上有界

4.ブ在(”力)上有界n佟(a向上有界

5..傕(a,+8)上有界n/’在(a,+8)上有界

6/在(a,+8)上有界n度(a,+00)上有界

7.庶［a,+8)上可導(dǎo),/(x)-/(a)=/'(幻(x-a)

A—>00

8./'(a+〇)存在,毗(a)存在且￡(a)=/(a+0)

9,/￠%=0處有任意階導(dǎo)數(shù)中"')(0)=0,淀義在(-1,1)且A。)=〇

=>/(x)sO,Vxe(-l,l)

答案:1,4正確,其余都錯(cuò)誤。

典型例題

1Jは)定義在(0,+8),W龍,y>O,f(xy)=/(x)+/(y),「⑴存在

求:/'(x)

解:小小—眞)73

=lim--------=lim------------(/(-)=-/*))

んf°Ax°Axxx

Ax

/(1+-)-/(I)

=lim------q----------(/(D=0)

包旬Axx

X

X

_/(I)

2.母［0,1］上連續(xù),在(0,1)上可導(dǎo),/(0)=0,/(1)=l,Ki+K2+-+Kn=l,

0<Ki<1,z=1,2,...,n

求證:存在互異的ム,…,?使得一gー+一gー+…+ー匚=1

ハム)ハら)ハムI)

證：對(duì)號(hào),ヨ再,/Ia)=&<1

Kl+K2,3X2,/(ち)=(+K2,X2>X］

K[+ム?!---卜Kj,ヨる,/(%)=&+ム---Fム,為>4]

ル=/(七)一/はハ)=/'(ら)(七ー匕_])ホ=12...,〃,ム=0,尤〃=1

-;----------H,+???+=(玉-XO)+(X2一項(xiàng))+…+(%-X“T)

ハム)ハら)ハム)

=X"—*0=1

第五講積分

概念、定義、定理

l.Jf(x)dx=F(x)+c,F(x)=f(x)

,n

2ロ(スゆ=相〇と，?)￥,T：a=ム<為<…<尤"="I"=max,,一札I

3.椎[a,。]上可積oV￡>0,ヨT，Z0L<￡,例=sup|/(x)-/(^)|

4.庭口向上可積0Ve〉0,Vび〉〇,ヨア,s.t.co!と況K!區(qū)間長(zhǎng)度之和〈￡

5〃(xMx=ド(4

6.fj?シ⑺か=Ax),(7(x)連續(xù))

dxia

7.他必向上連續(xù)二>ヨ虞/(^)---ff(x)dx

b-aJa

8.何積n茂界;瘴續(xù)n網(wǎng)?積;律調(diào)n何積;

f,g可積つ/?土g可積;f,g可積,|g(x)|2〃2〉0=>/可積

g

判斷

1.何積,若「"⑺ホ可導(dǎo),則且「，Q)力=/(x)

J"dxJa

2.任意可積函數(shù)/;存在原函數(shù)ドは),即パ(x)=,f(x)

3.河積,g連續(xù),則(g。y)(%)=g(/(x))可積

4.7(%)可積,/(X)>05ヨ%,/(x0)>0n￡'/(x)ム>0

5ノ(ス)可積,Vxw[〃,/?],/(x)>On[fMdx>0

6.瘴續(xù),ヨナe［a,。］,/?=/(x)ム

b-aJa

7.何積,/在有理點(diǎn)上為〇nj：/(X心=〇

答案:1,2,4錯(cuò)誤,其余都正確。

典型例題

lj(x)在［a,切上連續(xù),

求證:，￡'(/(x+た)-于(X)MXTf(b)-于(a),(hf()')

證:，f(，は+た)一ア(幻心

=：￡/("+"心?)\'f(x)dx

=1f二ア(y妙-1￡f(x)dx

hJa+hh%

=;『f(x)dx—；￡，+/，f(x)dx

=/(バーf(り)Tf(b)~f(a)(ht0+)

e(/?,/?+A),77G(a,a+h),h—>(ドで―—Q

兀

2.求/=lim卩sin〃(x)ム

”—8JO

n7tn

解:Ve>0,1sin"(x)あ=(2sin"(x)あ+JJsin"は心

"■'2"￡

/,=P￡sin"(xyZ￥<j^sin"(^-￡,)6Zx=ysin"(^-￡,)-?0(n—>〇〇)

7T

I2=[Jsin〃(x)厶<￡

J---E

2

第六講非正常積分與定積分的應(yīng)用

概念、定義、定理

1.[f(x)dx=limff(x)dx

Jaft—>+00J。

efteb-￡

2.ff{x}dx=lim[f{x}dx

3.「"/(x)ム收斂oVe>0,ヨA>a,VA],ん〉,A[A2f(x)dx<￡

J4

4./(x)>〇,「‘"は)む收斂0f(x)dx<M,\fu>a

Ja

5./(x)<g(x),J“g(x世收斂=>『/(x)厶收斂

6./(x),j?(x)>0,lim=I

…"g(x)

l)0</<+00,「，(x)公收斂0「'g(尤)心收斂

JaJa

2)/=0,「"g(x心收斂n「/は心收斂

7.廣芻p>l,收斂;p￡l,發(fā)散

川xp

「セ,q<l,收斂;”1,發(fā)散

J。プ

8.「げ(x)"收斂n1f(x)む收斂

9.阿貝爾判別法:「"/(イ)む收斂,g(x)單調(diào)有界=>「'/(x)g(x)ム收斂

10.狄利克雷判別法:

Pf(x)dx>a;g(x)單調(diào)趨于On「"(x)g(x)厶收斂

JaJa

判斷

1.「ン(x)厶收斂,/(X)非負(fù)、連續(xù)=>limy(x)=0

Jax->+8

2.「./(x)dx收斂,/(x)單調(diào)=>lim/(x)=0

3.lim/(x)=0=「/(x)厶收斂

x—>+OQJa

4.「ン(x)dx收斂=>，［ンQ)dr=-f(x)

ルdxJx

5.g(x)<f(x)<h(x)

fg(x)厶收斂,fた(x)厶收斂n［/(%)厶收斂

JaJaJa

6.「ン收斂=>「ン(庁ム收斂

JaJa

7「"(X)2厶收斂=>/イ(X)厶收斂

JaJa

8.「""(X)ム收斂,lim鯉よ)=1nVg(x)厶收斂

Jax->+ooj(X)

答案:2,5正確,其余都錯(cuò)誤。

典型例題

1./(X)單調(diào),「f(%)公收斂,則/(%)=o(-)(X->+00)

JaX

證:由題設(shè)知：/(X)單減趨于。

「'f(xg收斂n\/ど>〇,ヨA,土>A,C<￡

j“2J2

又］:f3dt>Jv'/(x)t/r=^/(x)>0

222

故0<^/(X)<￡/(。カ<￡

22

/.lim—f(x)=0,即!imxf(x)=lim=0

X->+002X->+XX->4<OI

X

2.r/5心收斂,y。)在［4,+8)上一致連續(xù)=>lim/(x)=0

Jax->+oo

證:用反證法。

若/（X）不趨于。，則

ヨ％，ヨ怎—+8,ホも）|2%

/⑶一致連續(xù)nヨb>0沖ーホ6,『は）-/（刈<年

Vxe（ムー8,xn+8）,|/（x）|>y

ム>28^--甌不趨于〇,這與『/（x）む收斂矛盾。

第七講常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

概念、定義、定理

9n

1-E??=厠2ム=limS.

w-?0O*7^n->x

M=1k=\

'Xm

2.Z?！笆諗?Wド〉0,ヨN,V〃,機(jī)〉N,<E

〃=1A=〃+l

oo〃

34,NO,エ凡收斂〇Zみ

n=X攵=1

4上匕較判別法:（）<a,<包,￡わ“收斂=>“收斂

〃=1〃=1

5.ナ廠",卜|<1收斂;卜|>1,發(fā)散

n=\

6.f—p>l收斂;“VI發(fā)散

n=l〃

7Jは）單減趨于〇,￡ハ〃）收斂0『"（尤）む收斂

n=l

8.之?！笆諗?>liman=0

9.比值判別法:ム?0,lim也=r

“TOO"

%?

r<l,￡a“收斂;r〉1五。“發(fā)散

w=ln=\

10.根式判別法:lim指7=r

"->00

r<l,fa“收斂;r>“發(fā)散

?=1n=\

11A,>（）,ム單減趨于On￡（-1）%.收斂

n=\

12*k“|收斂nfa“收斂,為絕對(duì)收斂

〃=1〃=|

收斂，發(fā)散,為條件收斂

?=1"=1

13阿貝爾判別法:￡>“收斂,ク單調(diào)有界=>fa,ん收斂

14.狄利克雷判別法:

力見WM,V"れ單調(diào)趨于On￡a也收斂

判斷

14>°，Z/收斂=>Hm3"=r<1

2.1im??=0=>￡ム收斂

3?！?gt;0,"收斂=>a”=。(一)(〃->〇〇)

n

4.a”>0，Z(-l)"a”收斂,0〈?！啊捶瞡Z(T)め收斂

5さ4收斂つ收斂;WX:收斂つWX收斂

6モ氏收斂つZぐ收斂

7.1im—=1，WX收斂=>Zみ"收斂

答案：全都錯(cuò)誤。

典型例題

Un

l.a?>0,Z冊(cè)收斂，e=an+宀，

求證:wx收斂

fl

證:bn=ln(e--an)-an

ln(e""-a")ln(e*-x)ex

rlim--------------=lim-------------=lim--------=0

00x

an工ー。*xXTO+e—x

.?.￡ln(e"'ーム)收斂

又z%收斂,故亦收斂

第八講函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)列

概念、定義、定理

1/（め一致收斂于/（よ）=V￡>0,ヨN>o,|/?（x）-/（x）|<ど,Vx

2.力（x）一致收斂于/（x）=Ve>0,ヨN>〇,>N,\fn（x）-f（x）\<￡,Vx

3./?（x）一致收斂于/（x）=sup|/?（x）-/（x）|t0（〃t〇〇）

4.Z""（x）在ハ上一致收斂〇ナム（x）一致收斂于/（x）=

5.ヨム?）在ク上一致收斂〇Ve>〇,ヨN,V〃,相〉N,セム（ス）<￡,VXE￡）

k=n+\

6.M判別法:ヨM”>O,V|u?（x）|<M",Vxw。,ヨ知“收斂

=>は）在。上一致收斂

7.阿貝爾判別法:エ?！啊＃┰?。上一致收斂;2。）單調(diào),一致有界

=>エ。.。）み"（%）在。上一致收斂

8.狄利克雷判別法:￡4は）<M,\/x,n-,〃“は）單調(diào)一致收斂于0

k=\

nWX（%）""は）在。上一致收斂

9在び（ム,ざ）上,limんは）=〃”,/“は）一致收斂于z*は）

nlim/（x）=liman

10.工,は）在。上一致收斂于/（x）,/“は）連續(xù)，V”

=>，は）在。上連續(xù)

11./“は〇）f/は〇）,/“は）一致收斂于gは）

=>/“は）一致收斂于/は），/'は）=gは）

12./“は）一致收斂于Z"は）=>lim1/:は獨(dú)=，yは）か

〃一>8JaJa

判斷

1/,は）在V（a,み）u[c,刈上一致收斂=>んは）在[c,町上一致收斂

2/は）在V[a,Z?]u（c,の上一致收斂=>/“は）在（c,の上一致收斂

3ミ"“は）在。上一致收斂=>""は）在。上一致收斂于。

4ミムは）在。上一致收斂nヨ吃,.",“は）|VM“,工M,收斂

5./“は）在。上一致收斂于I/?は）,/は）在。上有界

。〃充分大時(shí),/“は）在。上一致有界

6./“は）在[a,切上連續(xù),/“は）一致收斂于Zは）,Vx€[a,切,yは）>0

nヨざ>0,ヨN,V〃>N,fnは）>5,Vx二[a,b]

答案:1,4錯(cuò)誤,其余都正確。

典型例題

1.求證:/(x)=Z(x+丄ア在(-1，1)內(nèi)連續(xù)

n

證:Vx0G(-1,1),ヨq€(〇」),s￡%〇G［ータ,り］u(-1,1)

u+ir<(|x|+-r<(^+-r

nnn

而X（り+丄）"收斂，（根式判別法判斷）

n

￡（x+丄）"在［-q,q］u（-1,1）上一致收斂

n

又は+連續(xù),故/"（X）在［ーり,切上連續(xù),在X。（G［ーり,0）處連續(xù)

n

由與的任意性即得/"（X）在（-1,1）上連續(xù)

第九講基級(jí)數(shù)、傅立葉級(jí)數(shù)

概念、定義、定理

n

1.暴級(jí)數(shù)之凡(xーム)",一般取/=0,即ナanx

n=0n=0

收斂域:はタ;%ザ收斂｝

收斂半徑:R>0

V|x|<R,ガ絕對(duì)收斂;V|x|>デ發(fā)散

n=0”=0

lim9=>R=^,(-R,R)為收斂區(qū)間

p〃一>8

2.夕>,バ在(-R,R)上內(nèi)閉一致收斂,且絕對(duì)收斂

“=0

3.5(%)=モ%よ,R>0

S(x)=Z(a“x")=Z6,依”',xe(一穴,R)

〃=()M=0

4.7(x)展開為暴級(jí)數(shù),若尸">(ム)存在,V〃,R“(x)fO,Vx€[a1]

ど(％)

=>/(刀)=￡U-x)"

n!0

5が=ミ-pxG(—oo,+oo)

“=0加

00

sinx=Z(T尸,xG(-oo,4-oo)

w=l(2/1-1)!

co2n

x

cosx=Z(-D"----,XG(-00,4-00)

n=Q(2〃)！

ln(l+x)=^(-l)"-'—,XG(-1,1]

n=!〃

6.傅立葉系數(shù):

1y

a——f(x)cosnxdx,n—0,1,...

n71Jーガ

1cn.

b——/(x)sintvcdx.n—1,2,...

n7Tいガ

7.收斂定理：ノ按段光滑,2カ周期

/(X4-0)4-/(X—0)。〇ぐ

----------:-------=—4-^(a”cos依+asinnx)

22w=i

第十講含參量積分

概念、定義、定理

Lg(>)=J“f(x,y)dx,yel

/(x,y)二元連續(xù)=>g在，上連續(xù)

んは,y)二元連續(xù)=>g'(y)=［厶は,y心

2?g(>)=「［/"，田か

g(y)=，［ハは,y)ム+/(a(y),y)a(y)-/(夕(y),y)"(y)

3.g(y)=『fは,y)公在，上一致收斂

=VE>0,ヨA〉a.X/yGI,f(x,y)dx<s

4.g(y)=￡f(.x,y)公在/上一致收斂

〇Vん單增趨于+oo,A［=。,［'yは,ドS=￡(："/は,〉)ム在/上一致收斂

5./は,y)在［a,+00)x/上連續(xù),g(y)=1yは,yはx在/上一致收斂

ng(y)在/上連續(xù)

6.んは,y)在［。,+8)x/上連續(xù),「，は,y)む對(duì)りG/收斂,

『刀は,〉獨(dú)在/上一致收斂=>g'(y)=￡'fyは,y心

7.yは,y)在［a,+8)xヒ刈上連續(xù),『/は,y)ム在［c,刈上一致收斂

rdr+8p+8cd

nJM/(%,y)dx=Jdx\f(x,y)dy

JcJaJaJc

8げは,y)|W用は),Vye/,廣/zは)む收斂

n［"/は,y)厶在/上一致收斂

9.(は,y)<&在/上一致收斂,gは,y)關(guān)于ス單調(diào),一一致有界

=>は,y)gは,y)む在，上一致收斂

10.j：/は,y心kM,VA>a,gは,y)關(guān)于x單調(diào)一致收斂于。

=>『/は,y)gは,y岫在，上一致收斂

典型例題:

1.求證:例り=J'arctan—e(0,+8),在(0,+8)上連續(xù)

證:Vf0e［工,27］,yはイ)=arctan—在［0,1］x［丄,2%］上連續(xù)

(p(t)=[arctanシ/r在も連續(xù),再由ん的任意性即得證。

第十一講多元連續(xù)函數(shù)、多元微分學(xué)

概念、定義、定理

1.limf(x,y)=A,(x,y)eD

=V￡>0,ヨb>0,0〈而ーち)2+(y-y°)2<3,\f(x,y)-A\<￡

2./在(%,%)連續(xù)〇!imf(x,y)=f(x0,y0)

/(%+レ,九)-/(ム,九)

3/(%,y0)=網(wǎng)

Ax

4.り=￡(%,%)ゐ+fy(x0,y0)dy,庶(%,%)處可微

z=f(x,y),Az=/(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)=AAx+BNy+o(p),p=-JAx2+Ay2

くけ，，ゝヽ…,ゝ

5?ヌ=んは。，％，Zo)cosa+ん(X。,外,z°)cos〃+工(X。,％,Z。)cos/

dl

("Ea.yo,Zo)處可微,7=(cosa,cos〃,cosア))

6.隱函數(shù)存在定理:ド(x,y)存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);へは〇,九)。〇:ド(x°,yo)=O

=＞ヨXo的鄰域(Xo-S,x0+ざ)和定義在(Xo-瓦Xo+ざ)上的可微函數(shù)y=9(x)

s.t.F(x,(p(x))=0,(@=——^)

7.z=/(x,y)在(x。,％)處取極值nfx(x0,y0)=fy(xo,yo)=O

力.,(ム，％)ム,(%，％)ヽ

8/(%,%)=ム(％，%)=0，A=

.ん(x。,外)ム(無(wú)〇,九)ノ

A正定二>，。丿)在は0,為)取極小值;A負(fù)定=>yは,>)在は〇づ〇)取極大值

9.條件極值:目標(biāo)函數(shù)/(x,y);條件函數(shù)タ](x,y)=シ2は,>)=0

令尸(x,y,4,4)=/(x,y)+4/(x,y)+A2(p2(x,y)

ェ=0

り=°

解方程組:

弓=°

F,=0

判斷

1厶刀在(x°,%)處存在n/在(x°,九)連續(xù)

2.力/在(x。,%)處存在u/在(x。,九)連續(xù)

3./&（%,レ0）處可微=>ル/在（ム,%）存在;誰(shuí)（%,%）處連續(xù)

4./在（ム,%）處可微u人,刀在（ム,打）存在;，在（ム,凡）處連續(xù)

5/./在（與,%）處連續(xù)=>,/在（ムづ〇）處可微

6/,ル在（ム,凡）處連續(xù)<=y在（ム,%）處可微

7.Vx,limf（x,y）=/は〇,y）;Vy,lim/（x,y）=f（x,y0）=>>/在（ム,%）處連續(xù)

8.園<M,\fy\<M=>/在（％,y°）處連續(xù)

9Jは,y）在開域。上連續(xù),有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)ん,ム

若八三。=>/（%,>）=。（>）

1Oノは,y）在開域ク上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)人,ム,ん=人三On〃x,y）三c

1l./（x,y）在は0,九）沿每個(gè)方向的方向?qū)?shù)存在=>人は〇,%）存在

12J（x,y）在は〇,典）沿每個(gè)方向的方向?qū)?shù)存在且相等=>,/在（ム,%）處連續(xù)

答案:3,5,8,10正確,其余都錯(cuò)誤。

典型例題

1Jは,y）在有界閉域。上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),人イ+人,=0,人,ホ0,Vは,y）e。

求證:ノ在。上的最大、小值只能在邊界上取得

證:若最大值在血。取得,設(shè)為生則與是極大值點(diǎn)

九イ）+爲(wèi).4）=0つ九4）力,（4）-64）<〇

.?.玲不是極值點(diǎn),矛盾。

第十二講重積分

概念、定義、定理

nn

1JJfは,y)イ諦在=Ve>0,ヨ。=|J。,Zセ厶2<￡

D

2.jj/(x,y)da=エか0は,y)dy=1お。::/(るy)ム

3.JJ/(x,y)da=')/(グcosO/sin0)rdr=『か(:'/(rcos^,rsin0}rd0

〇

4.|Jj/(x,y,z)dV=jjdxdy，：[f(x,y,z)dz=fdz"yは,y,z)dxdy

QDz

?シ仇

5jjj/(x,y,)JV=JjrdrdO(rco$rsin0).

Z(f(rcos^,rsin0,z)dz

プ(rcosarsin〇)

Q

6JJJfは,y,z)dV

c

rfl「シ(の("ら(仇ゆ)...2

=dO\d(p\/(rsin69cos^,rsin69sin6.rcos69)r'sin(pdr

JaJ*(のJ/'](0,<p)

x=x(w,v)aは,y)

7.，JJ/は,y)dxdy=Jj/(x(w,v),y(u,v))dudv

y=y(〃,n)5(M,V)

.ry?バ

判斷

1ノは,y)在り=[a,b]x[c,d]可積

<=>VxG[a,切,，は)=『/は,y)の存在且『/は)ム=JJ/は,yydcy

D

2.ハ滿足は,y)e￡)o(y,x)eD

nJJ/(x，yMb=JJ/(y，x)"b

DD

3../?は,y)連續(xù),V正三角形Au。,“yは,y)Jb=0nyは,y)三〇

答案：1錯(cuò)誤,2,3正確。

典型例題

1.展續(xù),，ム[、か,/は)/(y)/(z)dz=土([/.は)ムジ

提示：令ド⑺=￡アは)厶,則パは)=/は),ド(a)=0

可得:1時(shí)、dy[f(x)f(y)f(z)dz=!尸⑸

JaJaJaA

第十三講曲線積分與曲面積分

概念、定義、定理

1.第一型曲線積分:

J./Xx,y,z)ds=￡7(xQ),y(f),z?))/(ヴ+y(ヴ+z(ザカ

=『/(r(e)cos6,r(e)sin。)屮("+r(O')2dO

2.第二型曲線積分：

し尸は,y)dx+。は,y)か=[尸は⑺,y⑺)x⑺+。は(り,>?))>⑺力

JABJa

3.第一型曲面積分：

JJ/(%,y,z)dS=JJ/、は,y,zは,y))(l+z：+z^dxdy

SriXy

4.第二型曲面積分:

jjP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy

s

=[P(x,y,z(x,y))(-z》)+Q(x,y,z(x,y))(-zv)+R(x,y,z(x